tag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post7483784496897300398..comments2024-03-14T22:23:02.825+09:00Comments on 조금은 느리게 살자: 극값의 정리(極値定理, Extreme Value Theorem)전파거북이http://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comBlogger18125tag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-40526386238124946282016-08-04T22:42:58.259+09:002016-08-04T22:42:58.259+09:001. 수학에 사용하는 상계(upper bound)와 하계(lower bound) 개념을 다...1. 수학에 사용하는 상계(upper bound)와 하계(lower bound) 개념을 다시 한 번 보세요. 상계는 임의의 $f(x)$보다 항상 큰 값입니다. 이 상계 중에서 가장 작게 택할 수 있는 것이 최소 상계입니다.<br />2. 증명은 귀류법을 사용하고 있습니다. 최소 상계가 $M$이라 가정했지만, $x = c$가 존재하지 않으면 최소 상계는 $M - 1/N$이 되어 가정 자체가 틀렸다는 것을 알 수 있습니다. 전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-49377929706580511182016-08-04T19:58:44.361+09:002016-08-04T19:58:44.361+09:00음.. 제가 최소 상계의 정의와 함께 생각하려고 하니 너무 어렵네요 ㅎㅎ
다시 한번만 더 ...음.. 제가 최소 상계의 정의와 함께 생각하려고 하니 너무 어렵네요 ㅎㅎ<br />다시 한번만 더 질문 드려도 될까요?<br /><br />본문에서 최소상계를 논의를 위해f(x)를 초과하는 값 중에서 가장 작은 값(or 다시 말하면 최소 상계(最小上界, supremum))이라 생각하자. 라고 정의해 주셨습니다.<br />위의 답변에도 말씀해 주셨듯이 f(x)를 '초과'하는 값이고 M을 최대값으로 생각하면 안되느냐는 질문에 최대값은 f(x)의 치역에 포함이 되지만 최소 상계는 포함되지 않아도 된다고 하셨는데, 그렇게 생각을 하자면 최대값을 구하고 있는 지금에서 M이 최소 상계라고 가정을 하고 수식을 풀었을때에 M-(1/N)은 부'등식'이 성립하기 때문에 f(x)의 치역이라고 생각할 수 있는 것 아닌가요? 그렇다고 했을때 최소상계 M은 f(x)의 치역에 굳이 포함이 되지 않아도 되고, 그래서 더 작은값인 M-(1/N)이 f(x)의 치역에 포함이 되는것이 왜 모순인지를 알고싶습니다!<br /><br />제가 말하는 것이 부족하여 질문을 이해하시기 어려울지 걱정이 되네요 ㅠ<br />혹시 질문이 이해가 되신다면 답변 주시면 감사하겠습니다!Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-11292356717620310422016-08-04T17:50:10.175+09:002016-08-04T17:50:10.175+09:00최소 상계는 상계 중에서 가장 작은 값입니다. 증명에서 $M$이 최소라 가정했는데, 더 작...최소 상계는 상계 중에서 가장 작은 값입니다. 증명에서 $M$이 최소라 가정했는데, 더 작은 값이 나와 모순입니다.전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-75727203039808189152016-08-04T16:19:42.631+09:002016-08-04T16:19:42.631+09:00안녕하세요. 겉보기에 당연해보이는 것을 수학적으로 증명하는것은 참으로 어려운 과정인 것 같...안녕하세요. 겉보기에 당연해보이는 것을 수학적으로 증명하는것은 참으로 어려운 과정인 것 같습니다 ㅎㅎ<br /><br />질문을 한가지 드리자면<br />최종적으로 얻은 식 (6)에는 모순이 있다. 앞에서 f(x)는 최소 상계를 M으로 가진다고 가정했지만, 그보다 더 작은 M−(1/N)이 최소 상계가 되기 때문이다. 라고 하셨는데, 최소상계라는것은 f(x)를 초과하기 때문에 M-(1/N)이 f(x)의 값이 되는것이 가정에 모순된다고는 할 수 없지 않나요? M은 x를 초과하는 것이고, 그보다 약간 작은 M-(1/N)이 존재하는것이 왜 모순인지 잘 이해가 가지 않네요..<br /><br />답변주시면 감사하겠습니다 ㅎㅎAnonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-7504843906204513512015-05-27T15:16:27.939+09:002015-05-27T15:16:27.939+09:00계속 질문하셔도 문제 없습니다, 익명님. ^^
