2011년 6월 10일 금요일

페이저를 이용한 임피던스 정의(Definition of Impedance Using Phasor)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "임피던스 정의"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전압
2. 전류
3. 저항
4. 커패시터
6. 정말 유용한 페이저 개념

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[그림 1] 커패시터와 인덕터에 발생하는 전압과 전류의 위상 차이(출처: wikipedia.org)

전압(voltage), 전류(electric current), 저항(resistor), 커패시터(capacitor), 인덕터(inductor) 개념을 맥스웰 방정식(Maxwell's equations) 관점에서 완벽하게 증명했기 때문에, 교류(交流, Alternating Current, AC) 회로 이론을 명확히 정립할 수 있다. 교류 회로 이론의 필수적인 개념은 임피던스(impedance)이다. 임피던스의 원래 뜻은 저항(resistance)과 매우 유사하다. 어떤 물체의 진행을 방해한다는 의미로 임피던스를 쓸 수 있다. 즉, 저항과 너무 비슷하기 때문에 이 용어를 한글로 번역하지 않고 영어 그대로 사용한다. 그렇더라도 헷갈리지는 말고 저항 ≡ 임피던스임을 꼭 기억한다. 굳이 저항과 임피던스를 구별하자면 저항은 DC(Direct Current) 저항이며 임피던스는 AC 저항이다. 그래서, 임피던스는 저항의 개념을 AC까지 확장한다고 생각하면 편하다. 저항($R$), 커패시터($C$), 인덕터($L$)를 지배하는 공식을 전압과 전류 관점으로 쓰면 다음과 같다.

                           (1)

여기서 $v, i$는 각각 교류 전압과 전류이다. 임피던스를 정하기 위해 페이저(phasor)를 도입한다. 페이저는 다음과 같이 정의한다.

                                  (2)

                   (3)

여기서 허수 단위(imaginary unit) $j$ = $\sqrt{-1}$이다. 식 (1)에 나온 $i$는 허수 단위가 아니고 교류 전류이다. 식 (2)와 (3)을 이용해서 식 (1)의 미분 기호를 $d/dt \equiv j \omega$로 바꾸면 다음을 얻는다.

                                   (4)

신기하게도 식 (2)를 이용하면 식 (4)와 같이 저항($R$), 커패시터($C$), 인덕터($L$) 종류와는 관계없이 AC에 대해 옴 법칙(Ohm's law)을 다음과 같이 일반화할 수 있다.

                                   (5)

페이저를 도입하기 때문에 임피던스는 복소수(complex number: 수학에서 복소수는 보통 $z$로 표기)로 표기한다. 그래서 임피던스를 나타내는 문자는 $Z$를 사용한다. 임피던스 개념을 최초로 제안한 사람은 페이저의 창안자 중 한 명인 헤비사이드Oliver Heaviside(1850–1925)이다. 헤비사이드는 은둔의 과학자답게 우리에게는 잘 알려져 있지 않지만 평생을 혼자 조용하게 연구하면서 페이저(phasor), 교류 회로 이론(AC circuit theory), 라플라스 변환(Laplace transform), 맥스웰 방정식(Maxwell's equations), 전송선 이론(transmission line theory), 전리층(ionosphere), 도파관(waveguide), 포인팅의 정리(Poynting's theorem) 등의 개념을 최초로 제안하고 심도있게 발전시켰다. 이런 다양한 개념을 보면, 현재 우리가 전자파 분야에서 배우는 대부분의 내용은 사실 헤비사이드의 머리에서 나왔다고 볼 수 있다. 헤비사이드는 회로 용어의 창안에도 열정을 기울여서 컨덕턴스(conductance), 인덕턴스(inductance), 어드미턴스(admittance) 등도 제안했다. 고등학교만 나온 헤비사이드를 이런 수준의 과학자로 만든 계기는 맥스웰James Clerk Maxwell(1831–1879)의 책[1]이었다. 1873년헤비사이드 23세, 조선 고종 시절에 읽은 맥스웰의 책에 감동받은 헤비사이드는 자신의 인생을 전자파에 바치기로 결심하였다. 얼마 뒤 회사까지 그만두고 부모님의 집에서 결혼도 하지 않은 채 평생을 전자파 연구에 매진했다.

                         (6)

                         (7)

임피던스 개념을 사용하면 커패시터와 인덕터를 이용해 일반화한 식 (6)의 KCL(Kirchhoff Current Law)과 식 (7)의 KVL(Kirchhoff Voltage Law)을 DC와 유사하게 아래와 같이 표현할 수 있다.

                         (8)

임피던스를 이용해 일반화 시킨 식 (8)의 AC 회로용 KCL과 KVL을 이용하면 직렬과 병렬 회로의 등가 임피던스(equivalent impedance)를 쉽게 계산할 수 있다.

[그림 2] 직렬로 된 임피던스(출처: wikipedia.org)

[그림 3] 병렬로 된 임피던스(출처: wikipedia.org)

저항(resistor)커패시터(capacitor)인덕터(inductor)에 대한 등가 임피던스 유도를 참고하면 직렬과 병렬에 대한 등가 임피던스를 식 (9)와 (10)처럼 증명할 수 있다.

