2011년 12월 19일 월요일

베타 함수(Beta Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "베타 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 감마 함수


감마 함수(gamma function)를 정의한 오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 1730년오일러 23세, 조선 영조 시절에 새롭게 도입한 또하나의 함수가 식 (1)에 있는 베타 함수(beta function)이다.

                       (1)

베타 함수는 제1종 오일러 적분(Euler integral of the first kind)이라고도 하지만 오일러가 해둔 기여가 너무 많아[∵ 오일러 이름이 들어가는 정의가 너무 많다.], 이 용어는 잘 쓰이지 않는다. 제2종 오일러 적분(Euler integral of the second kind)은 당연히 감마 함수이다. 그리스 알파벳은 알파($A$), 베타($B$), 감마($\Gamma$) 등의 순서이므로, 제1종과 제2종 오일러 적분은 자연스럽게 베타와 감마 함수로 불린다.
식 (1)에 제시한 베타 함수의 적분 구간을 제한하여 불완전 베타 함수(incomplete beta function)를 다음처럼 정의한다.

                      (2)

여기서 $B(1; a, b) = B(a, b)$로 쓸 수 있다. 식 (2)에 제시한 불완전 베타 함수를 이용하면 다음 체비셰프 적분(Chebyshev integral)을 계산할 수 있다.

                      (3)

여기서 $C$는 적분 상수이다. 삼각 함수의 거듭제곱에 대한 적분은 식 (1.6)의 불완전 베타 함수를 이용해 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다.

                      (4)

                      (5)

베타 함수로 표현할 수 있는 적분은 다음과 같다.

                      (6)

                      (7)


   1. 기본(basics)   

[감마 함수]

                       (1.1)

[증명]
다음 감마 함수 정의를 활용하자.

                      (1.2)

식 (1.1)의 우변 정의대로 다음을 계산하자.

                   (1.3)

식 (1.3)의 변수 치환에서 면적을 변환할 때는 야코비 행렬(Jacobian)을 이용해야 한다.

                      (1.4)

즉 $(w, t)$가 식 (1.3)과 같이 변하면 $u$는 0에서 무한대까지, $v$는 무한대에서 $0$까지 변한다. 그래서 식 (1.4)에 있는 야코비 행렬식의 부호는 음이다. 실제 적분은 식 (1.3)의 첫째식처럼 $(u, v)$ 모두 $0$에서 무한대까지 가야 하므로, 야코비 행렬식의 부호를 바꾸어야 한다.
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[교환 법칙]

                      (1.5)

[증명]
식 (1.1)의 $x, y$를 바꾸면 증명된다.
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   2. 적분 표현식(integral representation)   

[삼각 함수(trigonometric function)]

                      (2.1)

[증명]
식 (1)의 적분 변수를 $t$에서 $\sin^2 \theta$로 치환하면 증명된다.
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[다음 읽을거리]

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