tag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post2737102276245242632..comments2024-03-14T22:23:02.825+09:00Comments on 조금은 느리게 살자: 완전 미분(完全微分, Exact Differential)전파거북이http://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comBlogger74125tag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-30195217210380872222022-06-11T11:34:39.881+09:002022-06-11T11:34:39.881+09:00변분법은 워낙 유명한 방법이라 찾아보시면 좋은 자료가 많을 겁니다.
매개변수에 대해 미분...변분법은 워낙 유명한 방법이라 찾아보시면 좋은 자료가 많을 겁니다.<br /><br />매개변수에 대해 미분할 때는 마지막 댓글처럼 완전 미분을 쓰면 됩니다.<br />예를 들면, $\frac{d}{d\epsilon}f(x, y, \dot{y}) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial \dot{y}}d\dot{y}\right ) \frac{1}{d \epsilon} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \epsilon} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \epsilon} + \frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\frac{\partial \dot{y}}{\partial \epsilon}$처럼 미분할 수 있어요.전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-88274142390235564602022-06-10T22:06:31.824+09:002022-06-10T22:06:31.824+09:00마지막 수정할게요 dF= ∂F/∂x·dx + ∂F/∂Y·dY + ∂F/∂Y'·dY&...마지막 수정할게요 dF= ∂F/∂x·dx + ∂F/∂Y·dY + ∂F/∂Y'·dY'Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-10296646918990308482022-06-10T22:03:22.010+09:002022-06-10T22:03:22.010+09:00전파거북이님! 안녕하세요! digital explorer 입니다. 미리 감사드립니다.^^;...전파거북이님! 안녕하세요! digital explorer 입니다. 미리 감사드립니다.^^;<br />혼자서 고민해봐도 확신이 안 서고 물어볼 사람도 마땅치 않아 자꾸 문의드려요.<br />제가 잘 이해 안되는 부분이 완전미분 특성을 이용한 것인 지 궁금해서 질문 좀 드리겠습니다.<br /><br />변분법을 사용하는 문제에서 적분 I=∫ F(x,y,y') dx 를 정상적으로 만드는 y를 구하는 것입니다.<br />변형된 곡선의 집합 Y(x)=y(x) + εη(x)을 고려하고, I를 매개변수ε에 대해 미분하면,<br />I(ε)=∫ F(x, Y, Y') dx ---이 과정이 완전미분을 이용한 것인가요? ---> dI/dε = ∫ (∂F/∂Y·dY/dε + ∂F/∂Y'·dY'/dε) dx<br />F가 x, Y, Y'로 표현되는 함수라면, 일반적으로 dF= ∂F/∂x + ∂F/∂Y + ∂F/∂Y' 라고 해도 되는지요?Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-33428585822778982582021-12-06T13:04:36.262+09:002021-12-06T13:04:36.262+09:00완전미분과 불완전미분에 대한 저의 짧은 설명을 드릴까 합니다. (From 물리 아저씨)