$N$은 유계를 표현하기 위한 값이므로 등...계속 질문하셔도 문제 없습니다, 익명님. ^^<br /><br />$N$은 유계를 표현하기 위한 값이므로 등호를 넣더라도 문제 없습니다. 등호를 빼도 되고요. 중요한 점은 $g(x)$가 어떤 값도다는 작다(유계)라는 것입니다.<br /><br />익명님, 지금처럼 계속 공부하시면 수학의 즐거움을 찾을 수 있을 것입니다. ^^ 자주 놀러오세요.전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-33171228837454218082015-05-27T10:47:08.230+09:002015-05-27T10:47:08.230+09:00항상 답변 너무 감사합니다^^ 블로거님 덕분에 느리지만, 꾸준하게 하나씩 얻어가고 있습니다...항상 답변 너무 감사합니다^^ 블로거님 덕분에 느리지만, 꾸준하게 하나씩 얻어가고 있습니다.<br /><br />답변해주신 덕분에 이 포스팅을 이해할수 있었는데요, 정말 마지막으로 하나 여쭤보고자 합니다!<br /><br />증명 중에 f(x)의 최소상계 M에 해당하는 값이 존재하는지를 찾으면서 임의의 함수 g(x)를 설정하셨습니다. 그리고 g(x)가 연속함수이므로 유계이고, 최소상계가 있으므로 g(X)<=N이라고 하셨는데요, 여기서 =은 들어가면 안되지 않을까요? g(x)=N이면 최소상계에 해당하는 x값이 있음을 과정에서 써버리는거니까요.. 그리고 등호 없이 전개해나가도 가정에 모순이 있음을 설명할수있더라구요 <br /><br /> 이제 롤의 정리, 평균값 정리, 테일러 정리, 테일러 급수전개 이런식으로 하나하나 다시 증명해 나가려고 합니다 미적분학 수강할때는 ''당연한거 아닌가?'' 하고 생각했던 것들이 블로거님 글보면서 이렇게 수학적으로 증명이 가능함을 알아가고 있습니다!!ㅎ 항상 고마운 글 잘보고 있고, 답변 주시면 감사하겠습니다 :)Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-43769431292950374342015-05-21T20:15:49.607+09:002015-05-21T20:15:49.607+09:001. 대충 보면 익명님 의견처럼 최소 상계 = 최대값이 맞습니다. 하지만, $f(x)$의 ...1. 대충 보면 익명님 의견처럼 최소 상계 = 최대값이 맞습니다. 하지만, $f(x)$의 최대값은 $f(x)$의 치역에 포함되지만, 최소 상계는 $f(x)$의 치역에 속할 필요가 없습니다. 식(5)를 정의하기 위해 일단 $M$은 최소 상계라하고, 이게 모순된다는 것을 증명했습니다.<br /><br />2. $N$은 유계를 만족하는 값이면 되므로 큰 값 아무거나 넣어도 됩니다. 예를 들면 $g(x)$의 최대값을 $G$라고 하면, $N = 2G$, $N = 3G$ 등으로 마음대로 정의해도 됩니다.전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-36210027457254232202015-05-21T15:34:36.195+09:002015-05-21T15:34:36.195+09:001. 여기서 M은 함수 f(x)의 최대값이지만, 아래의 논의를 위해 f(x)를 초과하는 값...1. 여기서 M은 함수 f(x)의 최대값이지만, 아래의 논의를 위해 f(x)를 초과하는 값 중에서 가장 작은 값(or 다시 말하면 최소 상계(最小上界, supremum))이라 생각하자. << 최소상계=최대값이라고 생각하면 안되나요?? 굳이 차이를 둔 이유를 모르겠어요 ㅜ<br /><br />2. 또한, g(x)는 연속 함수여서 유계이므로, g(x)의 유계를 만족하는 임의의 값을 N이라 정하자. 여기서 N은 항상 양수이다. << 유계를 만족하는 임의의 값이라는 말이 곧, 최소상계를 말하는거 아닌가요?? f(x)의 최대값(최소상계)의 존재를 증명하는데, 증명과정에서 g(X)가 연속함수이므로 최소상계가 있다를 사용하는 게 이해가 안가네요..<br /><br />제가 최소상계와 최대값의 차이와, 유계를 만족하는 임의의 값 N을 이해하지 못해서 그런것같습니다 답변주시면 감사하겠습니다!Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-51229341474046144992015-05-15T00:00:25.522+09:002015-05-15T00:00:25.522+09:001. 맞습니다.
