2011년 10월 13일 목요일

줄에 대한 파동 방정식(Wave Equation for a String)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "파동 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 뉴턴의 운동 법칙
2. 탄성에 대한 후크의 법칙

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[수치 해석: 줄의 파동(출처: phet.colorado.edu)]

[그림 1] 줄에 생기는 파동(출처: wikipedia.org)

뉴턴의 운동 법칙(Newton's law of motion)을 이용해 [그림 1]과 같은 줄(string)에 생기는 파동(wave)의 특성을 유도한다.

                       (1)

식 (1)과 같은 뉴턴의 운동 법칙을 적용하려면 파동의 움직임을 먼저 관찰해야 한다.

[그림 2] 파동의 움직임(출처: wikipedia.org)

[그림 2]와 같은 파동의 움직임을 보면, $x$축 방향으로는 움직임이 없고 $y$축으로만 아래위로 움직인다. $x$축으로 움직임이 없는 이유는 식 (1)에 의해 $x$축으로 작용하는 알짜 힘(net force)이 없기 때문이다. 하지만 줄은 서로 연결되어 있기 때문에, 힘 자체가 0이지는 않고 장력(張力, tension)이 분명 존재한다. 따라서 줄에 작용하는 $x$방향 장력이 있지만 서로 상쇄 되어서 $x$방향 알짜 힘이 0이라고 생각한다. 이를 적용해서 [그림 1]의 원 내부에 제시한 줄 그림을 본다. 내려가고 있는 아주 짧은 줄에 대해 식 (1)을 적용하면 다음과 같다.

                       (2)

여기서 $\alpha, \beta > 0$, $\bar T$ = $T \hat x$라 가정한다. 마찬가지로 $y$방향 장력도 계산할 수 있다.

            (3)

여기서 $\mu$는 단위 길이당 질량 밀도(mass density)이다. 식 (3)을 $x$방향 장력 $T$로 나누고 식 (2)를 대입하면 다음 알짜 힘의 관계식을 얻을 수 있다.

                     (4)

[그림 1]처럼 줄이 내려가고 있다고 가정하므로, $x'$ = $x + \Delta x$의 기울기는 $-\tan \beta$이다. 마찬가지로 $x'$ = $x$의 기울기도 $-\tan \alpha$이다.[혹은 줄이 올라가는 중이면 부호를 전부 반대로 바꾸면 된다. 그렇더라도 최종식은 식 (4)가 된다.] 식 (4)에서 $\Delta x$를 0으로 보내면 파동 방정식(wave equation)을 최종적으로 얻게 된다.

                     (5)

식 (5)의 방정식을 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)에서 2차원, 3차원 등으로 확장하면 아래와 같다.

                     (6)

식 (6)을 유도할 때 [그림 1]의 원 내부 그림을 3차원으로 확장하면 쉽다. 예를 들어 2차원으로 확장하기 위해 [그림 1]처럼 특정 위치에서 접선 성분(tangential component)을 $x, y$축으로 분해하고 $x, y$축 방향으로 장력의 합은 0이라 가정한다.[∵ 줄이 전후좌우로는 움직이지 않고 상하로만 움직인다.] 그러면 식 (6)과 동일한 결과를 얻을 수 있다. 식 (6)에서 장력 $T$가 상수라 가정하면 파동의 속도를 아래와 같이 정의할 수 있다.

                     (7)

식 (7)이 줄에 생기는 파동의 속도임을 알려면 파동 방정식에 대한 이해가 필요하다.

[파동의 특성]

먼저 식 (6)을 좀더 예쁘게 표현하기 위해 데카르트 좌표계에 대한 라플라시안(Laplacian)을 정의한다.

                         (8)

식 (6)을 보면 3차원 공간에 대한 두번 미분[혹은 곡률과 관계]이 시간에 대한 두번 미분과 같아지게 된다. 이런 특성을 보이는 식 (6)의 미분 방정식을 파동 방정식이라 한다. 좀더 쉽게 이해하기 위해 함수 $f$가 $x, y$방향으로는 변화가 없다고 가정[$\partial f / \partial x$ = $\partial f / \partial y$ = $0$]한다. 그러면 다음 식이 성립한다.

                         (9)

식 (9)의 미분 방정식을 풀기 위해 해(解, solution)를 $f(x, y, z)$ = $f(z \pm vt)$로 가정한다. 어림짐작한 해 $f$를 식 (9)에 대입하여 계산하면 항상 $0$이 되어서, $f$가 해임을 확인할 수 있다. 이런 방법으로 식 (9)의 미분 방정식을 해결한 최초의 수학자는 달랑베르Jean le Rond d'Alembert(1717–1783)이다. 달랑베르는 1746년달랑베르 29세, 조선 영조 시절에 1차원 파동 방정식을 발견하고 그 해답까지 제시했다. 약 10여년 뒤에 오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 파동 방정식을 3차원까지 확장했다. 여러 함수 중에서 $f(z \pm vt)$로 표현되는 함수는 파동 함수(波動函數, wave function)라 부른다. 파동의 움직임을 이해하려면, 먼저 [그림 3]에 표현한 파면(波面, wavefront) 개념부터 잡아야 한다.