우...완전미분과 불완전미분에 대한 저의 짧은 설명을 드릴까 합니다. (From 물리 아저씨)<br />우린 스토크스 정리를 배웠을 겁니다. 회전하는 힘이 있는 벡터장에서 선적분은 경로 그 자체라는 것을 배웠습니다. <br />∮Mdx+Ndy=∮(▽xf)dA인데 ∮Mdx+Ndy=∬(dN/dx-dM/dy)dxdy입니다. 그런데 완전미분조건은 dN/dx=dM/dy이므로∮Mdx+Ndy=0 이 됩니다. 이런 관계로 인해서 저는 이렇게 이해를 합니다. 회전력이 존재하는 것은 불완전미분, 회전력이 없는 것은 완전미분이라고 저는 이해하고 있습니다. <br />회전력이 있는 공간은 꼭 마찰력이 있는 공간으로 이해하면 될 듯 합니다. 따라서 마찰력이 없는 공간은 완전미분이라고 이해하면 되지 않을까 합니다. 결론적으로 완전미분이라고 하는 것은 상태함수(열역학을 배우신분은 이해가 될 듯)가 됩니다. 처음과 끝만 알면되는 우리가 이런것을 배웠죠. <br />바로....해밀토니안(역학적에너지가 보존되는...계에서는 해밀토니안은 변화지 않습니다.)입니다. 해밀토니안은 처음과 끝에만 의존하는 함수라고 보시면 됩니다. <br />시간이 좀 있어 좀더 설명을 드리면, 라그랑지안과 헤밀토니안에 대해서....<br />해밀토니안의 원리=처음과 끝 (경로는 상관 없다) 경로와 상관 있는 것은 라그랑지안입니다. 다만 라그랑지안 그 경로가 1개로 정의 되어 있습니다. 변분법에서 우리는 이것이 최소곡선이라고 알고 있습니다. 이 경로는 뉴턴의 운동방정식을 만족하고요. <br />라그랑지안과 해밀토니안 사시에는 르장드르 변환 관계가 있습니다. <br />르장드르 변환에 대해서 말을 하면 볼록함수를 일대일대응 사상으로 변환시킨 것으로 보시면 됩니다.<br />사실 변환은 이렇게 내가 너로 너가 다시 나로 돌아올 수가 있는 것이 변환입니다. 이렇게 내가 약속시킨 변환을 적용하면 다 됩니다. 그리고 나의 이름을 붙이면 됩니다. 미분하면 접선이 나오는데 그 접선이 y축에 만나게 되는데 이를 그x점에 대해서 변환 된 것으로 이해할 수가 있습니다. <br />라그랑지안에 의해 변이가 0이되고 따라서 양 끝점은 존재하게 됩니다. 처음과 끝점을 0으로 두지 않는다면 우리는 보편적인 운동을 이해할 수가 있게 됩니다. 해밀토니안의 세계로 가게 됩니다. 이런 특성으로 양자역학에 딱 맞게 됩니다. 양자역학은 경로를 생각할 수가 없습니다. 사실....하지만 중요한 것은 우리가 관측될 때는 그 경로 중에 하나로 따라 오게 됩니다. 관측하게 되는 순간 파동에서 입자로 관측되는 것은 꼭 해밀토니안적이지 않나요? 처음과 끝....그 중간에 넌 뭐였을까? 몰라도 됨. 사실 우리가 알 수가 있는 영역은 아님....처음과 끝이 존재한다는 것은 우리가 관측하기 위한 경계 조건입니다. <br />시간이 된다면 이런 해밀토니안과 라그랑지안에 대해서 더 많이 이야기를 하고 싶네요. 오늘은 이만하고자 합니다. 물리의 이해는 실용적인 뉴턴의 운동방정식의 이해가 아니라 보편적인 특성을 이해하는 것에 있습니다. 라그랑지안과 해밀토니안으로 통해 우리는 대칭이라는 특성을 이해하게 되었습니다....Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-71505761919398344312021-03-14T17:02:10.366+09:002021-03-14T17:02:10.366+09:00그렇네요! 정말 감사합니다!!!그렇네요! 정말 감사합니다!!!Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/09715586095105322076noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-33788491822173736732021-03-14T13:00:29.557+09:002021-03-14T13:00:29.557+09:00$dx$와 $dy$가 같으면, $f = C$가 되는데요. 식 (16)은 방정식이라서 우변이...$dx$와 $dy$가 같으면, $f = C$가 되는데요. 식 (16)은 방정식이라서 우변이 0입니다. 그래서 $a dx - a dy = 0$을 풀면, $y = x + c$가 됩니다. 즉, $x, y$의 종속 관계가 나옵니다.전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-76742732202028190202021-03-14T02:55:00.021+09:002021-03-14T02:55:00.021+09:00언제나 감사히 잘 보고 있습니다!
