tag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post4575711805494843065..comments2024-03-14T22:23:02.825+09:00Comments on 조금은 느리게 살자: 스튀름–리우빌 이론(Sturm–Liouville Theory)전파거북이http://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comBlogger153125tag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-7094707195603267152023-06-29T21:21:25.379+09:002023-06-29T21:21:25.379+09:001. 편미분 방정식을 변수 분리해서 나온 식 (1)과 같은 상미분 방정식의 고유치는 제한 ...1. 편미분 방정식을 변수 분리해서 나온 식 (1)과 같은 상미분 방정식의 고유치는 제한 조건이 없습니다.<br />원하는 대로 넣을 수 있어요. 그래서 고유치가 무한대라는 걸 증명하지 않아요.<br /><br />2. 스튀름–리우빌 이론으로 분석하는 미분 방정식의 예를 보세요. 베셀이든 르장드르 미방이든지, 변수 분리해서 나올 때 조건으로 인해 고유치는 무한하다는 조건에서 시작해요.<br />오히려 진동 정리에서 중요한 건, 이 고유치의 하한이 존재한다는 겁니다. 이게 완비성 증명의 시작입니다.전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-33062268502881283052023-06-26T17:36:36.651+09:002023-06-26T17:36:36.651+09:00답변 감사합니다!
추가 질문해도될까요 ㅠ
유한차원의 경우는 예를 들면 n 자유도 진동계에...답변 감사합니다!<br />추가 질문해도될까요 ㅠ<br /><br />유한차원의 경우는 예를 들면 n 자유도 진동계에서의 모드해석으로 이해가 됩니다. 차원을 무한히 늘리면 일반적으로 진동모드가 함수로써 형태가 나타나고 고유함수(고유치)가 무한히 존재한다는 것이 물리적으로는 이해는 되지만, 저 미분방정식에서 고유함수(고유치)가 무한히 존재한다는 것이 수학적으로는 잘 이해가 되지 않습니다ㅠ<br />위에서 답변드린바와 같이 무한히 존재할 수 있는 조건은 갖췄지만 이것이 무한히 존재한다는것을 보장하는 것은 아니지 않나라는 생각을 했습니다.<br /><br />답변 부탁드립니다! 다시 한번 감사합니다!!<br />거루https://www.blogger.com/profile/01920048322846263947noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-66524296689458641012023-06-22T20:56:00.767+09:002023-06-22T20:56:00.767+09:001. 고유 함수와 고유치는 서로 일대일로 대응합니다. 만약 고유 함수가 유한하면 고유치도 ...1. 고유 함수와 고유치는 서로 일대일로 대응합니다. 만약 고유 함수가 유한하면 고유치도 그 개수만큼만 있어요.<br />또한 유한 차원 조건은 직교성으로 쉽게 분석 가능해서 완비성이 자명해요. 그래서 논의의 초점은 무한 차원에 있어요. <br /><br />2. 고유치가 같은 조건으로 얻은 두번째 해는 첫번째 해와 경계 조건이 달라요. 여기서 2계 미분 방정식이라서 가능한 해는 2개만 있어요.전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-84295987465545388962023-06-22T15:33:04.362+09:002023-06-22T15:33:04.362+09:00전파거북이님! 하나 더 궁금한점이 생겨서 이렇게 댓글 남깁니다.
