2024년 12월 31일 화요일

베타 분포(Beta Distribution)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "베타 분포"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 형상 모수 α,β에 따른 베타 분포 β(α,β)의 변화(출처: wikipedia.org)

베타 분포(beta distribution)베타 함수(beta function)와 동일한 확률 밀도 함수(probability density function, PDF)를 가진 연속 확률 분포(continuous probability distribution)이다.

                          (1)

여기서 0<x<1, α>0, β>0; B(α,β)는 형상 모수(shape parameter) α,β에 의해 값이 바뀌는 베타 함수이다. 베타 함수는 X β(α,β)처럼 표기한다. 분모에 출현한 B(α,β)는 PDF fX(x)의 적분을 1로 만드는 정규화 상수이다. 베타 분포는 α,β를 바꾸어서 다양한 확률 분포를 생성할 수 있는 카멜레온 성질이 있다. 만약 α = β = 1로 두면, 베타 분포는 x에 대해 확률값이 일정한 균등 분포(uniform distribution)가 된다. 관점을 바꾸어 x를 고정하고, α,β를 정수인 k = α1, nk = β1, n = α+β2로 두면, 식 (1)은 이항 분포 Bin(n,x)의 확률에 정비례한다.

                          (2)

베타 분포의 누적 분포 함수(cumulative distribution function, CDF)는 불완전 베타 함수(incomplete beta function) B(x;α,β)로 표현된다.

                          (3)

여기서 B(1;α,β) = B(α,β)이다. 베타 함수의 성질을 이용해서 베타 분포의 평균(mean or average)과 분산(variance)도 구한다.

                          (4a)

                          (4b)

평균은 αβ의 나눗셈으로 나오기 때문에, 형상 모수 α,β를 평균 μ 기준으로 다시 쓸 수 있다.

                          (5)

여기서 형상 모수 ν는 0보다 큰 실수이다.

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