식 (16)에서 질문이 있습니다. f(x,y) = ax ...언제나 감사히 잘 보고 있습니다!<br />식 (16)에서 질문이 있습니다. f(x,y) = ax - ay + C 라고 하면 adx - ady = df가 되는데<br />x와 y가 독립이니까 dx와 dy가 같은 경우 f(x,y)=C가 성립 안되는게 아닌가요?Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/09715586095105322076noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-12587461344623461312020-11-17T22:50:30.482+09:002020-11-17T22:50:30.482+09:00식 (8)에는 양뱡향에 대한 좌표 변환이 모두 있어요. 그래서 필요에 따라 좌표 변환되는 ...식 (8)에는 양뱡향에 대한 좌표 변환이 모두 있어요. 그래서 필요에 따라 좌표 변환되는 방향을 선택할 수 있어요.<br />본문에도 이 내용을 추가했어요.전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-48779075266708512722020-11-17T15:52:00.195+09:002020-11-17T15:52:00.195+09:00카테시안에서 원통으로 갈 때 x=rcos y=rsin 에서 r에 대해 미분 한거 1행에 c...카테시안에서 원통으로 갈 때 x=rcos y=rsin 에서 r에 대해 미분 한거 1행에 cos sin 세타에 대해 미분한거 2행에 -rsin rcos 하고<br />행렬식 구하면 r 이 되어서 X 좌표계에서 원통으로 갈 때 크기 r 이 곱해지는 거 잖아요? 그럼 r 이랑 세타에 대해 미분한거니까<br />처음 (x,y) 좌표계에서 (x',y') 좌표계(r, theta)로 좌표변환 한거고 이 예에서는 라운드x/라운드x' 을 한거고 위에서는 반대이므로<br />(x',y') 좌표계에서 (x, y) 좌표계로의 변환이라고 보는게 맞지 않나요. 이 블로그 텐서와 좌표변환에서 식(10) 아래 9번째 줄에 X를 U에 대해 미분했으므로 X에서 U로 가는 좌표변환이라고도 나와있습니다<br />Physicshttps://www.blogger.com/profile/07395260771658045738noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-48180875913972656422020-11-16T15:39:04.788+09:002020-11-16T15:39:04.788+09:00식(8) 바로 위에보면 (x',y') 에서 (x,y)로 가는 2차원변환을 고...식(8) 바로 위에보면 (x',y') 에서 (x,y)로 가는 2차원변환을 고려한다고했는데 식 13 바로 밑에는 같은 식을 행렬로 표현했을 뿐인데<br />야코비행렬은 (x,y)에서 (x',y')으로 가는 행렬이라고 되어있는데 뭔가 헷갈리네요. 야코비행렬의 우변 두번째 행렬이 x',y' 에 대해 변화율을 나타내고 있는데 그러면 x',y' 차원이고 야코비 행렬에 의해 좌변에 x,y 에 대해 편미분한 x,y 차원으로 가는게 아닌가요? 헷갈리네요..Physicshttps://www.blogger.com/profile/07395260771658045738noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-68556099795051223092020-09-10T23:53:22.604+09:002020-09-10T23:53:22.604+09:00안녕하세요, 익명님. ^^
1. [1]은 맞습니다.
2. 함수 $f, g$가 다르다는 ...안녕하세요, 익명님. ^^<br /><br />1. [1]은 맞습니다.<br /><br />2. 함수 $f, g$가 다르다는 가정만 있어서, [1]은 식 (17)과 같을 이유가 없어요.전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-81300287671544128312020-09-10T22:23:24.887+09:002020-09-10T22:23:24.887+09:00글 감사히 잘 보았습니다.
다변수 함수의 전미분을 해당 함수의 gradient와 연관지...글 감사히 잘 보았습니다. <br /><br />다변수 함수의 전미분을 해당 함수의 gradient와 연관지어 생각할 때 <br />어떤 의미를 발견할 수 있을까 고민하고 있었는데<br />완전 미분의 기하학적 관점을 보인 그림1을 보고 의미를 생각해보는데 큰 도움이 되었습니다.<br /><br />다만 불완전 미분이라는 생소한 개념을 접했고, 그것이 무엇을 의미하는지 얼추 감은 오나,<br />불완전 미분과 관련된 식 (17)에 대해서 좀 더 궁금한 것이 생겨 질문 남깁니다.