무한 곱(Infinite Product)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "무한 곱"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 무한 급수

[그림 1] 곱셈의 원리(출처: wikipedia.org)

무한 급수(infinite series)와 쌍둥이처럼 닮아있는 수학 개념은 무한 곱(infinite product)이다. 무한 곱은 아래와 같이 정의한다.

                        (1)

여기서 $a_n$은 양수라 가정한다. 만약 $a_n$이 음수인 경우는 $a_n$ = $-|a_n|$으로 처리해서 부호 ($-$)를 곱 연산 $\prod_n$의 바깥으로 빼낸다. 식 (1)처럼 무한 곱은 수열 $\{a_n\}$을 무한 번 곱해서 정의한다. 유한 합(finite sum)과 비슷하게 유한 곱(finite product)은 항을 유한 번 곱해서 계산한다. 유한 곱과 무한 곱은 서로 독립된 개념이 아니고 유한 곱의 곱셈 회수를 계속 키운 결과를 무한 곱으로 정의한다. 그래서 무한 급수와 동일하게 무한 곱은 유한 곱으로 구성한 부분 곱(partial product)의 극한이다. 부분 곱 $P_N$을 $a_0$에서 $a_N$까지 곱한 값[$P_N$ = $\prod_{n=0}^N a_n$]이라 하면, 공비(common ratio) 정의처럼 $P_{N+1}$ = $a_{N+1} P_N$이 성립하며 $N$을 무한대로 보내 식 (1)을 만든다.

무한 곱의 수렴성을 보려면 $a_n$의 크기를 가름한다. $a_n > 1$이면 무한 곱은 발산하고 $a_n < 1$이면 0으로 수렴한다. 문제가 되는 부분은 $n$이 커질 때 $a_n \to 1$로 수렴하는 경우이다. 무한 곱은 수렴할 수도 혹은 발산할 수도 있기 때문에, 식 (1)을 다음과 같은 무한 급수로 변형한다.

                      (2)

식 (2)를 보면 $b_n$ 관점에서는 무한 급수이므로 무한 급수의 수렴 판정법(convergence test)을 무한 곱에도 적용할 수 있다. 즉, 무한 급수 $b_n$이 수렴하면 당연히 무한 곱 $a_n$도 수렴한다.

[무한 급수와 무한 곱]

                      (3)

여기서 $L, M$은 무한 급수와 무한 곱의 수렴값이다.

[증명: 무한 급수 기반]

식 (3)의 무한 곱에 식 (2)처럼 로그 함수(logarithmic function)를 취하면 무한 급수로 바꿀 수 있다.

                      (4)

다음으로 식 (4)에 대해 극한 비교 판정(limit comparison test)을 다음과 같이 적용하자[1].

                             (5)

                        (6)

식 (6) 증명을 위해 로피탈의 규칙(L'Hôpital's rule)을 활용한다. 식 (6)에서 극한이 1로 수렴하고 식 (3)의 조건에서 무한 급수 $a_n$이 수렴하기 때문에 식 (3)의 무한 곱도 수렴한다. 반대로 식 (3)의 무한 곱이 수렴하면 무한 급수 $a_n$도 수렴한다.

[증명: 지수 함수 기반]

식 (3)에서 $a_n > 0$인 경우가 수렴하면 $a_n < 0$인 경우도 당연히 수렴하므로[∵ 비교 판정(comparison test)에 의해 큰 값이 수렴하면 작은 값도 수렴한다.] $a_n > 0$이라 가정한다. 그러면 다음이 성립한다.

                       (7)

식 (7)에서 무한 곱은 $n$이 커짐에 따라 단조 증가하지만[∵ $1 + a_n > 1$이므로] 식 (3)의 조건에 의해 유계(bounded)이므로 단조 증감 수렴 정리(單調增減 收斂 定理, monotone convergence theorem)에 의해 무한 곱은 수렴한다. 또한, 식 (3)의 무한 곱이 수렴하면 식 (7)의 왼쪽에 있는 단조 증가하는 무한 급수 $a_n$은 유계가 되므로 이 무한 급수는 수렴한다.

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무한 곱의 유용한 응용은 영점(零點, zero)과 극점(極點, pole)의 표현이다. 무한 곱은 사실 곱셈이기 때문에 함수가 $0$이 되는 영점과 함수가 무한대가 되는 극점을 쉽게 표현할 수 있다. 무한 곱 개념을 이용해서 잘 알려진 사인 함수(sine function)를 곱셈으로 나타낸다. 먼저 사인 함수의 영점을 제거한 다음 복소 함수(complex function) $f(z)$를 고려한다.