                          (9)

                         (10)

임피던스는 복소수로 정의된다는 특성도 생각한다. [그림 4]와 같이 임피던스는 복소수이기 때문에 크(magnitude)와 위상(phase)을 가진다.

 [그림 4] 임피던스의 복소 평면 표현(출처: wikipedia.org)

임피던스의 크기는 전류 흐름을 방해하는 정도인 저항(resistance)을 뜻한다. 식 (4)에도 제시되어 있듯이 저항, 커패시터, 인덕터는 항상 저항을 가진다. 그 다음으로 중요한 개념이 위상이다. 식 (5)를 크기와 위상으로 다시 표현하면 아래와 같다.

                         (11)

임피던스의 위상은 전류 위상에 비해 전압 위상이 차이나는 정도를 의미한다. 페이저 관점에서 전압과 전류의 위상은 임피던스의 위상만큼 차이가 나게 된다. 이를 이해하기 위해 [표 1]을 살펴본다.

[표 1] 주파수별 임피던스의 변화

저항 소자는 주파수가 아무리 바뀌어도 임피던스의 변화가 없다. 하지만, 인덕터와 커패시터는 식 (4)에 의해 주파수별로 임피던스 특성이 바뀌게 된다. 인덕터의 경우 주파수가 0[DC]으로 가면 단락(短絡, short)으로 작용해 임피던스가 없지만 주파수가 매우 커지면 거의 개방(開放, open)처럼 행동해 임피던스가 무한대[혹은 전류가 흐를 수 없는 상태]가 된다. 커패시터는 주파수가 0[DC]일 때는 개방이었다가 주파수가 높아질수록 단락과 유사한 상태가 된다. 또한, 관심 있게 봐야 하는 부분은 임피던스의 위상이다. 식 (4)를 참고하면 저항은 위상 차이를 만들어내지 못하지만 인덕터는 $j$[=90˚]만큼 커패시터는 $-j$[= -90˚ 혹은 270˚]만큼의 위상 차이를 만들어낸다. 즉 전류 위상을 0˚라 가정하면 저항의 전압 위상은 0˚, 인덕터의 전압 위상은 90˚, 커패시터의 전압 위상은 -90˚이 된다.
AC 회로 이론에서는 새로운 개념이 마구 쏟아져 나온다. 영어를 쓰는 미국인에게는 자명한 내용이지만, 영어가 너무 먼 외국어인 우리에게는 외워야 할 골치 아픈 숙제이다. 어렵지만 어쩌겠는가! 헤비사이드가 한국 사람이 아닌 사실을 받아들인다.

                          (12)

임피던스는 복소수이기 때문에 실수부($R$)와 허수부($X$)로 나눌 수 있다. 임피던스의 실수부는 전류 흐름을 방해하는 저항(resistance)을 의미하고 허수부는 에너지 저장과 관련된 리액턴스(reactance)를 뜻한다. 식 (4)에서 임피던스가 허수를 가질 수 있는 소자는 커패시터와 인덕터이다. 커패시터와 인덕터는 에너지를 전기와 자기 형태로 저장하는 소자이다. 그런데, 에너지 저장과 리액턴스는 무슨 관계인가? 리액턴스를 굳이 한글로 번역하면 반발 비율 혹은 반응 비율이다. 스프링(spring)과 같은 물건은 외부에서 힘을 주면 에너지를 저장했다가 다시 튕기는[혹은 반발하는] 능력이 있다. 마찬가지로 커패시터와 인덕터도 외부에서 전압이나 전류가 가해지면 에너지를 저장했다가 반드시 에너지를 방출하는 반발을 한다. 이런 의미에서 임피던스의 허수부는 리액턴스라는 이름이 붙어있다. 임피던스의 역수(multiplicative inverse or reciprocal)어드미턴스(admittance)라고 한다. 어드미턴스를 한글로 번역하면 허용 비율 혹은 허락 비율이다. 즉, 전류가 잘 흐를 수 있도록 전류를 허용하는 비율이라는 의미이다. 어드미턴스의 실수부($G$)는 컨덕턴스(conductance), 허수부($B$)서셉턴스(susceptance)라고 한다. 이를 각각 한글로 번역하면 컨덕턴스는 전도 비율, 서셉턴스는 허가 비율이 된다. 서셉턴스라는 말이 생긴 이유는 리액턴스[반발 비율]의 역수와 관계된 전기 용량(capacitance)을 허락 비율(permittance)로 표현했기 때문이다.[서셉턴스의 제안자인 스타인메츠Charles Steinmetz(1865–1923)는 이 관점에 절대 동의하지 않을 것 같다.] 반발과 허용을 영어로 표현하면 리액션(reaction), 서셉션(susception)이 된다. 그래서 용어를 넘어 영어 자체로 생각하면, 임피던스와 관련된 복잡한 전공 용어를 쉽게 외울 수 있다.