10. 스튀름 진동정리 ...전파거북이님! 하나 더 궁금한점이 생겨서 이렇게 댓글 남깁니다.<br /><br />10. 스튀름 진동정리 증명(영점을 이용하여 고유치가 무한히 증가하며 존재)<br />n번째 고유치에 해당하는 함수 f_n의 영점이 예를들어 n개라 가정하면 n+1번째 고유치에 해당하는 함수 f_n+1의 영점은 적어도 n+1개이고, 구간내 영점은 무한히 존재하기 때문에 고유치 또한 무한히 커지면서 무한개 존재할 수 있다. 이렇게 이해됩니다.<br />하지만 존재할 수 있는 것을 보인것과 존재 한다는 것은 다른게 아닌가 하여 이렇게 질문을 남깁니다.<br />가령 미분방정식을 만족하는 함수가 유한히 존재한다면 위 조건을 만족하면서도 고유치 또한 유한히 존재하는것 아닐까요 ? 아니면 혹시 6번의 두번째 해가 미분방정식을 만족하는 함수가 무한하다는 것을 보인 것인가요 ? <br /><br />답변부탁드립니다! 감사합니다!거루https://www.blogger.com/profile/01920048322846263947noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-10207166038018682222023-05-31T13:55:40.070+09:002023-05-31T13:55:40.070+09:00네 정말 감사합니다! 꼭 증명해보도록 하겠습니다~!네 정말 감사합니다! 꼭 증명해보도록 하겠습니다~!거루https://www.blogger.com/profile/01920048322846263947noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-19601131313401154162023-05-31T10:59:57.279+09:002023-05-31T10:59:57.279+09:00무한 급수의 완비성 증명은 어떤 경우든 매우 어려워요. 아래 링크도 참고해서 잘 증명하시길...무한 급수의 완비성 증명은 어떤 경우든 매우 어려워요. 아래 링크도 참고해서 잘 증명하시길 바래요 ^^<br />- 완비성 증명을 위해서는 고유치가 무한하다는 증명이 필요합니다.<br />- 이것만 되면 아래 링크와 같은 방식을 써서 완비성을 증명할 수도 있을 겁니다.<br /><br />https://ghebook.blogspot.com/2011/12/completeness-of-eigenfunctions.html전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-33555722737892242142023-05-30T10:40:22.121+09:002023-05-30T10:40:22.121+09:00답변 감사합니다.
제가 설명이 짧았네요.. 일단 미분방정식의 형태는 p(x)는 x를 변...답변 감사합니다. <br /><br />제가 설명이 짧았네요.. 일단 미분방정식의 형태는 p(x)는 x를 변수로 하는 강성행렬(stiffness matrix)고, r(x)는 질량행렬(mass matrix) 로 표현 됩니다. 두 행렬은 모두 대칭이고, positive definite matrix 입니다.<br />positive definite matrix인 것이 p(x)>0, r(x)>0 인 것에 주목을 했고 이러한 성질들을 이용해서 고유치 실수(대칭행렬), 주어진 경계조건에 대해서 고유 모드가 직교임은 수학적으로 보이긴했는데, 완비성을 보이는 것은 쉽지 않더라고요.. <br /><br />일단 모드 정합법에 대해서 공부한 이후에 추가 질문이 생기면 다시 답변 달도록 하겠습니다!<br /><br />답변 정말 감사합니다! <br />거루https://www.blogger.com/profile/01920048322846263947noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-60986951821047064372023-05-28T21:52:48.674+09:002023-05-28T21:52:48.674+09:00반갑습니다, 거루님 ^^
미분 방정식으로 행렬을 만들려면, 행렬 만드는 방법을 먼저 생각...반갑습니다, 거루님 ^^<br /><br />미분 방정식으로 행렬을 만들려면, 행렬 만드는 방법을 먼저 생각하셔야 합니다.<br />예를 들면, 고유 함수는 완비성이 성립해서 푸리에 급수처럼 임의의 함수 $f(x)$를 고유 함수의 무한 급수로 만들 수 있어요.<br />이 무한 급수의 계수를 벡터의 성분이라 가정해서 행렬 방정식을 만들 수 있어요. 전자파 분야에서 이런 방식은 모드 정합법(mode-matching technique)이라 불러요.<br /><br />그래서 행렬 생성 방법이 결정나지 않으면 스튀름-리우빌 이론과 비슷할지 안할지는 몰라요.<br />위에서 말한 모드 정합법의 경우에는 스튀름-리우빌 이론과 완전히 같지는 않지만 고유 함수와 고유치 특성이 비슷해요.<br />- 고유치(위상 상수, phase constant)가 실수<br />- 고유 함수(모드의 전자기장 분포)는 서로 직교<br />- 모드의 선형 결합으로 모든 전자기장 표현 가능(완비성)전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-53188139386841569262023-05-25T16:56:38.629+09:002023-05-25T16:56:38.629+09:00안녕하세요. 전파거북이님.