2. 연속이면 최대값과 최소값이 존재한다는 것이 증명의 목적이라서 위 과정...1. 맞습니다.<br />2. 연속이면 최대값과 최소값이 존재한다는 것이 증명의 목적이라서 위 과정이 필요합니다.전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-34257907434190282492015-05-14T23:59:25.837+09:002015-05-14T23:59:25.837+09:001. 본문을 좀 더 다듬었습니다.
2. $N$은 유계를 만족하는 임의의 값입니다. 그래서...1. 본문을 좀 더 다듬었습니다.<br /><br />2. $N$은 유계를 만족하는 임의의 값입니다. 그래서, 등호도 넣었습니다.전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-43664047253848543482015-05-14T09:54:58.978+09:002015-05-14T09:54:58.978+09:00극값의 정리를 1. 연속함수는 폐구간에서 유계이다. 2. 유계이면 상한과 하한은 존재한다(...극값의 정리를 1. 연속함수는 폐구간에서 유계이다. 2. 유계이면 상한과 하한은 존재한다( 상한과 하한의 정의) 로 설명해도 무방한가요?<br />2번은 정의인데, 본문처럼 따로 증명할필요성이 있는지 궁금합니다Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-82115750696359566342015-05-14T09:47:51.039+09:002015-05-14T09:47:51.039+09:00"또한, g(x)는 연속 함수여서 유계이므로 그 값을 N이라 정한다. "..."또한, g(x)는 연속 함수여서 유계이므로 그 값을 N이라 정한다. "<br /><br />여기서 N은 최소상계인가요? "유계이므로 그 값" 이 부분이 이해가 잘안가요..<br /><br />그리고 f(c) = M이 되는 x = c값이 존재한다는 것을 증명하기 위해 귀류법을 쓰셨는데<br /><br />폐구간에서 최소상계는 존재하지만, 그 최소상계에 해당하는 x값이 없다 이렇게 가정한건가요??<br /><br />그렇다면 임의의 식 g(x) <= N 이 아니라 g(x) < N이지 않을까요.. g(x)=N이면 최소상계에 해당하는 x값이 존재하지 않나요??<br /><br />Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-51355467667500531332014-02-07T20:08:13.945+09:002014-02-07T20:08:13.945+09:00오랜만의 방문 감사합니다, 익명님. ^^오랜만의 방문 감사합니다, 익명님. ^^전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-85659110720670397072014-02-07T19:48:02.702+09:002014-02-07T19:48:02.702+09:00오랜만에 들어오네요 ㅎ 답변 감사합니다오랜만에 들어오네요 ㅎ 답변 감사합니다Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-38310354167478714712014-01-19T08:37:02.289+09:002014-01-19T08:37:02.289+09:00예, 맞습니다. ^^예, 맞습니다. ^^전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-78382252440235704512014-01-19T02:04:38.672+09:002014-01-19T02:04:38.672+09:00연속함수이므로 발산하는 값을 가지는것은 상식적으로 말이 안되는데, 유계라는 것을 증명하기 ...연속함수이므로 발산하는 값을 가지는것은 상식적으로 말이 안되는데, 유계라는 것을 증명하기 위해서 <br />정확한 값을 말하지 않고 발산하는 것을 표현할 수 있는 '근방'이라는 말을 사용한것인가요?<br />'근방'이라는 말이 좀 모호하고 헷갈리네요 ㅜAnonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-17013377576332961692012-10-13T18:18:52.057+09:002012-10-13T18:18:52.057+09:00전적으로 저도 공감합니다, Sarang Dad님.
직관적이면서 엄밀한 설명법이 있으면 저...전적으로 저도 공감합니다, Sarang Dad님.<br /><br />직관적이면서 엄밀한 설명법이 있으면 저에게도 가르쳐 주십시오. ^^전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-36987734975116657952012-10-13T18:06:14.307+09:002012-10-13T18:06:14.307+09:00이건 좀 어렵네요... 직관적이지 않아서 그런것 같은데....
좀 더 쉽게 직관적으로.....이건 좀 어렵네요... 직관적이지 않아서 그런것 같은데.... <br />좀 더 쉽게 직관적으로... 하지만 엄밀학 설명할 방법은 없을까요....Sarang Dadhttps://www.blogger.com/profile/12714670031039594830noreply@blogger.com