2011년 10월 13일 목요일

줄에 대한 파동 방정식(wave equation for a string)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "파동 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 뉴턴의 운동 법칙
2. 탄성에 대한 후크의 법칙


[그림 1] 줄에 생기는 파동(출처: wikipedia.org)

뉴턴의 운동 법칙(Newton's law of motion)을 이용해 [그림 1]과 같은 줄(string)에 생기는 파동(wave)의 특성을 유도해보자.

                       (1)

식 (1)과 같은 뉴턴의 운동 법칙을 적용하려면 파동의 움직임을 먼저 관찰해야 한다.

[그림 2] 파동의 움직임(출처: wikipedia.org)

[그림 2]처럼 파동이 움직이는 것을 보면 x축 방향으로는 움직임이 없고 $y$축으로만 아래위 움직임이 있는 것을 볼 수 있다. $x$축으로 움직임이 없는 것은 식 (1)에 의해 작용하는 힘이 없는 것이라 생각할 수 있지만 줄은 서로 연결되어 힘을 받고 있으므로 줄에 작용하는 $x$방향 장력(tension)이 서로 상쇄된 것이라 생각해야 한다. [그림 1]의 원내부에 있는 올라가고 있는 아주 작은 줄에 대해 식 (1)을 적용해보자.

                       (2)

여기서 $\alpha, \beta > 0$이라 가정했다.
마찬가지로 $y$방향 장력도 계산할 수 있다.

                       (3)

여기서 $\mu$는 단위 길이당 질량 밀도(mass density)이다. 식 (3)을 $x$방향 장력 $T$로 나누고 식 (2)를 대입하면 다음을 얻을 수 있다.

                     (4)

줄이 올라가고 있는 [그림 1]의 원내부에서 $x' = x + \Delta x$의 기울기는 (-), $x' = x$의 기울기는 (+), $\alpha, \beta > 0$을 이용해 식 (4)의 최종 기울기식 부호를 결정했다. (or 줄이 내려가는 중이면 부호를 전부 반대로 바꾸면 된다. 그렇더라도 최종식은 식 (4)가 된다.)
식 (4)에서 $\Delta x$를 0으로 보내면 파동 방정식(wave equation)을 최종적으로 얻게 된다.

                     (5)

식 (5)의 방정식을 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)에서 2차원, 3차원 등으로 확장하면 아래와 같다.

                     (6)

식 (6)을 유도할 때 [그림 1]의 원내부 그림을 3차원으로 확장하면 쉽다. 예를 들어 2차원으로 확장하기 위해 [그림 1]처럼 특정위치에서 접선성분(tangential component)을 $x, y$축으로 분해하고 $x, y$축 방향으로 장력의 합은 0이라 가정한다. (∵ 줄이 전후좌우로는 움직이지 않고 상하로만 움직인다.) 그러면 식 (6)과 동일한 결과를 얻을 수 있다.
식 (6)에서 장력 $T$가 상수라 가정하면 파동의 속도를 아래와 같이 정의할 수 있다.

                     (7)

식 (7)이 줄에 생기는 파동의 속도라는 것을 알려면 파동 방정식에 대한 이해가 필요하다.

[파동의 특성]

먼저 식 (6)을 좀더 예쁘게 표현하기 위해 데카르트 좌표계에 대한 라플라시안(Laplacian)을 정의하자.

                         (8)

식 (6)을 보면 3차원 공간에 대한 두번 미분(or 곡률과 관계)이 시간에 대한 두번 미분과 같아지게 된다. 이런 특성을 보이는 식 (6)의 미분 방정식을 파동 방정식이라 한다.
좀더 쉽게 이해하기 위해 함수 $f$가 $x, y$ 방향으로는 변화가 없다고 가정($\partial f / \partial x = \partial f / \partial y = 0$)하자. 그러면

                         (9)

다음으로 식 (9)의 미분 방정식을 풀기 위해 해(解, solution)를 $f(x, y, z) = f(z \pm vt)$로 가정하자. 이 $f$를 식 (9)에 대입하여 계산하면 항상 0이 되는 것을 확인할 수 있다. 이런 방법으로 식 (9)의 미분 방정식을 해결한 최초의 수학자는 달랑베르(Jean le Rond d'Alembert)이다.
여러 함수 중에서 $f(z \pm vt)$로 표현되는 함수는 파동 함수(波動函數, wave function)라 부른다.
이 의미를 파악하려면 먼저 [그림 3]에 표현한 파면(波面, wavefront) 개념부터 잡아야 한다.

