전압해와 전류해의 유일성(Uniqueness of Voltage and Current Solutions)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전압해와 전류해의 유일성"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 페이저를 이용한 임피던스 정의
2. 전송선 이론
3. 전자기파에 대한 유일성 정리

회로 이론(circuit theory)이나 전송선 이론(transmission line theory)으로 문제를 풀 때 한 가지 걱정되는 부분은 유일성(uniqueness)이다. 우리가 얻은 전압이나 전류는 푸는 방법에 관계없이 단 한 가지인가? 다행히 회로 이론과 전송선 이론을 포함하는 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)에 대한 유일성 정리(uniqueness theorem)가 증명되었기 때문에 어렵지 않게 회로 이론 전압해와 전류해의 유일성을 증명할 수 있다. 전자기파에 대한 유일성 정리가 성립하려면 전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)의 접선 방향 경계 조건(boundary conditions)이 유일하게 정해져야 한다.

[그림 1] 전기장의 연속 조건

전기장의 접선 방향 성분이 연속이라는 조건을 전압(voltage) 관점에서 생각해보자. 이 경계 조건은 [그림 1]을 이용해 생각할 수 있다. 즉, 영역 (I)과 (II)에서 경계면에 접하는 전기장의 접선 성분[노란색 화살표]은 반드시 같아야[연속이어야] 한다. 이 개념을 식 (1)에 제시한 전압 개념에 넣어보자.

                           (1)

전기장[$\bar E_1 = \bar E_2$]이 같기 때문에 식 (1)에 의해 발생하는 전압[$V_1 = V_2$]도 반드시 같아야 한다. 즉, 경계면에서 전기장이 연속이라는 말은 경계면에 걸리는 전압이 같아야 한다는 조건과 동일하다. 이 개념이 바로 KVL(Kirchhoff Voltage Law)이 된다.

[그림 2] 자기장의 경계 조건

다음으로 [그림 2]를 이용해 자기장의 접선 방향 연속성을 전류(current) 관점에서 알아보자. 자기장의 연속성에 의해 영역 (I)과 (II)의 경계면에 존재하는 자기장[노란색 화살표]은 서로 같아야 한다. 각 영역의 자기장[$\bar H_1 = \bar H_2$]이 같다면 식 (2)의 암페어 법칙에 의해 경계면을 통과하는 전류[$I_1 = I_2$]가 서로 같아야 한다.

                  (2: 변위전류 포함 암페어의 법칙)

즉, 경계면에서 자기장이 연속이라는 말은 경계면을 통과하는 전류가 같아야 한다는 조건과 동일하다. 이 개념이 바로 KCL(Kirchhoff Current Law)이 된다.

이상을 종합하면 KVL과 KCL의 중요성을 인식할 수 있다. 회로 이론 문제를 풀 때 KVL과 KCL을 연속해서 적용하면 항상 전압해와 전류해를 유일하게 결정할 수 있다. 회로 이론과 전송선 미소 구간(微小區間, infinitesimal interval)의 모형화를 결합하면 전송선 방정식을 얻을 수 있다. 회로 이론의 극한이 전송선 이론이 된다고 생각할 수 있으므로 KVL과 KCL을 적용하면 전송선 이론의 답도 유일하게 얻을 수 있다.