먼저 공학도로써 정말 필요하지만 평소 찾아보기 힘들었던 이론들이...안녕하세요. 전파거북이님.<br />먼저 공학도로써 정말 필요하지만 평소 찾아보기 힘들었던 이론들이나 이해하기 힘들었던 수학들을 정말 자세하고 알기 쉽게 정리해주셔서 정말 감사합니다.<br /><br />실은 질문이 있어서 이렇게 댓글을 남깁니다.<br />저는 사실 진동이론에 관심이 많아 진동관련 공부를 하고 정리하던 와중에 Sturm-Liouville의 미분방정식이 필연적으로 등장하는것을 알게 되었습니다. <br />그런데 Sturm-Liouville 이론의 행렬 버전이 수학적으로 소개된바 있을까요 ? <br />가령, p(x), q(x), r(x)-> nXn matrix, y(x) -> nX1<br />혹시 있다면 기존 scalar function으로 정의되던 Sturm-Liouville의 미분방정식의 모든 특성들이 행렬버전에도 모두 성립할까요?<br />여기 페이지가 가장 설명도 잘되어 있고, 정말 많이 찾아보았지만 그런 경우는 찾지못해 이렇게 댓글로 남깁니다. 답글 달아주시면 정말 감사하겠습니다! 거루https://www.blogger.com/profile/01920048322846263947noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-42645514747806191982022-08-19T10:36:02.863+09:002022-08-19T10:36:02.863+09:00정말 좋은 질문입니다, 익명님 ^^
스투름의 진동 정리 밑에 설명을 더 붙였어요.정말 좋은 질문입니다, 익명님 ^^<br />스투름의 진동 정리 밑에 설명을 더 붙였어요.전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-1600346845893089822022-08-15T05:39:21.441+09:002022-08-15T05:39:21.441+09:00안녕하세요. 전파거북이님. 질문이 있습니다.
진동정리에서 고유치가 발산함을 증명할 때 영...안녕하세요. 전파거북이님. 질문이 있습니다. <br />진동정리에서 고유치가 발산함을 증명할 때 영점이 무한히 많아질 수 있기 때문에 고유치가 발산한다고 하셨는데요. 고유치가 이전 값보다 크기만 하면 되니까 영점이 무한히 생겨도 고유치가 어느 한 값으로 수렴할 수도 있지 않나요? 고유값의 간격이 점점 줄어드는 식으로 말이죠.Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-31514458420974317222021-08-16T15:43:51.422+09:002021-08-16T15:43:51.422+09:00감사합니다감사합니다낭만왕맹획https://www.blogger.com/profile/02929707761971409449noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-41660910722070520072021-06-14T21:48:50.310+09:002021-06-14T21:48:50.310+09:00재방문 감사합니다, 공돌이님. 계속 함께 전진하시죠~~재방문 감사합니다, 공돌이님. 계속 함께 전진하시죠~~전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-7854496105576379222021-06-09T11:14:01.174+09:002021-06-09T11:14:01.174+09:00거북이님 안녕하세요. 2016년 10월 27일에 댓글을 남겼던 공돌이입니다. 5년이나 지난...거북이님 안녕하세요. 2016년 10월 27일에 댓글을 남겼던 공돌이입니다. 5년이나 지난 뒤에 다시 댓글을 또 한번 다네요. 지난 5년간 이것 저것 수학을 공부하다가 다시 한번 미분방정식 공부에 도전했고 이제서야 스트룸 리우빌 문제가 말하는 것이 무엇인지 조금이나마 이해할 수 있게 되었습니다. 지금 보니까 거북이님이 쓰신 글이 정말 정교하고, 어지간한 해외 자료들보다도 더 가치있는 글이라는 것을 알겠습니다. 많은 가르침을 주셔서 감사합니다. 공부에 많은 도움이 됩니다.공돌이https://www.blogger.com/profile/07254691350762735318noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-25335901719429512472021-06-08T11:31:00.103+09:002021-06-08T11:31:00.103+09:00함수들의 선형 독립성은 식 (9)에 나온 함수 행렬식으로 판정합니다. 아래 링크도 참고하세...함수들의 선형 독립성은 식 (9)에 나온 함수 행렬식으로 판정합니다. 아래 링크도 참고하세요.<br /><br />https://ghebook.blogspot.com/2011/10/ordinary-differential-equation.html전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-40752116485049460982021-06-07T01:37:21.138+09:002021-06-07T01:37:21.138+09:00안녕하세요 좋은 글 감사드립니다.
