2011년 10월 14일 금요일

고정점 정리(固定點 定理, fixed point theorem)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "고정점 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 중간값의 정리


어렵게 증명했던 중간값 정리(intermediate value theorem)의 재미난 응용이 고정점 정리(fixed point theorem)이다. 고정점이라는 것은 넣어준 입력 $x$와 함수값 $f(x)$가 동일한 값을 가지는 것을 의미한다. 즉, 함수 변환을 해도 변하지 않는 점이 고정점이 된다.
개념적으로 이해하기 위해 [그림 1]을 보자. $y = f(x)$를 만족하는 어떤 함수 $f(x)$ ([그림 1]에서 검정선)는 $y = x$인 직선([그림 1]에서 초록선)과 반드시 만난다. 아무리 봐도 $y = x$를 만나지 않고 $y = f(x)$를 그릴 방법은 없어 보인다.

[그림 1] 고정점의 예시(출처: wikipedia.org)

[고정점 정리]
변수 $x$와 연속 함수 $f(x)$의 정의 영역(즉 $f(x)$의 정의역과 공역)이 닫힌 구간 $[0, 1]$로 한정되면 $f(x_0) = x_0$인 고정점 $x_0$가 반드시 존재한다.

[증명]
새로운 함수 $g(x) = x - f(x)$로 정의하면 이 함수는 또한 연속 함수(continuous function)가 된다.
$x = 0$을 대입하면 $g(0) = 0 - f(0) = -f(0)$이 되어 $g(0)$는 반드시 $g(0) \le 0$이 된다. 마찬가지로 $x = 1$을 넣으면 $g(1) = 1 - f(1)$이 되어 $g(1)$은 반드시 $g(1) \ge 0$이 된다.
여기에 중간값의 정리를 적용해보자. 닫힌 구간 $[0, 1]$에 대해 $g(x)$는 $g(0) \le 0 \le g(1)$이 성립하므로 $g(x_0) = 0$을 만족하는 $x_0$가 반드시 존재한다.
따라서, 중간값의 정리에 의해 연속 함수 $g(x)$는 반드시 0에 해당하는 값을 가져야 한다. 즉, $f(x_0) = x_0$를 만족하는 고정점 $x_0$가 반드시 존재한다.
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만약 $a \le x \le b$, $c \le f(x) \le d$라면 $x, f(x)$가 닫힌 구간 $[0, 1]$의 사이값인지 확인이 안되므로 고정점 정리를 사용할 수 없다. 그래서, 다음과 같은 변환을 통해 고정점 정리를 사용하도록 $x, f(x)$를 바꿀 수 있다.

                       (1)

식 (1)에 의해 $g(x)$는 $x_0$에서 고정점을 가진다.

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댓글 4개 :

  1. 예전에 대 1때 몇 번 들러서 게시글 훑어보고 나가곤 했는데, 대학 조교를 맡으면서 이런 글을 다시 보니 새롭네요 ㅎㅎ. 바나흐의 고정점 정리를 R의 컴팩트 구간에 한정 시키면 나올 정리 같긴 한데, 그 당시에는 댓글 한 번 안 달아봤으니 지금 한 번 달아봅니다. 정말 감사했습니다 ㅎㅎ. 아마 해석학이나 적분론 관련 글 올리시면 정말 재미있게 볼 거 같아요. 자주 보러 올 게요. 수고하세요 ㅎㅎ

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    1. Juyoung님, 방문 감사합니다. ^^ 개선을 위한 의견 감사합니다. 시간될 때 반영하겠습니다.

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  2. g(1)=1−f(1)이 되어 g(1)은 반드시 g(1)≥0이 된다 여기서 g(1)≥0이 된다는 왜그런건가요?

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    1. $f(x)$의 공역(codomain)이 0과 1 사이입니다.

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