2011년 5월 19일 목요일

전자기파에 대한 유일성 정리(uniqueness theorem for electromagnetic wave)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "유일성 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전압
2. 헬름홀츠 정리

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전자기 이론을 공부하다 보면 고리타분한 옛날 이론들을 많이 만날 수 있다. 이런 것 중의 하나가 전자기파에 대한 유일성 정리(唯一性 定理, uniqueness theorem)이다[1].
별다른 추가 설명없이 유일성 정리를 이해하려 노력하면 전자기 이론은 본인 적성과는 맞지 않다고 생각할 수도 있다.
자, 그러면 유일성 정리를 어떻게 바라봐야 할까?
결론부터 말하면 유일성 정리가 있기 때문에 우리가 전자기파 현상을 자유롭게 이용하고 안전하게 기술 개발을 할 수 있다. 유일성 정리가 없다면 우리가 개발한 무선 장비가 정상적으로 돌아간다는 보장이 없다.
이걸 이해하려면 유일성 정리의 말뜻부터 알아야 한다. 말 그대로 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)의 답은 하나라는 것이다.
"페이저를 이용한 맥스웰 방정식"에서 전자기파 파동 방정식(electromagnetic wave equation)의 답은 파동 함수(wave function)라는 것을 증명했다. 물론 내가 아니고 프랑스의 수학자 달랑베르(Jean le Rond d'Alembert)가 증명했다.
달랑베르에 의해 맥스웰 방정식의 해가 존재한다는 것을 알았지만 그 해가 하나인지 여러 개인지는 유일성 정리를 통해 알게 된다.
그런데, 해가 하나라는 것이 왜 중요한 것인가?
해가 여러 개가 된다고 가정해 보자. 그러면 입력을 포함한 조건이 같은 경우에도 전자기파의 전파 특성은 하나로 규정되지 않고 여러 개 중의 하나가 된다. 즉, 입력이 동일한데도 그 전자기파 출력은 달라질 수가 있게 된다.
이렇게 되면 맥스웰 방정식 기반으로 무선장비 개발을 할 수가 없게 된다. 왜냐하면 실험실에서 그 특성이 검증되었더라도 실제적용에서는 또 다른 특성을 가질 수 있기 때문이다.
하지만, 다행이다. 유일성 정리가 있기 때문에 조건이 같은 경우 맥스웰 방정식의 답은 단 하나이다.
이 유일성 정리로 인해 우리는 맥스웰 방정식을 이용해서 전자기파의 파동 특성을 정확하게 예측할 수 있다.
유일성 정리를 증명하기 위해 먼저 맥스웰 방정식을 살펴보자.

                                (1: 쿨롱의 법칙)

                       (2: 패러데이의 법칙)

                                (3: 비오-사바르의 법칙)

                  (4: 변위전류 포함 암페어의 법칙)

식 (1)에서 (4)까지의 해가 두 종류라고 가정하자. 첫째쌍은 $\bar E_1, \bar H_1$, 둘째쌍은 $\bar E_2, \bar H_2$라고 생각한다. 이 두 종류의 해를 서로 빼서 전자장 $\bar E_d, \bar H_d$를 정의한다.

                            (5)

식 (5)를 이용하면 식 (1)에서 (4)는 다음 식으로 변환된다.

                            (6)

식 (6)이 얻어지는 이유는 전하 밀도 $\rho$와 전류 밀도 $\bar J$는 입력이어서 첫째쌍 $\bar E_1, \bar H_1$, 둘째쌍 $\bar E_2, \bar H_2$에 대해 동일하다고 가정했기 때문이다. 따라서 전자장 $\bar E_d, \bar H_d$는 원천이 없는 맥스웰 방정식인 식 (6)을 만족한다.
다음으로 식 (6)에 대해 포인팅의 정리(Poynting's theorem)를 적용한다.

                            (7)

