2011년 11월 16일 수요일

동차함수(同次函數, homogeneous function)

다음과 같은 재미있는 성질을 가진 함수는 n차 동차함수(同次函數, the nth order homogeneous function)라 한다.

                       (1)

즉, 동차함수는 매개변수 벡터(vector) v에 곱한 것이 함수전체에 곱한 것과 같아지는 성질을 가진다. 벡터에서 스칼라(scalar)로 가는 함수는 선형 범함수(線型 範函數, linear functional)라고 정의한다. 따라서, 동차함수는 선형 범함수 중에서 식 (1)과 같은 성질을 가진 함수로 생각할 수 있다. 동차함수의 대표적인 예는 벡터의 내적(inner product)이다. 예를 들어 식 (1)의 f를 아래처럼 정의하자.

                       (2)

식 (2)에 있는 선형 범함수는 식 (1)의 정의를 이용하면 1차 동차함수가 된다.

동차함수가 가진 특이한 성질은 오일러(Leonhard Euler)가 먼저 증명을 했다.

                       (3)

식 (3)은 오일러의 동차함수 정리(Euler's homogeneous function theorem)라 부른다. 예를 들어 식 (2)를 식 (3)에 대입하면 다음을 증명할 수 있다.

                       (4)

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댓글 4개 :

  1. (1)에서 왼쪽함수는 독립변수가 알파로 1개이고 오른쪽 f(v)에서는 독립변수가 x,y,z ... 여러개인데 두 함수사이 관계가 정의 될수있나욤? 제가 개념이 잘안잡혀서 ㅠㅠ 도메인에서부터가 왼쪽함수는 R->R^n->R 로되고 오른쪽은 R^n->R 로 되잖아요, 도메인이 달라도 종속변수 즉 공역이 R로 같으면 두함수 비교(여기선 등호=)가 되는건가요?

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  2. 식 (1)은 벡터에서 스칼라로 가는 함수입니다. 이런 함수의 대표적인 예가 내적이지요. 내적은 식 (1)에 의해 1차 동차함수가 됩니다.
    벡터에서 스칼라로 가는 함수는 고상한 말로 선형 범함수(linear functional)라고도 합니다.

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  3. determinant는 n차 동차가되겠군요 아하 예를 들어주시니 이해가 단방에 되네요 감사합니다

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  4. 예, 맞습니다. 행렬식을 구성하는 벡터를 a배 하면 a^n만큼 커지기 때문에 n차 동차함수가 됩니다.

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