[그림 5] 임피던스의 직렬 등가 회로

[그림 6] 어드미턴스의 병렬 등가 회로

임피던스를 구성하는 실수부와 허수부는 [그림 5]와 같은 직렬 등가 회로로 나타낼 수 있다. 식 (12)에 따라 $\bf Z$는 $R$과 $jX$가 덧셈으로 연결되므로, 실수부와 허수부인 $R$과 $jX$를 회로 소자로 생각하면 덧셈은 회로의 직렬(series) 구성이 된다. 마찬가지로 어드미턴스는 [그림 6]처럼 병렬 등가 회로로 표현된다. 왜냐하면 $\bf Y$는 $\bf Z$의 역수라서 $G$와 $jB$의 덧셈은 직렬이 아닌 병렬(parallel or shunt)로 해석되기 때문이다. 또한 식 (12)에 의해 직렬과 병렬 등가 회로는 서로 변환될 수 있다. 먼저 직렬에서 병렬 회로로 변환하는 직렬–병렬 변환(series-to-parallel conversion)은 다음과 같다.

                         (13)

동일한 방식으로 병렬에서 직렬로 가는 병렬–직렬 변환(parallel-to-series conversion) 관계도 얻는다.

                         (14)

만약 손실 있는 인덕터를 [그림 5]처럼 직렬로 모형화한다면, 식 (13)을 써서 직렬 회로를 근사적인 병렬 회로로 만들 수도 있다.

                         (15)

여기서 $R_s \ll 1$, $X_s$ = $\omega L_s$, ${\bf Z}_L$ = $R_s + j \omega L_s$ = $j \omega L_p /(1 + j \omega L_p/R_p)$, ${\bf Y}_L$ = $1/R_p -j/(\omega L_p)$이다. 누설 있는 커패시터의 모형화는 주로 [그림 6]과 같은 병렬 등가 회로를 선택한다. 이 경우의 등가 회로를 직렬로 바꾸려면 식 (15)와 비슷한 과정을 적용한다.

                         (16)

여기서 $R_p$ = $1/G_p \gg 1$, $B_p$ = $\omega C_p$, ${\bf Y}_C$ = $G_p + j \omega C_p$ = $j \omega C_s /(1 + j \omega R_s C_s)$, ${\bf Z}_C$ = $R_s -j/(\omega C_s)$이다.
진도를 좀더 나가본다. 임피던스와 어드미턴스를 동시에 이르는 말로 임미턴스(immittance)란 용어도 가끔가다 쓴다. 회로망(circuit network)에서 임피던스인 경우와 어드미턴스인 경우가 모두 동일한 특성을 보여, 이 두 경우를 하나로 표현하고 싶을 때 임미턴스를 사용한다. 혹은 스미쓰 도표(Smith chart)처럼 임피던스와 어드미턴스를 모두 표현한 그림을 칭할 때 임미턴스 도표라고 할 수도 있다. 임미턴스 개념의 발명자는 전자 회로 분야 영웅 중 한 명인 보디Hendrik Wade Bode(1905–1982)이다.
임피던스 용어에 등장하는 -언스(-ance)는 원래 상태(state)라는 의미이지만, 헤비사이드는 크기 성질(extensive property)을 표현하기 위해 일관되게 물리량에 -언스를 붙였다. 크기 성질은 물리량이 크기에 따라 변하는 뜻이며, 크기 성질을 가진 물리량은 서로 더할 수 있다.[저항의 직렬과 병렬을 생각하면, 크기 성질은 당연히 더할 수 있다.] 예를 들어, 저항 상태 혹은 저항 비율인 임피던스는 -언스로 끝나기 때문에 소자의 크기에 따라서 임피던스가 변한다. 크기 성질의 반대 되는 특성은 세기 성질(intensive property)이다. 크기 성질과 다르게 세기 성질은 물리량이 크기에 따라 변하지 않고, 세기 성질이 있는 물리량은 더할 수 없다. 헤비사이드는 세기 성질을 나타낼 때는 꼭 -도(-ivity)를 썼다. 세기 성질을 가진 물리량은 매질과 관계가 깊어서 전도도(conductivity), 비저항(resistivity), 유전율(permittivity) 등이 있다. 많은 회로 용어를 제안한 헤비사이드였지만, 전기 용량(capacitance)은 고집스럽게 허락 비율인 퍼미턴스(permittance)로 불렀다. 전기 용량의 영어 표현인 커패시턴스는 전기 유체(electric fluid)의 흐름을 담는 그릇의 크기라는 느낌이 너무 강해서, 헤비사이드는 커패시턴스 대신 스프링(spring)과 관계된 퍼미턴스를 고집했다. 훅의 법칙(Hooke's law) $F$ = $-kx$에 따라 힘(F)을 가하면 스프링은 약간 늘어난다. 스프링이 늘어나지 않고 버티는 비율 $k$는 강성(stiffness) 혹은 스프링 상수(spring constant)라 한다. 헤비사이드는 퍼미턴스를 강성 $k$의 역수로 상상했다. 회로에 힘[전압을 의미]을 가하면, 커패시터에 변위[맥스웰을 따라서 변위 전류(displacement current)를 상상]가 생긴다. 이때 생기는 변위는 강성의 역수와 힘의 곱인 $1/k \cdot F$과 동일하다. 그래서 강성이란 뜻의 반대말로 허락 비율인 퍼미턴스를 창의적으로 제안했다. 퍼미턴스란 명칭은 이미 사라졌지만, 퍼미턴스(permittance)의 세기 성질을 나타내는 유전율(permittivity)은 잘 살아남았다.  

