동차 함수(同次函數, Homogeneous Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "동차 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 완전 미분

다음과 같은 재미있는 성질을 가진 함수는 제$n$차 동차 함수(同次函數, the nth order homogeneous function)라 한다.

                  (1a)

   

                       (1b)

즉, 동차 함수는 매개변수 벡터(vector) $\bar v$에 $\alpha$를 곱하면 함수 전체에 곱한 결과와 같아지는 성질을 가진다. 혹은 각 독립 변수가 같은 비례로 바뀌는 함수를 동차 함수라 이름 붙인다. 식 (1)에 있는 벡터에서 스칼라(scalar)로 가는 함수는 선형 범함수(線型 範函數, linear functional)라고 정의한다. 따라서 동차 함수는 선형 범함수 중에서 식 (1)과 같은 성질을 가진 함수로 생각할 수 있다. 동차 함수의 대표적인 예는 벡터의 내적(inner product)이다. 예를 들어, 식 (1)의 $f$를 아래처럼 정의한다.

                       (2)

식 (2)에 있는 선형 범함수는 식 (1)의 정의를 이용하면 1차 동차 함수가 된다. 동차 함수는 완전 미분 방정식(exact differential equation)과 같은 꼴을 가진 동차 1계 상미분 방정식(homogeneous first-order ODE)을 풀 수 있는 중요 개념이다.

                       (3)

여기서 $A(x, y), B(x, y)$는 $n$차 동차 함수이다. 식 (3)에서 $u$ = $y/x$라 놓고 $A(x, y), B(x, y)$에서 $x$를 뽑아낸다.

                       (4)

여기서 $dy$ = $xdu + udx$이다. 식 (6)의 좌변과 우변은 $u, x$에 대해 완벽하게 변수 분리가 되므로, 양변을 적분해서 미분 방정식을 간단하게 풀 수 있다.

동차 함수가 가진 특이한 성질은 완전 미분(exact differential)을 이용해서 오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 처음으로 증명했다. 동차란 명칭은 오일러의 스승인 요한 베르누이Johann Bernoulli(1667–1748)의 1726년베르누이 59세, 조선 영조 시절 작품이다.

                        (5a)

             (5b: 완전 미분)

식 (5)는 오일러의 동차 함수 정리(Euler's homogeneous function theorem)라 부른다. 예를 들어, 식 (2)를 식 (5)에 대입하면 다음을 증명할 수 있다.

                       (6)

여기서 $f(\bar v)$는 식 (1)에 의해 제1차 동차 함수이다.

[다음 읽을거리]

1. 선형 상미분 방정식