1. 중간값의 정리
어렵게 증명했던 중간값 정리(intermediate value theorem)의 재미난 응용이 고정점 정리(fixed point theorem)이다. 고정점은 넣어준 입력 $x$와 함수값 $f(x)$가 동일한 값을 가짐을 의미한다. 즉, 함수 변환을 해도 변하지 않는 점이 고정점이 된다. 개념적으로 이해하기 위해 [그림 1]을 보자. $y$ = $f(x)$를 만족하는 어떤 함수 $f(x)$[그림 1에서 검정선]는 $y$ = $x$인 직선[그림 1에서 초록선]과 반드시 만난다. 아무리 봐도 $y$ = $x$를 만나지 않고 $y$ = $f(x)$를 그릴 방법은 없어 보인다.
[그림 1] 고정점의 예시(출처: wikipedia.org)
[고정점 정리]
변수 $x$와 연속 함수 $f(x)$의 정의 영역[즉 $f(x)$의 정의역과 공역]이 닫힌 구간 $[0, 1]$로 한정되면 $f(x_0) = x_0$인 고정점 $x_0$가 반드시 존재한다.
[증명]
새로운 함수 $g(x)$ = $x - f(x)$로 정의하면 이 함수는 연속 함수(continuous function)가 된다. 점 $x$ = $0$을 대입하면 $g(0)$ = $0 - f(0)$ = $-f(0)$이 되어서, $g(0)$는 반드시 $g(0) \le 0$이 된다. 마찬가지로 $x$ = $1$을 넣으면 $g(1)$ = $1 - f(1)$이 되어 $g(1)$은 반드시 $g(1) \ge 0$이 된다. 여기에 중간값의 정리를 적용해보자. 닫힌 구간 $[0, 1]$에 대해 $g(x)$는 $g(0) \le 0 \le g(1)$이 성립하므로 $g(x_0)$ = $0$을 만족하는 $x_0$가 반드시 존재한다. 따라서, 중간값의 정리에 의해 연속 함수 $g(x)$는 반드시 0에 해당하는 값을 가져야 한다. 즉, $f(x_0) $= $x_0$을 만족하는 고정점 $x_0$가 반드시 존재한다.
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만약 $a \le x \le b$, $c \le f(x) \le d$라면 $x, f(x)$가 닫힌 구간 $[0, 1]$의 사이값인지 확인이 안되므로 고정점 정리를 사용할 수 없다. 그래서, 다음과 같은 변환을 통해 고정점 정리를 사용하도록 $x, f(x)$를 바꿀 수 있다.
(1)
식 (1)에 의해 $g(x)$는 $x_0$에서 고정점을 가진다.
[다음 읽을거리]
예전에 대 1때 몇 번 들러서 게시글 훑어보고 나가곤 했는데, 대학 조교를 맡으면서 이런 글을 다시 보니 새롭네요 ㅎㅎ. 바나흐의 고정점 정리를 R의 컴팩트 구간에 한정 시키면 나올 정리 같긴 한데, 그 당시에는 댓글 한 번 안 달아봤으니 지금 한 번 달아봅니다. 정말 감사했습니다 ㅎㅎ. 아마 해석학이나 적분론 관련 글 올리시면 정말 재미있게 볼 거 같아요. 자주 보러 올 게요. 수고하세요 ㅎㅎ
답글삭제Juyoung님, 방문 감사합니다. ^^ 개선을 위한 의견 감사합니다. 시간될 때 반영하겠습니다.
삭제g(1)=1−f(1)이 되어 g(1)은 반드시 g(1)≥0이 된다 여기서 g(1)≥0이 된다는 왜그런건가요?
답글삭제$f(x)$의 공역(codomain)이 0과 1 사이입니다.
삭제모르겠어요 ㅠㅠㅠㅠ
답글삭제힘내세요. 계속 하면 언젠가는 이해됩니다 👍
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