2010년 7월 10일 토요일

적분형 평균값의 정리(積分型 平均値 定理, mean value theorem for integration)



[경고] 아래 글을 읽지 않고 "적분형 평균값의 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


이미 소개한 미분에 대한 평균값의 정리를 적분에까지 확장한 것이 적분형 평균값의 정리이다. 쉽게 생각하면 적분형 평균값의 정리는 어떤 함수의 적분값($\int_a^b f(x)~dx$)과 함수값($f(x)(b-a)$)이 동일한 어떤 점($x = c$)이 반드시 존재한다는 것이다. 이 적분형 평균값의 정리는 미적분학의 기본 정리를 증명할 때 매우 유용하게 쓰인다.

[적분형 평균값의 정리]
닫힌 구간 $[a, b]$에서 $f(x)$가 연속이면 아래 식 (1)을 만족하는 $c$가 닫힌 구간 $[a, b]$ 사이에 반드시 존재한다.

                         (1)

[증명]
$f(x)$가 연속이므로 극값의 정리에 의해 최대값 $M$과 최소값 $m$이 닫힌 구간 $[a, b]$에 반드시 존재하여(즉, $m \le f(x) \le M$) 식 (2)를 만족한다.

                         (2)

식 (2)는 리만 적분(Riemann integral: 정적분(定積分, definite integral)은 면적이라는 정의)의 정의로부터 자명하다. 즉, 정적분은 최대값은 모두 합한 값보다는 작고 최소값을 모두 합한 값보다는 크다.
약 $a = b$이면 식 (1)은 자동적으로 성립하므로 $a \ne b$라고 두자. 그러면,

                         (3)

또한, 중간값의 정리에 의해 $f(x)$는 $m \le f(x) \le M$ 범위에 있는 어떤 값이든지 가질 수 있다. 닫힌 구간 $[a, b]$ 중간에 있는 어떤 값 $x = c$의 함수값을 $f(c)$라 두면 식 (4)가 성립하여 식 (1)이 증명된다.

                         (4)
______________________________

식 (1)의 의미를 살펴보면 $f(x)$의 적분값과 동일한 크기를 갖는 사각형의 면적(∵ 밑변이 $b - a$, 높이가 $f(c)$)이 반드시 존재한다는 것이다. 이 부분이 미적분학의 기본 정리 증명의 중요한 밑바탕이다.

동일한 방법(위의 증명에서 $b - a$ 대신에 $I$로 치환해서 다시 증명을 하면 됨)으로 식 (1)을 식 (5)와 같이 확장할 수 있다.

                         (5)

여기서 $f(x), g(x)$는 연속 함수(continuous function), $g(x)$는 닫힌 구간 $[a, b]$에서 부호를 바꾸지 않으며,

                         (6)

식 (5)를 쉽게 증명하기 위해 식 (1)의 결과를 그대로 쓰면 안된다. 예를 들어 식 (1)의 함수 $f(x)$를 $f(x) \to f(x)g(x)$로 바꾸어 식 (1)을 다시 써보자.

                         (7)

식 (7)에서 연속 함수 $g(x)$는 식 (1)을 만족하므로 다음이 성립해야 한다. 

                         (8)

$c = c'$이면 식 (5)가 증명되는데 애석하게도 이건 일반적인 상황이 아니다. 그래서 식 (1)의 결과가 아니라 증명 방법을 다시 채용해야 한다. 즉, 식 (2)를 약간 변형하여 식 (5)에 대해 다시 써보자.

                         (9)

여기서 $m \le f(x) \le M$, $I$는 0보다 크다고 가정했다. 중간값의 정리에 의해 $f(x)$는 $m \le f(x) \le M$ 범위에 있는 어떤 값이든지 가질 수 있으므로 식 (5)가 증명된다.

[다음 읽을거리]
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댓글 14개 :

  1. (5)랑 (6)이 이해가 안되요ㅠㅠ.

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  2. 5,6 아무나 아는사람 설명좀 써주세요~!

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    1. 증명 과정을 더 추가했습니다. 혹시 부족한 것 있으면 또 댓글 주세요.

