2010년 9월 15일 수요일

비오-사바르 법칙으로 패러데이 법칙 증명(proof of Faraday's law using Biot-Savart law)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "패러데이 법칙 증명"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.



식 (1)에 있는 로렌츠 힘 공식을 이용하면 어렴풋하게 이 공식이 패러데이 법칙인 식 (2)와 관련되어 있는 것을 볼 수 있다.

                          (1)

                                   (2)

여기서 로렌츠 힘 공식은 비오-사바르 법칙을 이용하여 증명가능하다.

[그림 1] 로렌츠 힘 공식에 따른 입자의 회전 특성(출처: wikipedia.org)

예를 들어 [그림 1]을 고려하자. 전하($q$)가 자속 밀도($\bar B$)가 있는 영역을 움직이면 식 (1)에 의해 힘을 받게 된다. 그래서, [그림 1]처럼 전하가 회전하게 된다.
전하가 연속적으로 움직이면 전류($I$)가 형성되고 이 전류가 다시 비오-사바르 법칙에 따라 새로운 자속 밀도([그림 1]에서 회전하는 전류가 만드는 자속 밀도)를 만든다. 새로 형성된 자속 밀도는 정확히 그 방향이 걸어준 자속 밀도($\bar B$)와 반대이다. 즉, 자속 밀도($\bar B$)를 감소시키는 방향으로 새로운 자속 밀도가 형성되게 된다. 이와 같은 방식으로 비오-사바르 법칙과 패러데이 법칙이 연관되어 있다.
이 개념을 이용해서 패러데이 법칙을 증명한 방법이 [1]에 소개되어 있다. 증명을 위해 자기력($\bar F_m$)이 만드는 일($W$)을 계산하자.

                         (3)

여기서 $d \bar r$은 자기력($\bar F_m$) 방향으로 움직인 거리 미분소이며 $d \bar l$은 전류($I$)가 흐르는 방향의 선미분소이다.

                                   (4)

식 (4)의 자속 정의를 이용하면 식 (3)은 아래로 표현된다.

                         (5)

식 (5)에서 (-) 부호가 생긴 이유는 식 (4)에 있는 면적 벡터($d \bar a$) 방향이 식 (3)에 있는 면적 벡터($d \bar r \times d \bar l$)와 반대방향이 되기 때문이다. (∵ 자속($\Phi$)을 정의하기 위한 면적 벡터($d \bar a$)의 방향은 자속 밀도와 동일하게 정의하기 때문에) 쉽게 이야기하면 자기력에 의해 새롭게 생성된 자속 밀도([그림 1]에서 회전하는 전류가 만드는 자속 밀도)는 가해준 자속 밀도($\bar B$)와 반대방향이기 때문이다.
원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system) 관점으로 보기 위해 [그림 1]에서 $q > 0$인 경우를 생각해보자. 자속 밀도($\bar B$)가 $z$방향으로 생기면 전하가 $-\phi$방향으로 돌기 때문에 $d \bar l$은 $-\phi$방향으로 생긴다. 그러면 자기력은 $-\rho$방향이므로 $d \bar r$은 $-\rho$방향이다. 이 경우 식 (3)의 면적 벡터($d \bar r \times d \bar l$)는 $z$방향이 된다. 하지만, 움직이는 전하 $q$가 만드는 새로운 자속 밀도는 $-z$방향이므로 $d \bar a$의 방향은 $-z$가 된다. 즉, $d \bar r \times d \bar l$과 $d \bar a$의 방향은 반대이다.

또한, 일($W$)은 전압($V$)과 전류($I$) 관점에서 식 (6)으로도 표현된다.

                                   (6)

식 (3)과 (6)이 서로 같다고 두면 패러데이 법칙인 식 (2)가 증명된다.
이런 방식으로 패러데이 법칙은 증명 가능하지만 일미분소인 $dW$가 0이 되면 식 (3)과 (6)을 이용해서 식 (2)를 증명할 수 없다. 예를 들어 $I = 0$이면 식 (2)가 성립하지 않아도 식 (3)과 (6)은 동일하게 된다.

[참고문헌]
[1] A. Nussbaum, "Faraday's law paradoxes," Phys. Educ., vol. 7, no. 4, pp. 231-232, 1972.

댓글 4개 :

  1. -가 생긴게 잘 이해가 안되는데 3번의 자속밀도하고 5번식의 자속밀도가 다른가요?

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  2. 식 (3)과 (5)의 자속밀도는 같습니다. 반대방향이 되는 것은 dr × dl과 da의 방향입니다.
    헷갈릴 수도 있어 본문을 더 구체적으로 바꾸었습니다. 감사합니다.

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  3. 비오사바르법칙으로 어떻게 로렌츠힘을 유도하나요?

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    답글
    1. 아래 링크 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/08/lorentz-force.html

      삭제

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