2011년 8월 2일 화요일

전압해와 전류해의 유일성(uniqueness of voltage and current solutions)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전압해와 전류해의 유일성"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 페이저를 이용한 임피던스 정의
2. 전송선 이론
3. 전자기파에 대한 유일성 정리


회로이론(circuit theory)이나 전송선 이론(transmission line theory)으로 문제를 풀 때 한 가지 걱정되는 것은 유일성(uniqueness)이다. 우리가 얻은 전압이나 전류는 푸는 방법에 관계없이 단 한 가지인가?
다행히 회로이론과 전송선 이론을 포함하는 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)에 대한 유일성 정리(uniqueness theorem)가 증명되었기 때문에 어렵지 않게 회로이론 전압해와 전류해의 유일성을 증명할 수 있다.
전자기파에 대한 유일성 정리가 성립하려면 전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)의 접선방향 경계조건(boundary conditions)이 유일하게 정해져야 한다.

[그림 1] 전기장의 연속조건

전기장의 접선방향 성분이 연속이라는 조건전압(voltage) 관점에서 생각해보자. 이 경계조건은 [그림 1]을 이용해 생각할 수 있다. 즉, 영역 (I)과 (II)에서 전기장의 (경계면에 접하는) 접선성분(노란색화살표)은 반드시 같아야(연속이어야) 한다. 이 개념을 식 (1)에 제시한 전압 개념에 넣어보자.

                           (1)

전기장($\bar E_1 = \bar E_2$)이 같기 때문에 식 (1)에 의해 발생하는 전압($V_1 = V_2$)도 반드시 같아야 한다. 즉, 경계면에서 전기장이 연속이라는 말은 경계면에 걸리는 전압이 같아야 한다는 조건과 동일하다. 이 개념이 바로 KVL(Kirchhoff Voltage Law)이 된다.

[그림 2] 자기장의 경계조건

다음으로 [그림 2]를 이용해 자기장의 접선방향 연속성전류(current) 관점에서 알아보자. 자기장의 연속성에 의해 영역 (I)과 (II)의 경계면에 존재하는 자기장(노란색화살표)은 서로 같아야 한다. 각 영역의 자기장($\bar H_1 = \bar H_2$)이 같다면 식 (2)의 암페어 법칙에 의해 경계면을 통과하는 전류($I_1 = I_2$)가 서로 같아야 한다.

                  (2: 변위전류 포함 암페어의 법칙)

즉, 경계면에서 자기장이 연속이라는 말은 경계면을 통과하는 전류가 같아야 한다는 조건과 동일하다. 이 개념이 바로 KCL(Kirchhoff Current Law)이 된다.
이상을 종합하면 KVL과 KCL의 중요성을 인식할 수 있다. 회로이론 문제를 풀 때 KVL과 KCL을 연속해서 적용하면 항상 전압해와 전류해를 유일하게 결정할 수 있다.
회로이론과 전송선 미소구간(微小區間, infinitesimal interval)의 모형화를 결합하면 전송선 방정식을 얻을 수 있다. 회로이론의 극한이 전송선 이론이 된다고 생각할 수 있으므로 KVL과 KCL을 적용하면 전송선 이론의 답도 유일하게 얻을 수 있다.

댓글 2개 :

  1. 안녕하세요 좋은 글 잘 보고 있습니다
    유일성 정리에 의해 어떤 폐곡면 상의 전압값이 결정되면 내부 전압값이 결정된다고 알고 있습니다
    그렇다면 무한 평면상의 전압값이 결정되는 경우도 전압이 결정되나요??
    무한평면을 폐곡면으로 취급해도 되나요?

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    답글
    1. 네, 가능합니다, aaaf님.
      말씀하신 것처럼 유일성 정리는 유한한 폐곡면이 기준이고, 이 폐곡면을 무한대로 확장해서 무한 영역에 대한 유일성을 증명합니다. 다만 무한대로 확장한 표면적에서 적분값이 0으로 가야 합니다.

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