2010년 9월 15일 수요일

비오–사바르 법칙으로 패러데이 법칙 증명(Proof of Faraday's Law Using Biot–Savart Law)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "패러데이 법칙 증명"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


식 (1)에 있는 로렌츠 힘 공식(Lorentz force)을 이용하면 어렴풋하게 이 공식이 패러데이 법칙(Faraday's law)인 식 (2)와 관련되어 있음을 볼 수 있다.

                          (1)

                                   (2)

여기서 로렌츠 힘 공식은 비오–사바르 법칙(Biot–Savart law)을 이용하여 증명 가능하다.

[그림 1] 로렌츠 힘 공식에 따른 입자의 회전 특성(출처: wikipedia.org)

예를 들어 [그림 1]의 상황을 고려한다. 전하($q$)가 자속 밀도($\bar B$)가 있는 영역을 움직이면 식 (1)에 의해 힘을 받게 된다. 그래서, [그림 1]처럼 로렌츠 힘을 받아 전하가 회전하게 된다. 전하가 연속적으로 움직이면 전류($I$)가 형성되고 이 전류가 다시 비오–사바르 법칙에 따라 새로운 자속 밀도[그림 1에서 회전하는 전류가 만드는 자속 밀도]를 만든다. 새로 형성된 자속 밀도의 방향은 걸어준 자속 밀도($\bar B$)와 정확히 반대이다. 즉, 걸어준 자속 밀도($\bar B$)를 감소시키는 방향으로 새로운 자속 밀도가 형성되게 된다. 이와 같은 방식으로 비오–사바르 법칙과 패러데이 법칙이 서로 연관되어 있다. 이 개념을 이용해서 패러데이 법칙을 증명한 방법이 [1]에 소개되어 있다. 증명을 위해 자기력($\bar F_m$)이 만드는 일($W$)을 먼저 계산한다.

                         (3)

여기서 $d \bar r$은 자기력($\bar F_m$) 방향으로 움직인 거리 미분소이며 $d \bar l$은 전류($I$)가 흐르는 방향의 선 미분소이다.

                                   (4)

식 (4)의 자속 정의를 이용하면 식 (3)은 아래처럼 표현된다.

                         (5)

식 (5)에서 (-) 부호가 생긴 이유는 식 (4)에 있는 면적 벡터($d \bar a$) 방향이 식 (3)에 있는 면적 벡터($d \bar r \times d \bar l$)와 반대 방향이 되기 때문이다.[∵ 자속($\Phi$)을 정의하기 위한 면적 벡터($d \bar a$)의 방향은 자속 밀도와 동일하게 정의하기 때문이다. 혹은 $I$ 혹은 $q$가 만드는 자속 밀도의 방향은 $d \bar l \times \hat R$이기 때문에 $d \bar r \times d \bar l$과는 반대 방향이다.] 더 쉽게 이야기하면, 자기력에 의해 새롭게 생성된 자속 밀도[그림 1에서 회전하는 전류가 만드는 자속 밀도]는 가해준 자속 밀도($\bar B$)와 반대로 생겨서 $d\bar a$의 방향을 $\bar B$와 반대로 정한다. 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system) 관점으로 보기 위해 [그림 1]에서 $q > 0$인 경우를 생각한다. 자속 밀도($\bar B$)가 $\hat z$방향으로 생기면, 전하는 $- \hat \phi$방향으로 돌기 때문에 $d \bar l$은 $- \hat \phi$방향으로 생긴다. 그러면 자기력은 $-\hat \rho$방향이므로 $d \bar r$은 $-\hat \rho$방향이다. 이 경우 식 (3)의 면적 벡터($d \bar r \times d \bar l$)는 $\hat z$방향이 된다. 하지만, 움직이는 전하 $q$가 만드는 새로운 자속 밀도는 $-\hat z$방향이므로 $d \bar a$의 방향은 $-\hat z$가 된다. 즉, $d \bar r \times d \bar l$과 $d \bar a$의 방향은 서로 반대이다.
또한, 일($W$)은 전압($V$)과 전류($I$) 관점에서 식 (6)으로도 표현된다.

                                   (6)

따라서 식 (3)과 (6)을 연립해서 패러데이 법칙인 식 (2)를 만들어낸다. 이런 방식으로 패러데이 법칙의 증명이 가능하지만, 일 미분소인 $dW$가 0이 되는 경우는 식 (3)과 (6)을 이용해서 식 (2)를 증명할 수 없다. 예를 들어 $I$ = $0$이면, 식 (2)가 성립하지 않아도 식 (3)과 (6)은 동일하게 된다.

[참고문헌]
[1] A. Nussbaum, "Faraday's law paradoxes," Phys. Educ., vol. 7, no. 4, pp. 231–232, 1972.

댓글 8개 :

  1. -가 생긴게 잘 이해가 안되는데 3번의 자속밀도하고 5번식의 자속밀도가 다른가요?

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  2. 식 (3)과 (5)의 자속밀도는 같습니다. 반대방향이 되는 것은 dr × dl과 da의 방향입니다.
    헷갈릴 수도 있어 본문을 더 구체적으로 바꾸었습니다. 감사합니다.

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  3. 비오사바르법칙으로 어떻게 로렌츠힘을 유도하나요?

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    1. 아래 링크 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/08/lorentz-force.html

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  4. 그림 (1)에서 전하 q>0 에서 전하 q가 거의 직선 운동하는 부분만을 보면 왼쪽에서 오른쪽으로 전하가 속도 v로 이동하고(x축) 자기장은 아래에서 위로 올라오는 방향이므로(z축) 힘의 방향은 전하가 회전하는 방향(-y축)이므로 위에서 dr벡터의 방향이 힘의 방향과 동일하다고 하였으므로 식(3)에서 dr X dl 은 자기장의 방향과 같은 방향으로 작용하는 것 아닌가요 ??

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    1. 질문하신 것을 오늘 봤네요. 죄송합니다 ㅠㅠ

      말씀하신 내용은 모두 맞아요. 다만 $d \bar a$의 방향은 "자기력에 의해 새롭게 생성된 자속 밀도"로 정하기 때문에 (-)가 꼭 붙어야 합니다.
      이 개념을 식 (5) 밑에 장황하게 설명하고 있어요.

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  5. 원형코일 중심에서의 자계의 세기 공식으로부터 솔레노이드 공식으로 유도는 안되는가요?
    원형코일 겹겹이 쌓아놓은게 솔레노이드 코일 같은데?
    제가 어떤걸 놓치고 있는걸까요?

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    1. 1. 원칙적으로는 전류 분포가 달라서, 원형 고리(loop)의 자기장으로부터 솔레노이드(solenoid, 원통 똬리) 공식을 만들 수는 없어요.

      2. 대신에 말씀하신 개념처럼 원형 고리를 많이 쌓으면 솔레노이드가 된다고 근사화한 후, 솔레노이드의 똬리(coil)는 무한히 길어서 내부 자기장이 거의 일정하다고 놓고 공식을 유도합니다.

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