이미 소개한 미분에 대한 평균값의 정리를 적분에까지 확장하면 적분형 평균값의 정리가 된다. 쉽게 생각하면 적분형 평균값의 정리는 어떤 함수의 적분값[$\int_a^b f(x)\,dx$]과 함수값[$f(x)(b-a)$]이 동일한 어떤 점[$x$ = $c$]이 반드시 존재함이다. 이 적분형 평균값의 정리는 미적분학의 기본 정리를 증명할 때 매우 유용하게 쓰인다.
[적분형 평균값의 정리]
닫힌 구간 $[a, b]$에서 $f(x)$가 연속이면 아래 식 (1)을 만족하는 $c$가 닫힌 구간 $[a, b]$ 사이에 반드시 존재한다.
(1)
[증명]
함수 $f(x)$가 연속이므로 극값의 정리에 의해 최대값 $M$과 최소값 $m$이 닫힌 구간 $[a, b]$에 반드시 존재하여[$m \le f(x) \le M$] 식 (2)를 만족한다.
(2)
식 (2)는 리만 적분[Riemann integral: 정적분(定積分, definite integral)은 면적이라는 정의]의 정의로부터 자명하다. 즉, 정적분은 최대값은 모두 합한 값보다는 작고 최소값을 모두 합한 값보다는 크다. 만약 $a$ = $b$이면 식 (1)은 자동적으로 성립하므로 $a \ne b$라고 둔다. 그러면,
(3)
또한, 중간값의 정리에 의해 $f(x)$는 $m \le f(x) \le M$ 범위에 있는 어떤 값이든지 가질 수 있다. 닫힌 구간 $[a, b]$ 중간에 있는 어떤 값 $x$ = $c$의 함수값을 $f(c)$라 두면 식 (4)가 성립하여 식 (1)이 증명된다.
(4)
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식 (1)의 의미를 살펴보면 $f(x)$의 적분값과 동일한 크기를 갖는 사각형의 면적[∵ 밑변이 $b - a$, 높이가 $f(c)$]이 반드시 존재함이다. 이 부분이 미적분학의 기본 정리 증명의 중요한 밑바탕이다. 동일한 방법[위의 증명에서 $b - a$ 대신에 $I$로 치환해서 다시 증명]으로 식 (1)을 식 (5)와 같이 확장할 수 있다.
(5)
여기서 $f(x), g(x)$는 연속 함수(continuous function), $g(x)$는 닫힌 구간 $[a, b]$에서 부호를 바꾸지 않으며, $I$는 식 (1)을 참고해 다음처럼 정의한다.
(6)
식 (5)를 쉽게 증명하기 위해 식 (1)의 결과를 그대로 쓰면 안된다. 예를 들어, 식 (1)의 함수 $f(x)$를 $f(x) \to f(x)g(x)$로 바꾸어 식 (1)을 다시 써본다.
(7)
식 (7)에서 연속 함수 $g(x)$는 식 (1)을 만족하므로 다음이 성립해야 한다.
(8)
만약 $c$ = $c'$이면 식 (8)을 식 (5)의 좌변에 대입하고 $f(x)g(x)$에 대해 식 (1)을 사용한다. 그러면 $f(c)g(c)(b-a)$ = $\int_a^b f(x)g(x)\,dx$가 증명된다. 하지만 애석하게도 이런 방식은 일반적인 상황에 적용되지 않는다. 그래서 식 (1)의 결과가 아니라 식 (1)에 사용한 증명 방법을 다시 채용해야 한다. 즉, 식 (2)를 약간 변형하여 식 (5)에 대해 다시 써본다. 식 (5)의 우변에서 $f(x)$ = $m$ 및 $M$인 경우에 $\int_a^b f(x)g(x)\,dx$가 가질 수 있는 최소값과 최대값은 각각 $I \cdot m$ 및 $I \cdot M$이 된다. 이 결과를 부등식으로 깔끔하게 공식화한다.
(9)
여기서 $m \le f(x) \le M$, $I$는 0보다 크다고 가정한다. 중간값의 정리(intermediate value theorem)에 의해 $f(x)$는 $m \le f(x) \le M$ 범위에 있는 어떤 값이든지 가질 수 있으므로 식 (5)가 증명된다.
[다음 읽을거리]
(5)랑 (6)이 이해가 안되요ㅠㅠ.
답글삭제5,6 아무나 아는사람 설명좀 써주세요~!
답글삭제증명 과정을 더 추가했습니다. 혹시 부족한 것 있으면 또 댓글 주세요.
삭제이 블로그에서 수학공부 열심히 하고 있습니다. 정말 너무 감사드려요. 대학교 들어가는데 예습차원에서 하는 중이라 어려움이 많네요 ㅠㅠ. 귀찮으시겠지만 궁금한거 있으면 질문 좀 할게여... 물어볼 곳이 마땅히 없네요. 편한 시간에 알려주세요.