<br /><br />[1]<br />만약에 x축 방향으로 접근하지 않고 y축 방향으로 먼저 접근할 경우<br /><br />[{g(x, y+△y) - g(x, y)}/△y]*△y + [{f(x+△x, y+△y) - f(x, y+△y)}/△x]*△x<br />= f(x+△x, y+△y) - g(x, y) + g(x, y+△y) - f(x, y+△y) <br /><br />식이 성립하는게 맞는 것인가요?<br /><br />[2]<br />만약 [1]이 맞다면,<br /><br />f(x+△x, y+△y) - g(x, y) = g(x+△x, y+△y) - f(x, y)<br />g(x, y+△y) - f(x, y+△y) = f(x+△x, y) - g(x+△x, y) = e<br /><br />으로 이해할 수 있을까요? 아니면 불완전 미분의 경우 저 둘은 서로 다른가요?<br /><br />즉 불완전 미분의 경우 x축이나 y축 중 어느 방향을 먼저 선택하여 접근하는지에 따라 편차와 결과가 달라지나요?<br /><br />말씀하신대로 A(x, y)와 B(x, y)에 각각 y^2, x^2를 넣어 <br />f(x, y) = y^2, g(x, y) = x^2로 생각하고 접근하면<br />x, y의 좌표값에 따라 둘의 결과가 달라질 것 같고...<br /><br />또 각각의 경우 f(x, y)에서는 x가, g(x, y)에서는 y가 없어 결국 f(x)와 g(y)가 되는 것이 아닌가...<br />하는 생각도 들고요...<br /><br />[2]에 대한 제 생각은 일단 x축 → y축으로 접근하는 것과 y축 → x축 방향으로 접근하는 것이<br />각각 편차와 결과에 차이가 있는 것 같습니다만,<br />답변 달아주시면 답변을 보고 필요하다면 혼자 고민을 좀 더 해보겠습니다.<br /><br />감사합니다.<br />Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-85403539110906364742020-08-15T18:48:11.238+09:002020-08-15T18:48:11.238+09:00전파거북님 매번 친절한 답변 감사드립니다~전파거북님 매번 친절한 답변 감사드립니다~Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-86425945969394334982020-08-15T14:22:05.000+09:002020-08-15T14:22:05.000+09:00기하학적으로 이해하려면 [그림 1]을 보세요. 2차원에서 왼쪽 아래 점에서 오른쪽 위 점까...기하학적으로 이해하려면 [그림 1]을 보세요. 2차원에서 왼쪽 아래 점에서 오른쪽 위 점까지 가는 길은 $x, y$축으로 분해할 수 있어요. 다만 표면이 [그림 1]처럼 연속이 되어야 어느 길로 가든지 경로에 관계없이 같아요.전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-28692975229913406872020-08-15T13:00:41.465+09:002020-08-15T13:00:41.465+09:00답변 정말 감사드립니다~
궁금한게 있는데요 위에 질문 처럼 특정 위치에서 미소만큼 이동할때...답변 정말 감사드립니다~<br />궁금한게 있는데요 위에 질문 처럼 특정 위치에서 미소만큼 이동할때 특정 위치를 기준으로 어떤 방향으로 이동할지 모르더라도 3번식을 사용가능한 이유가 편미분이 가능하다는 조건이 있어서 인건가요 ?? 즉 각축에 대한 편미분의 좌미분과 우미분이 같다는 것이 각축의 양의 방향과 음의 방향의 편미분값이 똑같이 수렴한다는 것이니까 모든방향에 대하여 편미분의 값은 같다라고 판단할 수 있을까요??<br />Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-2596124132017470562020-08-14T22:27:37.048+09:002020-08-14T22:27:37.048+09:00익명님, 완전 미분을 적용하려면 편미분이 존재해야 합니다. 편미분이 존재한다는 가정 하에서...익명님, 완전 미분을 적용하려면 편미분이 존재해야 합니다. 편미분이 존재한다는 가정 하에서 2차원은 식 (2)가 성립해야 하고요, 3차원은 말씀하신 공식으로 만들면 됩니다.전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-3852865180919073322020-08-14T22:04:47.240+09:002020-08-14T22:04:47.240+09:00위에 온도 변화를 잘못 적었네요
각축에 대한 편미분과 그 축에 해당하는 미소 이동거리의 곱...위에 온도 변화를 잘못 적었네요<br />각축에 대한 편미분과 그 축에 해당하는 미소 이동거리의 곱의 합입니다. Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-77944030523694035482020-08-14T21:59:49.872+09:002020-08-14T21:59:49.872+09:00위에 온도예시를 들면서 질문한 익명입니다.