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    2. 이 블로그에서 수학공부 열심히 하고 있습니다. 정말 너무 감사드려요. 대학교 들어가는데 예습차원에서 하는 중이라 어려움이 많네요 ㅠㅠ. 귀찮으시겠지만 궁금한거 있으면 질문 좀 할게여... 물어볼 곳이 마땅히 없네요. 편한 시간에 알려주세요.

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  3. (4)의 식 f(c)= integral a에서 b (1/b-a)f(x) 이 성립하는 이유는 평균값의 정리에 의해서가 맞나요?

    평균값의 정리는 f`(c)= f(b)-f(a)/b-a
    이니까.
    (4)가 평균값 정리에 의해 성립하려면 integral f(x), 즉 F(x)를 미분한 것이 f(x)가 된다는 가정이 있어야 되는거 아닌가요.

    미적분학의 제1기본정리를 증명해야 F(x)를 미분한 것이 f(x)가 된다는 것을 증명한 것 인데, (4)의 결과{F(x)를 미분한 것이 f(x)임을 이용한 식}를 이용해서 미적분학의 제1기본정리를 증명한다는 것이 잘못된 것은 아닌가 하는 생각이 드네요... 제가 어디에서 실수한 걸까요ㅜㅜ?

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    1. 자주 놀러오세요. ^^

      식 (4)는 평균값의 정리가 아니고 중간값의 정리로 증명합니다. 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.com/2010/07/intermediate-value-theorem.html

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  4. (7)과 (8)에서의 c는 다른게 아닌가요?
    즉 (7)을 f(c1)g(c1)= f(x)g(x)dx라 하면
    (8)은 g(c2)(b-a)= g(x)dx 라고 해야되고
    c1=c2 인 c1,c2가 존재할 때 (5)가 성립하는거 아니에요??
    간단한거 같은데 계속 했갈리네요...

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    1. 식 (7)과 (8)의 c는 같은 것입니다.
      왜냐하면 식 (7)에서 식 (1)의 정리를 한 번 썼고 식 (8)에서도 g(c)를 찾기 위해 식 (1)의 정리를 썼습니다.
      총 2번 식 (1)의 정리를 적용해서 식 (5)를 증명하고 있습니다.

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    2. f(x)=6x+5 , g(x)=2x+1 이라 하고 a=0, b=2 라고 하면
      (7)의 식 f(c)g(c)(b-a)= f(x)g(x)dx를 만족하는 c는
      (6c+5)(2c+1)2= 74를 만족하는 값이고

      (8)의 식 g(c)(b-a)= g(x)dx 를 만족하는 c는
      (2c+1)2=6 를 만족하는 c 즉 c=1이라 두 값에서의 c가 다른거 아니에요...?

      식 (8)에서도 g(c)를 찾기 위해 식 (1)의 정리를 썼습니다. 의 의미를 제대로 파악 못한 것 같습니다. 다시 한번만 설명해주시면 감사하겠습니당.

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    3. 인테그랄이 자꾸 생략되네요... (7),(8)식을 가르킬 때 integral a to b가 생략되있습니다...

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    4. 적분형 평균값의 정리에 의해 a ≤ x=c ≤ b를 만족하면 반드시 식 (7)을 만족하는 x=c가 있습니다.
      동일한 것을 g(c)에도 적용해봅시다. 이때 x=c는 식 (7)과 동일합니다.
      g(c)인 경우에도 a ≤ x=c ≤ b를 만족하기 때문에 반드시 식 (1)을 만족해야 하므로 식 (8)이 성립합니다.

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    5. 식 (1)을 이용해 쉽게 증명하려다 본문과 위 댓글에 오류가 있었습니다. 이를 지적해주신 익명님께 감사드립니다. oTL ^^
      익명님 지적대로 식 (7)과 (8)의 c가 반드시 같지는 않습니다.

      이를 바탕으로 본문을 수정했습니다.

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  5. 식 (4) 뒤에 dx 를 잊어버리신것 같습니다.

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    1. 정말 감사합니다, 익명님. ^^ 덕분에 블로그 오타가 더 줄었습니다.

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