고정점 정리(固定點 定理, Fixed Point Theorem)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "고정점 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 중간값의 정리

어렵게 증명했던 중간값 정리(intermediate value theorem)의 재미난 응용이 고정점 정리(fixed point theorem)이다. 고정점은 넣어준 입력 $x$와 함수값 $f(x)$가 동일한 값을 가짐을 의미한다. 즉, 함수 변환을 해도 변하지 않는 점이 고정점이 된다. 개념적으로 이해하기 위해 [그림 1]을 보자. $y$ = $f(x)$를 만족하는 어떤 함수 $f(x)$[그림 1에서 검정선]는 $y$ = $x$인 직선[그림 1에서 초록선]과 반드시 만난다. 아무리 봐도 $y$ = $x$를 만나지 않고 $y$ = $f(x)$를 그릴 방법은 없어 보인다.

[그림 1] 고정점의 예시(출처: wikipedia.org)

[고정점 정리]

변수 $x$와 연속 함수 $f(x)$의 정의 영역[즉 $f(x)$의 정의역과 공역]이 닫힌 구간 $[0,1]$로 한정되면 $f(x_0)=x_0$인 고정점 $x_0$가 반드시 존재한다.

[증명]

새로운 함수 $g(x)$ = $x-f(x)$로 정의하면 이 함수는 연속 함수(continuous function)가 된다. 점 $x$ = $0$을 대입하면 $g(0)$ = $0-f(0)$ = $-f(0)$이 되어서, $g(0)$는 반드시 $g(0)\le 0$이 된다. 마찬가지로 $x$ = $1$을 넣으면 $g(1)$ = $1-f(1)$이 되어 $g(1)$은 반드시 $g(1)\ge 0$이 된다. 여기에 중간값의 정리를 적용해보자. 닫힌 구간 $[0,1]$에 대해 $g(x)$는 $g(0)\le 0\le g(1)$이 성립하므로 $g(x_0)$ = $0$을 만족하는 $x_0$가 반드시 존재한다. 따라서, 중간값의 정리에 의해 연속 함수 $g(x)$는 반드시 0에 해당하는 값을 가져야 한다. 즉, $f(x_0)$= $x_0$을 만족하는 고정점 $x_0$가 반드시 존재한다.

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만약 $a\le x\le b$, $c\le f(x)\le d$라면 $x,f(x)$가 닫힌 구간 $[0,1]$의 사이값인지 확인이 안되므로 고정점 정리를 사용할 수 없다. 그래서, 다음과 같은 변환을 통해 고정점 정리를 사용하도록 $x,f(x)$를 바꿀 수 있다.

                       (1)

식 (1)에 의해 $g(x)$는 $x_0$에서 고정점을 가진다.

[다음 읽을거리]

1. 행렬의 고유치와 고유 벡터