2번의 직교성에서 '두 함수의 선형 독립과 직교의...안녕하세요 좋은 글 감사드립니다.<br />2번의 직교성에서 '두 함수의 선형 독립과 직교의 차이에 대해 설명' 하려면 어떻게 풀어야 할까요 ? 답변 주시면 정말 감사하겠습니다. Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/15646794439507604896noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-65089493074427896032020-11-13T15:58:55.588+09:002020-11-13T15:58:55.588+09:00맞습니다. 고유치와 경계 조건이 모두 같으면, 두 고유 함수는 서로 종속입니다. 식 (20...맞습니다. 고유치와 경계 조건이 모두 같으면, 두 고유 함수는 서로 종속입니다. 식 (20)을 참고하세요.전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-56726568164221425932020-11-12T10:51:47.131+09:002020-11-12T10:51:47.131+09:002차 선형 미분방정식의 선형 독립인 해가 2개가 나오니까 식(11)에서 n=m인 경우의 론...2차 선형 미분방정식의 선형 독립인 해가 2개가 나오니까 식(11)에서 n=m인 경우의 론스키안이 0이 안될수도 있지 않을까 생각했거든요. 그럼 식 (11)이 성립한다는 것은 정규 경계조건을 만족하면 각 고유값에 대응하는 선형 독립인 고유함수는 1개가 되는 건가요?양심이없는사람https://www.blogger.com/profile/14570183606859700429noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-63132836127682657522020-11-11T11:55:56.384+09:002020-11-11T11:55:56.384+09:00그렇게 되지 않습니다. 반드시 경계 조건이 고정되어야 합니다. 식 (13)을 이용해 식 (...그렇게 되지 않습니다. 반드시 경계 조건이 고정되어야 합니다. 식 (13)을 이용해 식 (17)을 증명합니다.전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-2670059056921254952020-11-10T14:56:58.719+09:002020-11-10T14:56:58.719+09:00안녕하세요. 전파거북이님. 궁금한게 있습니다. (7)~(10) 과정에서 선형 독립인 미분방...안녕하세요. 전파거북이님. 궁금한게 있습니다. (7)~(10) 과정에서 선형 독립인 미분방정식의 두 해를 가지고 논리를 전개했다면 론스키안이 항상 0이 아닐텐고 그러면 경계조건과 상충되는 결과가 나오는것 같다는 생각이 듭니다. 그리고 실제로 self-adjoint form ODE의 론스키안을 직접 계산해보니 W(x)=c/p(x) 꼴로 나왔습니다. 그러면 p(x)W(x)의 곱이 상수가 되서 식 (10)이 만족이 되는데요. 이러면 경계조건을 이야기 하지 않고 론스키안만 가지고 자기수반성을 정의할 수 있을것 같아 보이는데 무엇이 문제인가요??양심이없는사람https://www.blogger.com/profile/14570183606859700429noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-6160848336018195992020-11-08T18:03:27.749+09:002020-11-08T18:03:27.749+09:001. 식 (1) 조건만 모두 만족하면, 어떤 경우든 고유치가 될 수 있어요. 아래 링크의 ...1. 식 (1) 조건만 모두 만족하면, 어떤 경우든 고유치가 될 수 있어요. 아래 링크의 마지막 부분을 보세요. 베셀의 미분 방정식은 두 가지 방법으로 고유치를 정의할 수 있어요.