[그림 3] 파면의 개념(출처: wikipedia.org)

[그림 3]처럼 파면은 파동 함수가 동일한 값을 가진 면이다. 파동 함수가 동일하려면 $l$ = $z \pm vt$로 표현되는 거리값이 동일해야 한다. 예를 들어 $l$ = $z - vt$ = $0$을 기준값이라 하고 $t$ = $0$을 시작 시간이라 하면 $z$ = $0$이 되어야 $l$ = $0$이 성립한다. 시간이 $t$ = $\Delta t$가 되면 $l$ = $0$을 맞추기 위해 $z$ = $\Delta z$ = $v \Delta t$가 되어야 한다. 그러면 파동 함수 $f(z - vt)$는 속도 $v$ = $\Delta z / \Delta t$를 가지고[∵ 시간이 $\Delta t$ 만큼 흐를 때 파면이 움직인 거리가 $\Delta z$가 되기 때문에] $+z$방향[$z$축과 동일한 방향]으로 이동하는 파동이 된다.[∵ 움직인 거리가 (+)가 되기 때문에] 마찬가지로 거리값이 $l$ = $z + vt$로 표현되는 파동 함수 $f(z + vt)$는 속도 $v$ = $-\Delta z / \Delta t$를 가지고[∵ 시간이 $\Delta t$ 만큼 흐를 때 파면이 움직인 거리가 $-\Delta z$가 되기 때문에] $-z$방향[$z$축과 반대 방향]으로 이동하는 파동이 된다.[∵ 움직인 거리가 (-)가 되기 때문에] 그래서 식 (7)에 있는 $v$는 속도의 의미를 분명하게 가진다. 모든 방향의 변화를 가정하고 식 (6)의 미분 방정식을 풀려면 어떻게 하면 될까? 아래와 같은 파동 함수를 가정하여 식 (6)에 대입한다.

                         (10)

따라서, 식 (10)의 마지막식을 만족하면 식 (6)의 미분 방정식을 해결하게 된다.

[그림 4] 3차원 공간상의 평면(출처: wikipedia.org)

식 (10)에 제시한 파동 함수의 거리값이 만드는 파면은 [그림 4]와 같은 3차원 공간상의 평면이 된다. [그림 4]를 고려해서 3차원 공간의 평면 방정식(plane equation)은 아래처럼 표현할 수 있다.

                                    (11)

여기서 $\hat n$ = $(l, m, n)$, $\bar r$ = $(x, y, z)$, $\bar p_0$ = $(x_0, y_0, z_0)$이다. 특히 단위 벡터 $\hat n$은 해당 평면을 뚫고 나가는 법선 벡터(法線, normal vector)이다. 식 (11)이 평면 방정식이므로, 식 (11)의 파동 함수 파면은 평면이 된다. 또한, 이 파동의 진행 방향은 단위 법선 벡터 $\hat n$ = $(l, m, n)$이 가리키는 방향이다.[∵ 파면을 이루는 평면을 뚫고 나가는 벡터가 법선 벡터 $n$이기 때문에]

줄에 대한 파동 방정식 (5)를 만족하는 해를 파동 함수 조건에 따라 $e^{j (\omega t \pm \beta x)}$라 가정한다. 이 해는 식 (10)과 페이저(phasor)를 참고해서 정한다. 그러면 줄의 $y$방향 변위(displacement) 파동의 일반형을 다음처럼 표현할 수 있다.

                                    (12)

여기서 $v$ = $\omega / \beta$, $y_0^+$와 $y_0^-$는 각각 입사파와 반사판의 진폭이다. 식 (12)에 의해 줄의 $y$방향 속도파(velocity wave)는 다음과 같다.

                                    (13)

식 (4)를 이용하면 줄의 $y$방향 장력파(tension wave)도 다음처럼 구할 수 있다.

            (14)

입사파와 반사파에 대해 장력파와 속도파의 비율인 파동 임피던스(wave impedance)를 구한다.

                                    (15)

여기서 파동 임피던스를 특성 임피던스(characteristic impedance)라 부르기도 한다. 식 (15)를 보면, 입사파나 반사파에 관계 없이 파동 임피던스는 항상 일정하다. 즉 파동 임피던스는 파동의 진폭이나 진행 방향과는 관계 없고, 오직 줄의 특성인 장력과 질량 밀도의 함수이다. 파동 임피던스는 왜 장력과 속도를 나누어 정의할까? 왜냐하면 식 (16)처럼 힘과 속도를 곱하면 일률(power)이 되기 때문에, 일률을 구성하는 요소인 장력과 속도를 선택해서 파동 임피던스를 정한다.