[참고문헌]
[2] A. E. A. Araújo and D. A. V. Tonidandel, "Steinmetz and the concept of phasor: a forgotten story," J. Control Autom. Electr. Syst., vol. 24, pp. 388–395, 2013. 

[다음 읽을거리]
1. 전송선 이론
2. 전압해와 전류해의 유일성

댓글 76개 :

  1. 대박 입니다. 이런 뜻이었군요 ㅠㅠ 감사합니다

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  2. 안녕하세요? 항상 감사하게 생각하며 읽고 있습니다.
    위상각 개념에서 전류위상각이 기준이 되는 이유가 있을까요?

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  3. ^.^ 전류위상이 기준이 될 특별한 이유는 없습니다. 다만 모든 이론에서 일관되게만 적용하면 됩니다. 페이저를 이용해 전력을 정의할 때도 V×I*를 통해 전류위상이 기준이 됩니다. 포인팅의 정리에서도 E×H*를 통해 자기장위상을 기준으로 사용합니다.
    우리 선배들이 전류위상을 기준으로 한 이유를 굳이 유추하자면 옴의 법칙때문입니다. DC에서는 V = IR, AC에서는 식 (11)처럼 V = IZ가 되어 전류위상을 기준으로 전압위상을 정의하는 것이 자연스럽습니다.

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  4. 그렇군요~^^ 감사합니다!

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  5. 감사합니다 수업을 들어도 무슨말인지 전혀 이해가 안갔는데 이글을 보고나니 어떤개념인지 머릿속에 정리가되네요. 이글말고도 다른글들도 감사하게 생각하며 보고있습니다 행복한하루 되세요 ^^

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  6. ^.^ 도움이 되었다니 저도 기쁘네요.

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  7. 안녕하세요. 최근에 이 블로그를 알게되서, 도움을 많이 받고 있습니다.
    질문이 있는데요.
    커패시터에서 주파수가 0 (DC)일 때, 개방상태가 되어서, current가 흐르지 못한다고 하셨는데요.
    공식만 보고, current가 흐르지 못하는지는 알겠습니다.
    물리적인 현상으로는 어떻게 이해를 해야할지 모르겠습니다. 왜 주파수가 0이면, 커페시터는 dc current를 흐르지 못하게 하나요?

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  8. 감사합니다.

    DC에서 커패시터에 전류가 흐르지 못하는 이유는 회로가 끊겨져 있기 때문입니다. 끊겨져있어서 커패시터 양끝에 정전용량이 허용하는 만큼 전하가 쌓일 수는 있지만(Q = CV) 전하가 흐르는 것은 아니기 때문에(V의 시간변화가 없는 게 DC) 전류가 생길 수 없습니다.

    AC에서는 커패시터 양끝에 쌓인 전하가 변화하는 V에 따라 충전/방전되기 때문에 전류가 흐를 수 있습니다.

    또한, 커패시터 내부에 생기는 현상을 설명하는 것이 맥스웰이 제안한 변위전류입니다. 도선에는 전류가 흐르고 있고 커패시터 내부에는 전류가 없는 것은 이상합니다. 그래서 연속성을 맞추어주기 위해 등장한 것이 변위전류입니다. 도선의 전도전류가 커패시터 내부에서는 변위전류로 바뀝니다.

    이 부분은 이해가 잘 안되더라도 너무 걱정하지 마세요. 맥스웰이 변위전류를 주장했을 때 정신나갔다는 소리를 들었습니다. 지금은 누구나 받아들이지만 당대 학자들도 거부했던 개념입니다.

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  9. 답변 감사합니다 ^^

    변위전류에 대해서 이해해볼려고, 위키피디아를 읽어봤는데요 ㅎ

    이 변위전류라는 것이 전하가 커패시터를 통해서 흘러서가 아니라, time-varying electric field 라고 하더군요. 즉, AC current가 커패시터를 통해 흐른다는 말은, electric field(inside the capacitor) 가 시간에 따라, 변하는 것을 말하는거구요.

    또한, 이 time-varying electric field 는, 전파거북이님께서 말씀하신 것 처럼, 커패시터 양끝에 쌓인 전하가 충전과 방전을 반복하기 때문에 발생하는거구요.
    제가 맞게 해석했는지는 모르겠네요 ㅎㅎ;

    쫌 어리석은 질문일런지는 모르겠지만, 그렇다면 DC 에서는 electric field가 변하지 않는 반면, AC 에서는 Electric field가 시간변화가 있다는 건데, 왜 이것을 보고, 전류가 흐른다, 안흐른다고 말하나요? (또한, 이 외에, 다른 이유가 있다면)

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  10. 변위전류에 대해서는 아래에도 설명이 있습니다.

    http://ghebook.blogspot.com/2010/09/maxwells-equations.html

    위에 말씀하신 내용은 다 맞습니다. 커패시터 양끝에 전하가 충전/방전되기 때문에 쿨롱의 법칙에 의해 시간적으로 전기장이 커지거나 작아집니다.