여기서 유전율 $\epsilon$과 투자율 $\mu$를 실수부와 허수부로 분해하였다. 일반적으로 유전율과 투자율은 실수로 가정하지만 실제로 모든 물질은 손실성분을 가지고 있다. 그래서, 매우 작은 값이지만 유전율과 투자율이 허수부를 가지고 있다고 가정하는 것은 타당하다.
식 (7)이 0이 되는 이유는 표면적분한 영역의 경계조건(境界條件, boundary conditions)이 첫째쌍 $\bar E_1, \bar H_1$, 둘째쌍 $\bar E_2, \bar H_2$에 대해 동일하기 때문이다. 정확하게는 면적벡터(표면적을 뚫고나가는 법선방향) $d\bar a$에 수직인 접선방향 성분이 $\bar E_1 = \bar E_2$ 혹은 $\bar H_1= \bar H_2$를 만족하기 때문이다.
따라서, 표면적분이 0이기 때문에 체적적분도 0이 되어야 한다. 식 (7)은 실수부와 허수부로 완전히 분해가 되기 때문에 각 항목이 전부 0이 되어야 한다. 식 (7)의 실수부 두 항($\bar E_d, \bar H_d$)은 서로 같은 부호이므로 이 값이 0이 되기 위해서는 $|\bar H_d| = 0, |\bar E_d| = 0$이 되어야 한다.
즉, $\bar E_1 = \bar E_2, \bar H_1 = \bar H_2$가 모든 체적에서 성립해야 한다.
유일성 정리에서 얻은 중요한 결과는 경계조건이다. 경계조건이 정해지지 않으면 전자기장은 유일하게 결정되지 않는다. 따라서, 전자장 문제를 풀 때는 반드시 경계조건을 고정해야 한다.
이러한 이유로 학부 교과서에도 유일성 정리를 가르치게 된다. 이 다음에 나올 경계조건의 중요성을 알려주기 위해서이다.

[참고문헌]
[1] Q. Chu and C. Liang , "The uniqueness theorem of electromagnetic fields in lossless regions," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 41, no. 2, pp. 245-246, Feb. 1993.

[다음 읽을거리]
1. 전자기장의 경계조건
2. 전압해와 전류해의 유일성

댓글 8개 :

  1. 또 써핑을 해버렸네요. T.T
    무슨 말인지는 모르겟지만, 참 아무튼 다행이다는 생각이 드네요.

    아직 이런 질문을 할 단계라는 것은 알지만, 궁금해서요.
    많은 부분이 선형이라는 가정하에서 증명을 하고 전계를 하는거 같습니다. 그런데 실제로는 비선형은 존재하고 주로 선영 영역에서 우리는 활용을 합니다.

    그럼 비선형을 인정하고 전자계 해석을 하게 되나면, 이 유일성 정리는 성립이 하는건가요?

    질문이 많이 거시기 하조?
    _____
    전파곰

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    답글
    1. 비선형 미분 방정식 해의 존재성은 일반적으로 증명된 것이 없습니다. 말씀하신 부분도 비선형 미분 방정식이기 때문에 그냥 풀 수 없고 선형 근사해서 수치 해석으로 풉니다. 전자파에서는 출력이 높을 때 비선형 특성이 나타납니다. 이 경우 계산은 했지만 계산 결과와 실제 실험 결과는 차이가 많이 나는게 대부분입니다.

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    2. 좀더 거시기한 질문인데요.
      선형적 가정에서 정립된 이론을 아직 이해를 못한 상태에서 비선형을 논한다는 것이 좀 거히기하다는 것은 압니다만, 재가 개인적으로 궁금해 하는 부분은 이러한 내용입니다.
      특정한 조건에서 결과가 예상과 다르더라도, 항상 같은 결과가 있다면, 이것은 유일성이 있다고 보아도 되는건가요?

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    3. 우리가 하는 것은 거시적인 물리학이니 실험 결과는 하나로 확정되어야 합니다. 이걸 수학적으로 증명한 것이 유일성 정리입니다.

      실험적으로 답이 유일하더라도 이론적으로 증명하는 것은 다른 문제인 것 같네요.

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    4. 비선형적인 전자기을 다루는 부분이 양자쪽이라 생각 해도 될까요?

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    5. 아닙니다. 자이로트론 등을 연구하는 고출력 전자파 분야가 따로 있습니다.

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    6. 1.로렌츠 게이즈 정의할때도 발산으로는 유일성이 정해지지 않아서 회전도 주어지는건가요?

      2.그리고 로렌츠 게이즈식에서 한공간을 감싸는 부피의 표면을 지나가는 벡터포텐셜은 공간내 전위의 크기와 비례한다는 표현이 맞나요?

      3.이때 영역 내부의 전위는 유일하므로 동일시하여 공간내 임의의 전위라고 해도 되는건가요?

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    7. 1. 로렌츠 게이지는 유일성 정리와는 관점이 다릅니다. 헬름홀츠 정리에 의해 벡터 포텐셜을 명확히 정의하려면 발산과 회전이 정해져야 합니다. 회전은 벡터 포텐셜 정의에서 정해지지만, 발산은 임의입니다. 이를 위해 도입된 것이 로렌츠 게이지입니다.

      2. 통상적으로는 맞지만 다르게 정할 수도 있습니다. 예를 들면 구 좌표계에서는 로렌츠 게이지를 말씀하신 대로 정하지 않습니다. 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2013/02/electromagnetic-field-representations_10.html

      3. 내부 전위가 유일하지만 임의는 아닙니다. 경계 조건에 의해 정해져야 합니다.

      삭제

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