                                    (16)

[그림 5] 서로 다른 매질을 가진 줄의 연결 

[그림 5]처럼 서로 다른 매질 특성을 가진 줄을 연결한다고 가정한다. 그러면 경계면에서 파동의 반사가 반드시 있어야 한다. 서로 다른 줄을 연결했을 때 발생하는 반사 특성을 결정하는 요소는 무엇일까? 이러한 입사와 반사 문제를 풀려면, 파동의 경계 조건부터 명확히 정의해야 한다. 먼저 줄은 서로 단단히 연결되었기 때문에, 어느 위치에서나 변위는 연속이어야 한다. 또한 변위가 연속이므로, 속도도 연속이 되어야 한다. 식 (4)에 의해 어느 위치에서나 장력도 연속이 된다.[∵ 장력에 불연속이 생기면 식 (4)에 의해 힘은 무한대가 된다. 이는 불가능한 결과이므로 장력은 반드시 연속이어야 한다.] 속도와 장력의 연속 조건을 [그림 5]의 문제에 적용해 계산하면 다음을 얻는다.

                                    (17)

여기서 줄을 연결한 위치는 $x$ = $0$으로 정한다. 식 (17)에 등장한 $\Gamma_L$은 부하에서 발생하는 반사의 크기와 위상을 결정하는 반사 계수(reflection coefficient) 혹은 반사도이다. 만약 $Z_0 > Z_L$이면, 반사는 같은 위상으로 일어나므로 반사파는 뒤집어지지 않고 반사된다. 하지만 $Z_0 < Z_L$라면, 반사파는 입사파와 반대 위상이 되므로 뒤집어져서 반사된다.

[다음 읽을거리]

댓글 17개 :

  1. 9번 식중에서 속도옆에 있는 편미분이 t로 되야 할것 같습니다.

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    1. 틀렸네요. -.-;;
      정말 감사합니다, 익명님. oTL 꾸벅.
      여러 사람의 시간을 절약해주셨네요.

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  2. 식(4)에서 야코비안이 쓰인 이유가 뭐죠

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    1. 식 (4)에 야코비 행렬식(Jacobian)이 있나요? 안 보이는데요. ㅠㅠ
      통상적으로 사용하는 "고전 역학 이용한 새로운 미분 방정식 도출"을 보여주고 있는 게 식 (4)입니다.

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  3. 아주 멋진 글입니다. 전파거북이 당신은 대체...

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  4. 파동이라는 현상을 수식을 통해 그리고 물리적인 현상을 통해 이해하니깐 너무 개운합니다. 파동이라는 현상에 대하여 정말 좋은 글 감사합니다.

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    1. 방문 감사합니다, 도로묵님. ^^ 파동을 더 많이 이해해서 공유해주시길 바래요.

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  5. 서로 다른 두 줄 사이에서 진행하는 파동이 있을 때, 줄 1의 질량이 줄 2의 질량보다 크면 반사되는 파형은 아래위 뒤집힘 없이 반사되고 줄2의 질량이 더 클 경우에는 뒤집혀서 반사되는데 물리적으로 왜 그런걸까요. 벽의 경우에는 작용반작용으로 이해가 가는데 그렇다면 왜 줄1의 질량이 크면 뒤집힘 없이 반사되는지 잘 모르겠습니다.

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    1. 익명님, 말씀하신 현상이 일어나는 이유는 파동의 반사(reflection) 때문입니다. 매질이 다른 경우의 반사 특성은 파동 임피던스(wave impedance)로 설명해야 합니다. 시간될 때 본문에 해당 내용을 추가할게요.

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  6. 감사합니다. 혹시 식(4)에서 장력파를 도출하실 때, 식(4)에서 서로 반대쪽인 두 방향으로 미분한 텀 두개가 (14)에서는 +방향 -방향 장력파로 나타나는 건가요?

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    1. 아닙니다. 식 (5)에 있는 파동 방정식의 해가 서로 다른 두 가지 방향을 표현합니다. 식 (4)의 관계식은 (+) 방향 장력파에도 맞고 (-) 방향 장력파에도 맞아요.

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  7. 안녕하세요.
    그림1이 보이지 않아서 설명에 참고하기기 조금 어려움이 있는데.. 혹시 어떤 그림인지 알 수 있을까요?

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    1. 페이지 새로고침을 해보세요. 그림은 잘 나와요.

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    2. 흠.. 제 휴대폰 브라우저(사파리)와 컴퓨터 인터넷 브라우저 (인터넷익스플로러 & 엣지)로 새로고침해서 봐도 나오지 않네요..ㅜㅜ 혹시 어떤 브라우저 쓰시는지 알 수 있을까요?

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    3. MEEN님, 지적이 맞았네요. 감사합니다~~
      그림 보기 권한이 없어서 안나왔었네요. 이제는 잘 보일 겁니다.

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    4. 잘보입니다!! 열심히 배워가겠습니다! 감사합니다 ^^.

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  8. 감사합니다. 고정단 반사 디테일까지 완벽...

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