삭제(4)의 식 f(c)= integral a에서 b (1/b-a)f(x) 이 성립하는 이유는 평균값의 정리에 의해서가 맞나요?
답글삭제평균값의 정리는 f`(c)= f(b)-f(a)/b-a
이니까.
(4)가 평균값 정리에 의해 성립하려면 integral f(x), 즉 F(x)를 미분한 것이 f(x)가 된다는 가정이 있어야 되는거 아닌가요.
미적분학의 제1기본정리를 증명해야 F(x)를 미분한 것이 f(x)가 된다는 것을 증명한 것 인데, (4)의 결과{F(x)를 미분한 것이 f(x)임을 이용한 식}를 이용해서 미적분학의 제1기본정리를 증명한다는 것이 잘못된 것은 아닌가 하는 생각이 드네요... 제가 어디에서 실수한 걸까요ㅜㅜ?
자주 놀러오세요. ^^
삭제식 (4)는 평균값의 정리가 아니고 중간값의 정리로 증명합니다. 아래 참고하세요.
http://ghebook.blogspot.com/2010/07/intermediate-value-theorem.html
(7)과 (8)에서의 c는 다른게 아닌가요?
답글삭제즉 (7)을 f(c1)g(c1)= f(x)g(x)dx라 하면
(8)은 g(c2)(b-a)= g(x)dx 라고 해야되고
c1=c2 인 c1,c2가 존재할 때 (5)가 성립하는거 아니에요??
간단한거 같은데 계속 했갈리네요...
식 (7)과 (8)의 c는 같은 것입니다.
삭제왜냐하면 식 (7)에서 식 (1)의 정리를 한 번 썼고 식 (8)에서도 g(c)를 찾기 위해 식 (1)의 정리를 썼습니다.
총 2번 식 (1)의 정리를 적용해서 식 (5)를 증명하고 있습니다.
f(x)=6x+5 , g(x)=2x+1 이라 하고 a=0, b=2 라고 하면
삭제(7)의 식 f(c)g(c)(b-a)= f(x)g(x)dx를 만족하는 c는
(6c+5)(2c+1)2= 74를 만족하는 값이고
(8)의 식 g（c)(b-a)= g(x)dx 를 만족하는 c는
(2c+1)2=6 를 만족하는 c 즉 c=1이라 두 값에서의 c가 다른거 아니에요...?
식 (8)에서도 g(c)를 찾기 위해 식 (1)의 정리를 썼습니다. 의 의미를 제대로 파악 못한 것 같습니다. 다시 한번만 설명해주시면 감사하겠습니당.
인테그랄이 자꾸 생략되네요... (7),(8)식을 가르킬 때 integral a to b가 생략되있습니다...
삭제적분형 평균값의 정리에 의해 a ≤ x=c ≤ b를 만족하면 반드시 식 (7)을 만족하는 x=c가 있습니다.
삭제동일한 것을 g(c)에도 적용해봅시다. 이때 x=c는 식 (7)과 동일합니다.
g(c)인 경우에도 a ≤ x=c ≤ b를 만족하기 때문에 반드시 식 (1)을 만족해야 하므로 식 (8)이 성립합니다.
식 (1)을 이용해 쉽게 증명하려다 본문과 위 댓글에 오류가 있었습니다. 이를 지적해주신 익명님께 감사드립니다. oTL ^^
삭제익명님 지적대로 식 (7)과 (8)의 c가 반드시 같지는 않습니다.
이를 바탕으로 본문을 수정했습니다.
식 (4) 뒤에 dx 를 잊어버리신것 같습니다.
답글삭제정말 감사합니다, 익명님. ^^ 덕분에 블로그 오타가 더 줄었습니다.
삭제좋은 글 감사히 잘 보고 있습니다. 도중에 궁금증이 생겨 질문 올립니다.
답글삭제1) 식 (6)은 증명을 위해 임의로 두는 건지 궁금합니다.
2) (8)식에서 c=c' 이면 (5)가 어떻게 증명이 되는지 과정이 궁금합니다.
익명님, 본문에 내용을 더 추가했어요. ^^
삭제(4) 이래에 적분값이 사각형으 면적과 같다고 하셨는데 저말은 f(x)의 적분값이 0 이상이라고 가정을 한 것인가요?
답글삭제식 (4)를 증명할 때는 적분값이 0보다 크다는 가정을 하지 않았어요.
삭제안녕하세요. 우연히 여기를 찾게 되서 서두르지 않고 천천히 잘 읽고 있습니다. 한 가지 궁금한 점이 있는데 식(9)첫 번째 줄의 대소관계가 어떻게 나왔는지 궁금합니다.
답글삭제맞아요. 급할 게 있나요. 천천히 공부하세요.
삭제식 (9) 위에 설명을 약간 추가했어요.
와 이렇게 빨리 답변 받을 줄 몰랐네요ㅎㅎ 바로 이해했습니다. 항상 감사하고 꼭 완주하도록 할게요!!
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