    DC는 말그대로 시간변화가 없다는 말이므로 전기장(or 전하)이 시간적으로 변하면 안됩니다. 그러니 커패시터에는 전류를 흐릴 수가 없지요.

    쿨롱의 법칙(or 가우스 정리)을 보면 전기장의 원천이 전하이기 때문에 전기장이 시간적으로 변한다는 말은 전하가 시간적으로 변한다는 말과 같습니다. 전하가 시간적으로 변하면 당연히 전류가 되지요.

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  11. 쓸데없는 얘기지만 헤비사이드 정말 대단한 사람이었군요. 이력도 특이하고, 은둔의 과학자라 진짜 멋지네ㅎㅎ

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  12. 헤비사이드 본인도 자신의 재능에 놀랐을겁니다. 맥스웰에 감복해서 시작한 전자파 연구지만 나중에는 맥스웰을 넘어서서 자신만의 이론으로 발전시켰습니다.

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  13. 대단하세요~ 푸리에 급수 때문에 왔다가 여기까지 왔네요.... 대학원까지 졸업했는데...
    기억이 안나서...머리가 돌인가 봅니다...ㅎㅎ 거북님의 지식에 한없이..저 스스로 부끄럽네요..
    대단하세요.^^ 좋은자료를 통해서 다시 공부해야겠습니다.^^

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    1. 칭찬 감사합니다.

      누구든 계속 공부하지 않으면 잊어 먹게됩니다. 익명님만 특별히 돌(?)인 것은 아닙니다. 저도 기억 안날 때가 많습니다.

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  14. 와... 큰 감동 받고 갑니다..

    이런 깊은 concept이 있었군요..

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    1. 죄송하지만 나중이라도 시간나실때

      filter와 cutoff frequency부분 강의도 올려주실 수 있나요?!

      너무 감동받아서요 ㅎㅎ

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    2. 감사합니다 ^^

      개인적으로 밥이라도 한끼 사드리고 싶네요...ㅎㅎ

      개념간의 연결고리가 잘 이어진거 같은 기분입니다..!!!

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    3. 방문하신 것만으로도 밥 한 끼 산 것이지요...
      익명님도 좋은 정보 많이 공유해 주세요.

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  15. 헤비사이드가 아마 에너지 구하는 오퍼레이터도 만들었던 거 같은데...이런 괴물들은 왜 있는 걸까요 ㅠㅠ

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    1. 헤비사이드가 만든 에너지 연산자는 어떤 것이지요? 처음 들어봅니다.
      에너지와 비슷한 전력에 대한 공식은 포인팅 정리입니다. 이름은 포인팅으로 되어 있지만 헤비사이드가 최초로 제안했습니다.

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    2. 앗;;해밀토니안이었는데 착각했어요. 헤비사이드도 하도 많이 나와서 헷갈렸네요....

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  16. '정말 유용한 페이저(phasor) 개념' 이란 글에서 d/dt ≡jw 라는 생각은 위대한착각이라고 쓰셨는데 여기선 어떻게된건가요;;

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    1. 익명님, 임피던스에 쓴 페이저도 혁명적인 개념입니다. 임피던스는 회로 연구자를 미분 방정식에서 해방시킨 또하나의 위대한 착각입니다. ^^

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  17. 컨패시턴스와 저항이 병렬로 연결되어있을때에 등가 임피던스를 구하면
    R/(1+jwC)의 형태가 나오게 됩니다. 그때 이것을 A+jB의 형태로 바꾸는 방법이 궁금합니다.ㅜㅜ
    가르쳐 주실수 있을까요??

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    1. 단순한 복소수 나눗셈입니다. 분모, 분자에 켤레 복소수를 곱해서 정리하세요.

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  18. 좋은글 감사합니다. 궁금한게 있어서 질문 드려요.
    인덕터는 지상역률(전압이 전류보다 위상이 90도 앞선다고 배웠습니다)
    따라서 사인파로 그려보면 전압과 전류의 최대값에 90도만큼의 위상차가 나타남을 확인할수 있습니다.
    그런데 Vm= Z * Im 으로 이용해서 Z임피던스를 구하는데 이부분이 이해가 안되네요 .
    전압과 전류의 각 최대값에서 위상차가 존재하므로 동시에 최대값이 존재할수 없는것 아닌가요???

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    1. 최대값이 아니더라도 신호의 모든 시간대에서 위상차가 존재합니다. 이걸 쉽게 보여주는게 페이저(phasor)입니다.

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  19. 전기전자전파공학부에 재학중인 학생입니다. 기초가 부족해서 고생하는...
    전력계산에 관한 글을보다가 이것저것 보고갑니다.. 존경스럽습니다. 소름돋았네요. 진짜 대단...그런데 블로그에 원래 자유게시판이나 글쓰는공간이 따로없고 이렇게 댓글이 다인가요? 더 소통하고싶은데 ㅠㅠ
    구글아이디만있었는대 글남기려고 새로가입했네요..