궁금증이 생겨서 질문하게 되었는데요 공간 좌표(...위에 온도예시를 들면서 질문한 익명입니다.<br />궁금증이 생겨서 질문하게 되었는데요 공간 좌표(x,y,z)에 입자가 있다고 했을때 이 입자가 미소적인 이동을 하여 공간좌표(x+dx,y+dy,z+dz)만큼 이동하였을때의 온도 미소 변화 dT가 각축에 대한 편미분과 그 축에 해당하는 미소 거리를 더한 것으로 표현 되는 것으로 전파거북님이 올리신 게시글의 2번의 차분 증명법으로 이해를 했는데요 입자가 (x,y,z)좌표에서 이동 할 수 있는 방향이 구의 형태로 즉 모든 방향으로 이동가능한데 모든 방향에 대한 고려를 하려면 x,y,z에 대한 각축에 대한 편미분시 좌미분과 우미분의 값이 같아야 입자가 (x,y,z)좌표에서 미소 이동을 하였을때 모든 방향에 대해 미분값이 같다는 것이 되어 방향을 고려하지 않아도 미소 이동시 모든 방향에 대한 미소 온도 변화를 표현할 수 있게 되는 것인지 궁금합니다.Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-65360776694229094132020-08-05T08:07:12.624+09:002020-08-05T08:07:12.624+09:00축하드립니다, 익명님. ^^ 혼자 해결하는 게 가장 좋아요.축하드립니다, 익명님. ^^ 혼자 해결하는 게 가장 좋아요.전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-14809964205460389712020-08-04T16:31:46.925+09:002020-08-04T16:31:46.925+09:00쫌만 고민하면 되는 거였는데 괜한 질문을 했네요 해결했습니다 ㅎㅎ쫌만 고민하면 되는 거였는데 괜한 질문을 했네요 해결했습니다 ㅎㅎAnonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-45513720324193581452020-08-04T16:23:39.914+09:002020-08-04T16:23:39.914+09:00거북님 위에 감사하다고 글을 적은 익명입니다. 궁금증이 생겨서 그런데 2번에서 함수f(x,...거북님 위에 감사하다고 글을 적은 익명입니다. 궁금증이 생겨서 그런데 2번에서 함수f(x,y,z)에 대한 차분을 이용하여 편미분이 가능하다는 증명법을 아신다면 알려주실수 있을까요 2번에는 공간 평면 xy에 대한 함수f(x,y)에 대한 증명법인데 일반적인 물리 이용에는 3차원 공간에 대한 편미분을 이용하므로 그에 대한 증명법이 궁금합니다.Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-41884104827587086962020-08-04T16:14:18.679+09:002020-08-04T16:14:18.679+09:00물리공부하다가 입자의 미소위치 변화에 따른 온도함수 변화 [T(x+dx,y+dy,z+dz)...물리공부하다가 입자의 미소위치 변화에 따른 온도함수 변화 [T(x+dx,y+dy,z+dz)-T(x,y,z)]/루트(dx^2+dy^2+dz^2)를 편미분을 이용하는 이유를 몰랐는데 거북님 덕분에 이해가 되었네요 왜 대부분의 글에 편미분을 이용할 수 있다는 것을 정확한 증명 없이 사용할 수 있다라고만 하는지 모르겠네요 암튼 너무나도 감사드립니다. 정말 궁금했었는데 겨우 증명법을 찾았네요 Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-66787288071686392632020-04-13T20:11:27.796+09:002020-04-13T20:11:27.796+09:00그렇게 되지 않아요. 식 (11)을 다시 한 번 보세요. 식 (11)의 시작점은 식 (10...그렇게 되지 않아요. 식 (11)을 다시 한 번 보세요. 식 (11)의 시작점은 식 (10)입니다.전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-49094883462830289332020-04-13T19:52:00.317+09:002020-04-13T19:52:00.317+09:00y가 고정되어야 하네요. 아직 명확하지 않아서 제가 잘못 생각했었습니다.
x',y&...y가 고정되어야 하네요. 아직 명확하지 않아서 제가 잘못 생각했었습니다.<br />x',y'가 Δx를 만들 수 있다는 게 마치 이변수 함수 z=f(x,y)처럼 역할하는 것 같네요. 그런데 혹시 (11)첫번째 부분에서 자꾸 제가 이상하게 해석해요. 어떻게 접근하면 괜찮을까요<br />(f[x(x'+ Δx',y'),y] - f(x,y))/Δx'을 (Δf/Δx)×(Δx/Δx')으로 생각하고 극한을 적용하면 (라운드f/라운드x)×(라운드x/라운드x')가 되고, 그 뒤에 곱해져 있던 Δx'/Δx는 라운드x'/라운드x이 되어 서로 약분하면 라운드f/라운드x로 되요...Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-44967651239370266112020-04-11T12:30:45.144+09:002020-04-11T12:30:45.144+09:001. 아닙니다. 식 (12)의 목적은 $x$에 대한 편미분을 $(x', y'...1. 아닙니다. 식 (12)의 목적은 $x$에 대한 편미분을 $(x', y')$의 편미분으로 표현하기입니다. 그래서 좌표 성분 $y$는 계속 고정입니다.<br /><br />2. 식 (11)에서 미분소 $\Delta x$를 만들 수 있는 성분은 $x', y'$ 모두 가능해요. 좌표 변환이 어떻게 구성될지 알 수 없기 때문에, 말씀하신 관계로 표현하면 일반적이지 않아요. 그래서 (11)처럼 표현합니다. 전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.com