                       (8)

식 (8)에 의해 $f(z) \ne 0$이므로 $1/f(z)$는 무한대로 발산하는 점이 없다.[∵ 분모가 0이 되는 점이 없다.] 그래서 $f(z)$는 전영역에서 유계(bounded)이다. 또한 리우빌의 정리(Liouville's theorem)에 의해 전영역에서 유계인 복소 함수는 상수이다. 이를 종합하여 상수 함수인  $1/f(z)$를 무한 곱으로 표현하면 다음과 같다.

                       (9)

따라서 무한 곱 형태로 사인 함수는 전체 복소 영역(complex domain)에서 잘 정의된다.

                        (10)

식 (10)을 유도할 때 사용한 기법은 오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 최초로 사용했다. 무한 곱을 쓰면 간단한 사인 함수도 식 (10)처럼 최종 결과식이 다소 복잡해진다. 하지만 무한 곱 표현식은 복소 함수가 가진 영점과 극점을 식 (1.1)처럼 정확히 보여주므로 매우 유용한 방법이다.
사인 함수와 마찬가지 방법으로 코사인 함수(cosine function)를 무한 곱으로 표현하면 다음과 같다.

                        (11)

영점과 극점 표현에 강점을 가진 무한 곱의 다양한 성질과 활용을 체계적으로 제시한다.

   1. 기본(basics)   

[무한 곱 표현식]

수열 $\{z_n\}$과 $\{p_n\}$으로 표현된 단순 영점(simple zero)과 극점(simple pole)을 가진 복소 함수 $f(z)$는 다음과 같은 무한 곱으로 표현할 수 있다.

                       (1.1)

여기서 단순 영점은 $z - z_n$, 단순 극점은 $1/(z-p_n)$ 형태를 의미한다.

[증명]

무한 곱 정의에 따라 단순 영점과 극점을 만든다. 식 (1.1)에 $z$ = $0$를 대입해서 무한 곱에 대한 상수를 $f(0)$으로 결정한다.

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식 (1.1)에서 단순 영점이나 극점이 없는 경우는 $z_n$ 혹은 $p_n$이 무한대에 있다고 생각한다. 비슷하게 단순 영점이나 극점이 유한한 경우에도 현재 $f(x)$가 가진 단순 영점이나 극점을 초과하는 항은 무한대에 있다고 가정한다. 

[지수 법칙]

                       (1.2)

                       (1.3)

[증명]

무한 곱에 식 (2)와 같은 로그 함수를 적용해서 증명한다. 이 관계는 지수 함수에 사용하는 지수 법칙과 유사하다.

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   2. 함수 표현식(function representation)   

[단순 극점(simple pole)]

                       (2.1)

[증명]

식 (2.2)에 제시한 로그 함수에 대한 테일러 급수를 이용해서 식 (2.1)의 좌변을 전개한다.

                       (2.2)

             (2.3)

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다중 극점(multiple pole)인 경우는 식 (1.3)을 식 (2.1)에 적용한다.

   3. 특정값(specific value)과 극한(limit)   

[월리스 곱(Wallis product)]

                       (3.1)

[증명]

사인 함수의 무한 곱 표현인 식 (10)에 $z$ = $1/2$를 대입해 정리한다.

                       (3.2)

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[월리스 곱과 계승(factorial)]

                       (3.3)

[증명]

식 (3.1)에 나온 짝수와 홀수를 $n $= $1$부터 $N$까지 곱하면 다음과 같은 계승으로 표현할 수 있다[2].

                       (3.4)

식 (3.4)를 식 (3.1)에 대입해서 정리하면 식 (3.3)을 얻을 수 있다.

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                       (3.5)

[증명]

식 (3.3)에 제곱근을 적용하고 이중 계승(double factorial)을 도입해서 정리한다.

                       (3.6)

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식 (3.5)를 더 간단히 정리해서 다음과 같은 점근식도 만든다.

                       (3.7a)

                       (3.7b)

짝수와 홀수 계승의 비율 곱은 각 비율에 따라 발산하거나 수렴한다. 그래서 두 비율을 어떻게 만들고 있는지 주의해서 계산해야 한다. 

[참고문헌]
[1] J. Belk, Convergence of Infinite Products, The Everything Seminar, 2008.
[2] "Stirling's formula," ProofWiki. (방문일 2020-07-13)

[다음 읽을거리]

1. 연분수