<br /><br />http://ghebook.blogspot.com/2011/12/bessels-differential-equation.html<br /><br />버금 르장드르 함수(associated Legendre function)를 $P_n^m (x)$라 하면, 특이점 때문에 고유치는 $n$만 될 수 있어요. 아래 링크 참고하세요.<br /><br />https://ghebook.blogspot.com/2013/02/legendres-differential-equation.html<br /><br />2. $y'' + y$ = 0인 미분 방정식도 마찬가지입니다. 식 (1)로 고유치를 정하면 됩니다. 예를 들어 고유치는 1이나 0이 될 수 있어요.전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-67168561424177586422020-11-08T10:35:01.062+09:002020-11-08T10:35:01.062+09:00한가지 더 질문있습니다. y''+y=0과 같이 미지 상수 없이 모든것이 명시...한가지 더 질문있습니다. y''+y=0과 같이 미지 상수 없이 모든것이 명시된 미분방정식 같은 경우는 스텀 리우빌 꼴에서 eigenvalue가 정해진 것으로 보면 되나요?양심이없는사람https://www.blogger.com/profile/14570183606859700429noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-46291025410749596582020-11-08T10:28:27.103+09:002020-11-08T10:28:27.103+09:00안녕하세요. 궁금한 것이 있습니다. associated Legendre equation 같...안녕하세요. 궁금한 것이 있습니다. associated Legendre equation 같이 식에 eigenvalue로 삼을(?)만한 상수가 2개가 있는 식은 어떻게 생각해야 하나요? n(n+1)로 표현되는 상수와 m^2으로 표현되는 상수가 있는데 둘중 무엇을 eigenvalue로 삼아야 할지 모르겠어요. 책에서는 n(n+1)을 eigenvalue로 생각하고 나머지 q(x)와 weight function을 결정했는데 반대로는 안될까요?양심이없는사람https://www.blogger.com/profile/14570183606859700429noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-47022724580920760502020-09-07T16:46:22.371+09:002020-09-07T16:46:22.371+09:00연산자 $\mathfrak{D}$와 함수 $y$를 분리해서 연산차를 숫자처럼 쓰니까 처음에...연산자 $\mathfrak{D}$와 함수 $y$를 분리해서 연산차를 숫자처럼 쓰니까 처음에는 이상해 보이기는 합니다. 하지만 이런 관점이 연산 미적분학(operational calculus)의 중요한 특징입니다. 연산자를 숫자처럼 취급해 편하게 표기하자는 생각으로 식 (5)처럼 적었어요.<br />연산 미적분학의 대표적인 예가 라플라스 변환이나 페이저입니다.<br /><br />https://ghebook.blogspot.com/2010/10/phasor.html전파거북이https://www.blogger.com/profile/07203516805468189650noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-5064686886283774271.post-35330763341367223302020-09-07T15:53:46.752+09:002020-09-07T15:53:46.752+09:00항상 잘보고 갑니다. 사소하긴 하지만 식(5)의 두번째줄에 [D-lambda r(x)]y=...항상 잘보고 갑니다. 사소하긴 하지만 식(5)의 두번째줄에 [D-lambda r(x)]y=0 에서 y가 대괄호 밖에 있는게 잘 이해가 되지 않아서 댓글 남겨봅니다.Anonymousnoreply@blogger.com