구면 베셀의 미분 방정식(Spherical Bessel's Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구면 베셀의 미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 베셀의 미분 방정식

구면 베셀의 미분 방정식(spherical Bessel's differential equation)이라 부르는 다음 미분 방정식(differential equation)을 살펴보자.

                       (1a)

                       (1b)

구면 베셀이란 이름으로 유추하면, 식 (1)의 미분 방정식은 식 (2)에 제시한 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)과 매우 밀접한 관계를 가지고 있을 것이다.

                      (2)

이를 이해하기 위해 다음 변수 치환을 식 (1)에 적용한다.

                      (3)

식 (3)을 식 (1)에 대입해 함수 $u$에 대해 정리하면 다음과 같다.

              (4)

식 (4)와 식 (2)를 비교하면 구면 베셀 미분 방정식의 해는 다음처럼 주어진다.

                      (5)

여기서 $Z_\nu(x)$는 베셀 함수(Bessel function) 혹은 한켈 함수(Hankel function)이다. 식 (5)의 해 $z_\nu(x)$는 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)라 부른다. 식 (5)에 지저분한 상수가 붙어 있는 이유는 $x$가 매우 커질 때의 점근적 특성 때문이다. 식 (5)처럼 답을 정의하면 구면 베셀 함수의 점근식이 매우 단순해진다. 예를 들어 한켈 함수처럼 생긴 구면 베셀 함수의 점근식은 다음과 같다.

                      (6)

구면 베셀의 미분 방정식 유도와 비슷하게 다음 변수 치환을 식 (1)에 적용하면 하면 미분 방정식을 식 (8)처럼 단순하게 만들 수 있다.

                       (7)

                      (8)

그러면 식 (8)의 해는 다음으로 표현되어야 한다.

                      (9)

식 (9)는 간편하게 갓 베셀 함수(hat Bessel function)라 부른다. 하지만 정식 명칭은 약간 복잡한 리카티–베셀 함수(Ricatti–Bessel function)이다. 갓 베셀 함수의 미분은 베셀 함수의 미분 공식을 이용하면 다음처럼 간략화할 수 있다.

     (10a)

                      (10b)

식 (10)을 이용하면 구면 베셀 함수의 미분도 다음처럼 표현할 수 있다.

                      (11)


[다음 읽을거리]
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