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    1. 방문 감사합니다, junhee choi님. ^^
      쉬엄쉬엄하세요, 공부의 길은 매우 길어요. 끝까지 버티는 사람이 결국은 이깁니다. 열공 :-)

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  20. 존경 합니다.... 정말로

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    1. 존경까지야... 방문 감사합니다, 익명님. ^^

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  21. 복소수의 개념에서 같은 복소수에 대해 페이저는 위상 지연으로 설명되고 임피던스에서는 에너지 저장 개념으로 설명이 되는데 둘 과의 연관성을 알고 싶습니다.^^

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    1. 저랑은 이해의 관점이 약간 다른 것 같습니다, 익명님. ^^
      익명님의 질문과 아래 내용을 비교해주세요.
      - 페이저: 교류를 표현하기 위한 손쉬운 기법
      - 임피던스: 페이저를 이용해 교류의 전기 저항을 표현하는 기법

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  22. 필요한 부분을 읽고있는데 교과서보다 더 좋은거같아요...즐겨찾기해놓고 자주 읽어봐야겠습니다.
    궁금한게 있는데
    페이저는 jwt 부분을 생략하고 jθ 만을 쓰는데
    jwt는 주파수정보가 있는 부분인데 이거는 일정한(고정된) 값이라서 쓰질 않는건가요??

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    1. 네, 맞습니다. 주파수는 정해져 있고, 시간(t)은 미분하더라도 지수항에 머물러 전체가 고정되었다고 생각하면 됩니다.

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  23. 안녕하세요, 요즘 group delay, group velocity에 대해 공부하는 중인데 해결이 잘 안되어... 전파거북이 님이 갑자기 떠올라 블로그를 찾았습니다. 위 키워드로 검색하니 이 페이지가 뜨는데 delay에 대한 내용은 아니지만 질문을 남겨보고 싶습니다.

    일반적으로 phase, group delay나 velocity는 positive값을 갖는데 meta material과 같은 음의 refractive index를 갖는 물질(구조)에서는 negative값을 갖을 수 있는데, 이를 해석하면 input pulse가 들어가기 전 output pulse가 나온다는 말인데 이해가 잘 안됩니다.

    ref. Dolling, Gunnar, et al. "Simultaneous negative phase and group velocity of light in a metamaterial." Science 312.5775 (2006): 892-894.

    답변 기다리겠습니다. 편하실 때 답변좀 부탁드리겠습니다. 감사합니다.

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    1. 인과성이 성립하지 않는다면 무언가 틀린 것입니다.
      우리가 다루는 신호는 주기적이어서 마치 입력 전에 출력이 나오는 것처럼 보이지만 아닙니다. 출력이 먼저 나온 것 같지만 이건 현재 입력이 아니라 이전 입력의 출력이므로 인과성은 잘 성립합니다.

      위상 속도, 군속도 등의 특성은 메타물질에서 다양하게 변할 수 있기 때문에 정의에 맞도록만 사용해야 합니다. 확대 해석하면 오류가 생길 수 있습니다.

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  24. 안녕하세요. 공부하는 대학생입니다. 최근에 전파 거북이님 블로그를 알게 되어서 큰 도움이 되었습니다.
    고맙다는 인사말을 하고 싶었어요. 감사합니다.

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    1. 도움이 되었다니 다행이네요, 익명님. ^^ 방문 감사합니다.

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  25. 공학도인데 항상 보고 공부하는데.. 실력이 많이 부족함을 느끼네요. 많이 유익합니다. 감사합니다

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    1. 처음부터 잘 하는 사람은 극히 드물어요. 참고 끝까지 가는 사람이 전문가가 된다고 믿습니다. ^^

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  26. 안녕하세요

    식1-1의 양변을 미분하면 식 1-2가 되신다고 하셨는데

    왜 자속밀도를 미분하면 전압이 되나요? 잘 이해가 안되서 그러는데

    관련 게시글이나 이론을 알려주시거나 설명좀 부탁드릴게요

    그리고 유익한글 감사합니다.

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    1. 그게 바로 이해가 되면 안됩니다. ㅠㅠ 아래 패러데이 법칙을 꼼꼼하게 보세요, 익명님. ^^

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/08/faradays-law-of-electromagnetic.html

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  27. 선배님 안녕하세요. 뒤늦게 공학 공부를 하고 있는 학생입니다. 선배님의 간단한 프로필을 보니 멘토역활을 하신다고 적혀있던데, 선배님에게 메일로 따로 여쭤볼 말이 있습니다. 혹시 가능할까요? 그냥 공대생으로서의 고민을 말씀드리고 조언 받고 싶어서요.
    저의 메일은 frespiritdun@naver.com입니다. 항상 글 잘 읽고 있습니다. 정말 감사합니다.