[그림 3] 파면의 개념(출처: wikipedia.org)

[그림 3]처럼 파면은 파동 함수가 동일한 값을 가진 면이다. 파동 함수가 동일하려면 $l = z \pm vt$로 표현되는 거리값이 동일해야 한다.
예를들어 $l = z - vt = 0$을 기준값이라 하고 $t = 0$을 시작 시간이라 하면 $z = 0$이 되어야 $l = 0$이 성립한다. 시간이 $t = \Delta t$가 되면 $l = 0$을 맞추기 위해 $z = \Delta z = v \Delta t$가 되어야 한다. 그러면 파동 함수 $f(z - vt)$는 속도 $v = \Delta z / \Delta t$를 가지고(∵ 시간이 $\Delta t$ 만큼 흐를 때 파면이 움직인 거리가 $\Delta z$가 되기 때문에) '$+z$' 방향($z$축과 동일한 방향)으로 이동하는 파동이 된다(∵ 움직인 거리가 '+'가 되기 때문에).
마찬가지로 거리값이 $l = z + vt$로 표현되는 파동 함수 $f(z + vt)$는 속도 $v = -\Delta z / \Delta t$를 가지고(∵ 시간이 $\Delta t$ 만큼 흐를 때 파면이 움직인 거리가 $-\Delta z$가 되기 때문에) '$-z$' 방향($z$축과 반대 방향)으로 이동하는 파동이 된다(∵ 움직인 거리가 '-'가 되기 때문에). 그래서, 식 (7)에 있는 $v$는 속도의 의미를 분명하게 가진다.
모든 방향의 변화를 가정하고 식 (6)의 미분 방정식을 풀려면 어떻게 하면 될까? 아래와 같이 파동 함수를 가정하여 식 (6)에 대입하자.

                         (10)

따라서, 식 (10)의 마지막식을 만족하면 식 (6)의 미분 방정식을 해결하게 된다.

[그림 4] 3차원 공간상의 평면(출처: wikipedia.org)

식 (10)에 제시한 파동 함수의 거리값이 만드는 파면은 [그림 4]와 같은 3차원 공간상의 평면이 된다.
[그림 4]를 고려해서 3차원 공간의 평면 방정식(plane equation)은 아래로 표현할 수 있다.

                                    (11)

여기서 $n = (l, m, n)$, $\bar r = (x, y, z)$, $\bar p_0 = (x_0, y_0, z_0)$이다. 특히 단위 벡터 $n$은 해당 평면을 뚫고 나가는 법선 벡터(法線, normal vector)이다. 식 (11)이 평면 방정식이므로 식 (11)의 파동 함수 파면은 평면이 된다. 또한, 이 파동의 진행 방향은 법선 벡터 $\hat n = (l, m, n)$이 가리키는 방향이다. (∵ 파면을 이루는 평면을 뚫고 나가는 벡터가 법선 벡터 $n$이기 때문에)

[다음 읽을거리]
1. 천장에 매달린 사슬의 운동 방정식

댓글 5개 :

  1. 9번 식중에서 속도옆에 있는 편미분이 t로 되야 할것 같습니다.

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    1. 틀렸네요. -.-;;
      정말 감사합니다, 익명님. oTL 꾸벅.
      여러 사람의 시간을 절약해주셨네요.

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  2. 식(4)에서 야코비안이 쓰인 이유가 뭐죠

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    1. 식 (4)에 야코비 행렬식(Jacobian)이 있나요? 안 보이는데요. ㅠㅠ
      통상적으로 사용하는 "고전 역학 이용한 새로운 미분 방정식 도출"을 보여주고 있는 게 식 (4)입니다.

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  3. 아주 멋진 글입니다. 전파거북이 당신은 대체...

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