다음과 같은 재미있는 성질을 가진 함수는 $n$차 동차 함수(同次函數, the nth order homogeneous function)라 한다.
(1)
즉, 동차 함수는 매개변수 벡터(vector) $\bar v$에 $\alpha$를 곱하면 함수 전체에 곱함과 같아지는 성질을 가진다. 식 (1)에 있는 벡터에서 스칼라(scalar)로 가는 함수는 선형 범함수(線型 範函數, linear functional)라고 정의한다. 따라서, 동차 함수는 선형 범함수 중에서 식 (1)과 같은 성질을 가진 함수로 생각할 수 있다. 동차 함수의 대표적인 예는 벡터의 내적(inner product)이다. 예를 들어 식 (1)의 $f$를 아래처럼 정의하자.
(2)
식 (2)에 있는 선형 범함수는 식 (1)의 정의를 이용하면 1차 동차 함수가 된다. 동차 함수가 가진 특이한 성질은 오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 먼저 증명했다.
(3)
식 (3)은 오일러의 동차 함수 정리(Euler's homogeneous function theorem)라 부른다. 예를 들어 식 (2)를 식 (3)에 대입하면 다음을 증명할 수 있다.
(4)
(1)에서 왼쪽함수는 독립변수가 알파로 1개이고 오른쪽 f(v)에서는 독립변수가 x,y,z ... 여러개인데 두 함수사이 관계가 정의 될수있나욤? 제가 개념이 잘안잡혀서 ㅠㅠ 도메인에서부터가 왼쪽함수는 R->R^n->R 로되고 오른쪽은 R^n->R 로 되잖아요, 도메인이 달라도 종속변수 즉 공역이 R로 같으면 두함수 비교(여기선 등호=)가 되는건가요?
답글삭제식 (1)은 벡터에서 스칼라로 가는 함수입니다. 이런 함수의 대표적인 예가 내적이지요. 내적은 식 (1)에 의해 1차 동차함수가 됩니다.
답글삭제벡터에서 스칼라로 가는 함수는 고상한 말로 선형 범함수(linear functional)라고도 합니다.
determinant는 n차 동차가되겠군요 아하 예를 들어주시니 이해가 단방에 되네요 감사합니다
답글삭제예, 맞습니다. 행렬식을 구성하는 벡터를 a배 하면 a^n만큼 커지기 때문에 n차 동차함수가 됩니다.
답글삭제경제학 공부하는 중 많은 도움이 됐습니다. 감사합니다.
답글삭제방문 감사해요, 익명님 ^^ 경제학으로 대성하시길 바래요.
삭제