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    1. 답변 가능하면 회신은 합니다만 너무 큰 기대는 마세요. ^^
      공대생의 고민은 교수님이나 혹은 얼굴 보면서 교감할 수 있는 선배가 더 적절할 것 같네요.

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  28. 작성자가 댓글을 삭제했습니다.

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    1. 아닙니다. 특성 임피던스도 복소수가 될 수 있습니다. 이름에 임피던스가 붙어 있지만, 특성 임피던스는 일반 임피던스와 완전히 다른 개념입니다. 이와 관련된 개념은 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/08/characteristic-impedance.html

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    2. 거북님 블로그에서 공부 좀 더하고 질문드리려고 질문을 일단 삭제했습니다^^

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  29. 복소 임피던스에서 임피던스의 크기가 빗변의 길이가 되는 것은 복소수의 수학적 특징때문인가요?? 아니면 물리, 공학적인 이유가 우연히 복소수의 특징과 일치한 것인가요??

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    1. 미분 방정식을 간단히 계산하기 위해 복소수를 도입한 것이 페이저입니다. 이 페이저 특성 때문에 말씀하신 성질이 생깁니다.

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  30. exp(jwt) 시간 약속이 아닌 exp(-jwt) 시간 약속을 사용한다면 유도 임피던스와 용량 임피던스는 각각 -jwL, -1/jwC 가 되는 것인가요?

    애초에 두 시간 약속의 차이가 무엇인가요?

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    1. 시간 약속은 선택 사항입니다. 시간 약속의 부호는 허수 $i, j$로 구분합니다. 아래 참고하세요.

      https://ghebook.blogspot.kr/2010/10/maxwells-equations-using-phasor.html

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  31. 혹시 개인적으로 연락이 가능한지 조심스럽게 여쭙고 싶습니다.
    연락이라고 하면 e-mail을 의미할 수 있습니다만 관련 정보가 없어 게시글을 읽다 댓글을 남깁니다.
    제 메일 주소는 pighead27@gmail.com 입니다.
    해당 메일주소로 연락해주시면 감사하겠습니다.

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    1. junhee님, 이메일은 i.Ghebook@gmail.com이지만 가능하면 이곳에 댓글로 의견 주세요.

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  32. 안녕하세요. 선생님
    표(1) 주파수별 임피던스변화를 보고 skin effect가 생각났습니다.
    주파수가 무한대일 경우 저항 R은 0 으로 수렴하지 않을까요? 그리고 주파수가 무한대일경우 왜optics 라고 하나요? 어떤 의미인가요..?

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    1. 안녕하세요, Unknown님. ^^ 선생님, 아닙니다.

      1. [표 1]은 표피 효과와는 달라요. R, L, C가 가진 원래 정의를 이용해 RLC의 주파수 특성을 [표 1]에 표현한 겁니다.

      2. R은 주파수에 관계없이 일정하기 때문에, 무한대로 가도 0이 아닌 DC와 동일한 값입니다.

      3. 무한대 주파수를 상상하기 어렵기 때문에, 보통 매우 높은 주파수는 광학(빛, optics)에 해당한다고 생각합니다.

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  33. 안녕하세요. 전파거북이님
    비록 아는 것은 별로 없지만 궁금한 점이 있어서 질문드립니다
    등가 인피던스 개념을 이용해서, L과 C가 무한하게 병렬로 연결된 회로의 인피던스를 구해봤는데,
    결론적으로 복소수의 방정식을 풀었을 때
    인피던스에 실수부 항이 생겨서 전력인자가 0이 안되더라구요. 에너지가 어디서 소비되는지 정성적으로 알 수 있을까요?

    또, 에너지가 전자기파로 손실되는 것은 아닌지 생각해 봤는데, 전기회로 이론이 변위전류의 개념을 포함해서 에너지를 계산하고 있는지 궁금합니다

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    1. 아래 링크에 있는 전송선 이론을 참고하세요. 전송선을 회로 이론으로 모형화할 때 L과 C를 무한히 배치합니다. 이때 에너지는 소비되지 않고 부하로 계속 전달됩니다.

      https://ghebook.blogspot.com/2011/07/transmission-line-theory.html

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  34. 아직도 질문을 받으실지는 모르겠지만 다른 곳에서 Y=G-jB라고 되어 있던데 여긴 플러스여서 헷갈려요

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    1. 본문이 맞아요, hihellodhdh님. 어드미턴스(Y)의 허수부를 서셉턴스(B)로 정의합니다.

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  35. 안녕하세요, 전파 거북님!

    임피던스에서 Im부분이 무슨 의미인지 고민하다가 심마?에 빠질 뻔 했지만,
    거북님 글을 읽고 해결됐습니다.

    좋은 글, 정보 감사합니당 :)

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    1. 도움이 되었다니 즐겁습니다, EE::ML님 😁

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  36. 제가 살짝 멍청해서 페이저를 이해를 잘 못하겠습니다. 예를 들어 I=sinwt, V=sin(wt+a)라 했을때, 페이저법에서는 Z=sin(wt+a)라고 간단히 나오지 않습니까? 근데 실제로 V/I를 한다면 sin(wt+a)/sinwt 인데 이 값이 실제로 Z=sin(wt+a)라는 연결성이 왜 나오는지 모르겠습니다. 페이저법칙이 위상차와 크기만 가지고 고려한다는 것을 알긴 알지만 실제값과 복소수를 갑자기 가져오는 것에서 합당한지 이유를 모르겠습니다.

