1. 감마 함수
감마 함수(gamma function)를 정의한 오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 1730년오일러 23세, 조선 영조 시절에 새롭게 도입한 또하나의 함수가 식 (1)에 있는 베타 함수(beta function)이다.
(1)
베타 함수는 제1종 오일러 적분(Euler integral of the first kind)이라고도 하지만 오일러가 해둔 기여가 너무 많아[∵ 오일러 이름이 들어가는 정의가 너무 많다.], 이 용어는 잘 쓰이지 않는다. 제2종 오일러 적분(Euler integral of the second kind)은 당연히 감마 함수이다. 그리스 알파벳은 알파($A$), 베타($B$), 감마($\Gamma$) 등의 순서이므로, 제1종과 제2종 오일러 적분은 자연스럽게 베타와 감마 함수로 불린다.
식 (1)에 제시한 베타 함수의 적분 구간을 제한하여 불완전 베타 함수(incomplete beta function)를 다음처럼 정의한다.
(2)
여기서 $B(1; a, b)$ = $B(a, b)$로 쓸 수 있다. 식 (2)에 제시한 불완전 베타 함수를 이용하면 다음 체비셰프 적분(Chebyshev integral)을 계산할 수 있다.
(3)여기서 $C$는 적분 상수이다. 삼각 함수의 거듭제곱에 대한 적분은 식 (2)의 불완전 베타 함수를 이용해 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다.
(4)
(5)여기서 $t$ = $\sin^2 \theta$이다. 베타 함수로 표현할 수 있는 적분은 다음과 같다.
(6)
(7)1. 기본(basics)
(1.1)[증명]
다음 감마 함수 정의를 활용하자.
(1.2)
식 (1.1)의 우변 정의대로 다음을 계산하자.
(1.3)
(1.4)
즉 $(w, t)$가 식 (1.3)과 같이 변하면 $u$는 $0$에서 무한대까지, $v$는 무한대에서 $0$까지 변한다. 그래서 식 (1.4)에 있는 야코비 행렬식의 부호는 음이다. 실제 적분은 식 (1.3)의 첫째식처럼 $(u, v)$ 모두 $0$에서 무한대까지 가야 하므로, 야코비 행렬식의 부호를 바꾸어야 한다.
______________________________[교환 법칙]
(1.5)
식 (1.1)의 $x, y$를 바꾸면 증명된다.
______________________________
(1.6)여기서 $n$ = $0, 1, 2, \cdots$이다.
[증명]
식 (1.1)에 값을 대입하고 르장드르의 2배 공식(Legendre's duplication formula)을 적용한다.
(1.7)______________________________
2. 함수 표현식(function representation)
[삼각 함수(trigonometric function)]
(2.1)
식 (1)의 적분 변수를 $t$에서 $\sin^2 \theta$로 치환하면 증명된다.
______________________________[무리 함수]
(2.2)여기서 $0 < \alpha < 1$이다.
적절한 변수 치환을 이용해서 베타 함수로 만든다.
(2.3)그 다음에 식 (1.1)에 대입해서 오일러의 반사 공식(Euler's reflection formula)을 적용한다.
______________________________식 (2.2)는 특이하게도 $x, x_0$에 대해 상수가 된다. 식 (2.2)와 같은 무리 함수의 적분이 가진 성질을 이용해서 아벨의 적분 방정식(Abel's integral equation)에 대한 정확한 해법을 유도할 수 있다.
3. 특정값(specific value)과 극한(limit)
(3.1)[증명]
식 (1.1)에 넣어서 $\Gamma^2 (1/2) \mathbin{/} \Gamma(1)$을 얻는다. 여기서 $\Gamma(1/2)$ = $\sqrt{\pi}$이다.
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[다음 읽을거리]
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