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  37. 식 (1)과 (4)를 비교해보세요. 페이저는 미분 계산을 복소수로 대신하기 위해 사용합니다.

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  38. 정성 가득 담은 글 감사합니다.

    계속 고민해보아도 모르겠는 부분이 있어서 질문 드립니다.

    정현파 교류 전압 또는 전류를 복소수를 이용해서 표현할 때

    Vm*Cos(wt) = Vm*e^jwt 로두고 임피던스 따위를 이끌어내지 않습니까?

    그런데 오일러 공식에 따르면 Vm*cos(wt) = Vm*1/2(e^jwt + e^-jwt) 이여서 위의 등가가 성립되지 않는데 어떻게 책에서는 이렇게 쓰는 건지 모르겠습니다.

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    1. 질문을 올바르게 하지 않은 것 같아 더 남깁니다.

      원어로 된 회로이론 책으로 공부하고 있는데 등가 기호가 있지는 않고 다만, v(t) = Vm*cos(wt) 였던 것을 nonrealizable voltage인 v(t) = Vm*e^jwt 로 선택한다고 나와 있습니다.

      Vm*e^jwt 의 실수부가 Vm* cos(wt) 라는 것을 알고 있고 이를 이용해서 실제하는 정현파를 nonrealizable인 complex exponential 로 대체하는 것이라는 느낌은 오는데, 전압이 실제가 아닌 그 무엇임을 상정하고 이에 따른 전류를 복소수 형태로 구한뒤 이의 실수부를 실제 응답으로 구한다는 것의 논리가 이해가 되지 않는것 같습니다.

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    2. 질문하는 도중에 깨달은것 같습니다ㅎㅎ...

      제가 올바르게 이해한 것인지 봐주실 수 있나요?

      제가 이해한 바는 이렇습니다.

      그냥 코사인 함수에 대한 응답을 구하기에는 미분방정식을 풀기가 어렵습니다. 그래서 이 코사인 함수를 실수부로 하는 complex exponential 함수를 대신 대입 합니다. exponential이 있고, exponential의 미분은 자기 자신의 scaling 이기 때문에 미분방정식으로 풀어야 했던 것은 대수방정식으로 풀 수 있게 됩니다. 이때 superposition principle(linear한 회로의 경우)이 성립한다면 실수부에 대한 응답과 허수부에 대한 응답은 각각의 input에 대한 것이고 그 합이 총응답으로 나타나게 됩니다. superposition principle에 의해서 이렇게 구한 총응답의 실수부는 바로 complex exponential 함수의 실수부에 대한 응답임을 우리는 알고 있습니다. 그런데 여기서 다시 생각해봅시다. 바로 이 익스포넨셜 함수의 실수부가 바로 우리가 처음 그 응답이 궁금했던 입력인 Vm * cos(wt) 이네요. 이렇게해서 복소자연지수함수를 이용해서 임의의 정현파에 대한 응답을 쉽게 구할 수 있는 것 입니다.ㅣ

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    3. 맞습니다. 더 구체적인 설명은 아래 페이저 개념을 참고하세요.

      https://ghebook.blogspot.com/2010/10/phasor.html

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  39. 안녕하세요 전파거북이님, 항상 너무 좋은 지식 잘 얻어가고 있습니다.
    이번 블로그를 보다가 잘 해결이 되지않는 부분이 있어서 질문 한가지 드리겠습니다.
    제가 이해한 바로는 임피던스에서 전류의 위상이 0도라고 가정하였을 때, 커패시터와 인덕터의 위상이 -90,90도의 차이가 나는것을 표현한 방식이 j(허수)라고 이해를 했는데요.
    허수의 어떤 특성때문에 90도의 위상차이를 표현할 수 있는건가요??

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    1. 복소 평면을 생각해보세요. 복소 평면에 있는 단위 원인 $e^{j \phi}$는 이 원상의 특정 위치 혹은 위상 $\phi$를 나타냅니다. 예를 들어, $e^{j \pi/2}$ = $j$라서 90도 위상을 표현해요.

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    2. 감사합니다. 간단한 문제인데 생각을 못하고 있었네요ㅠㅠ

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  40. 영재고 다니는 학생인데, 물리에서 임피던스를 배우고 있고, 수학에서는 복소평면에 대해서 배우고 있어서 두 가지의 연관성을 찾다가 이 자료를 보게 되었습니다! 여러 번 읽어보니까 진짜 소름이 돋네요.. 너무 신기하고 재밌는 것 같습니다! 감사합니다.

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    1. 아무리 영재고라도 고등학생은 읽고 소름을 느끼기는 어려운 개념인데요, 굉장한 익명님이네요.
      잘 공부하셔서 대한민국의 과학기술계에 한 축이 되어주세요^^

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