2011년 5월 19일 목요일

로렌츠 상반 정리(相反定理, Lorentz reciprocity theorem)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "로렌츠 상반 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 대칭적인 맥스웰 방정식
2. 포인팅의 정리
3. 균일 평면파
4. 평면파를 이용한 푸리에 변환기법

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실험을 기반으로 출발한 전자기 이론은 그 역사가 다소 길기 때문에 방대한 내용을 가지고 있다. 현재까지 살아남은 이론 중에서 주옥같은 정리 두 개를 꼽자면 포인팅 정리(Poynting's theorem)와 로렌츠 상반 정리(Lorentz reciprocity theorem)이다. 포인팅 정리가 아름다운 이유는 명확하다. 전자기파의 전파 특성을 전기장(electric field)자기장(magnetic field)외적(outer product or cross product)포인팅 벡터(Poynting vector: $\bar S = \bar E \times \bar H$) 관점으로 정확히 설명하기 때문이다. 또한, 전자기파가 전력을 방출하거나 흡수하려면 전류(electric current)나 자류(magnetic current)가 흘러야 한다는 것을 명시적으로 표현해 준다.

[그림 1] 고려청자(출처: wikipedia.org)

[그림 2] 분청사기(출처: 삼성미술관 Leeum)

로렌츠 상반 정리의 중요성은 포인팅 정리처럼 명확히 느껴지지는 않는다. 왜냐하면 로렌츠 상반 정리의 아름다움은 고민하지 않은 사람에게는 보여지지 않기 때문이다. 아래에 설명하겠지만 로렌츠 상반 정리는 특성이 상호관계 없는 별개의 전자기장에 대한 수학적인 관계를 나타낸다. 그 유도과정도 포인팅 정리와 크게 다르지는 않다. 포인팅 정리를 알고 있는 사람에게는 로렌츠 상반 정리도 그저 그런 정리중의 하나일 뿐이다. 하지만, 로렌츠 상반 정리는 고민할수록 그 아름다움에 매료될 수밖에 없다.
마치 포인팅 정리가 전자기 이론의 고려청자(高麗靑磁, Korea celadon)라면 로렌츠 상반 정리는 개념적으로 분청사기(粉靑沙器, grayish-blue powered celadon)인 것과 비슷하다[1]. [그림 1]의 고려청자는 도자기를 모르는 사람이 보더라도 명품중의 명품이라는 것을 알 수 있다. 고려청자의 아름다움에 해당하는 식 (1)의 포인팅 정리를 보자. 수학을 모르는 사람이 보더라도 구조상의 아름다움을 느낄 수 있다.

                         (1)

[그림 2]의 분청사기는 다소 투박하고 나같은 사람도 만들 수 있을 정도로 단순해 보인다. 이 느낌 그대로 식 (2)에 제시한 로렌츠 상반 정리도 같이 보도록 하자.

     (2)

웬지 식 (2)는 식 (1)을 베낀 것처럼 비슷하다, 마치 모조품처럼. 그러면서도 더 복잡하게 느껴지니 중요하게 느껴지지도 않는다. 그런데 전문가눈에는 분청사기의 아름다움이 보이는 모양이다[1]. 분청사기가 투박해 보이는 것은 이를 만든 사람이 기술이 없어서가 아니라 현대적인 아름다움을 추구했기 때문일 것이다. 내가 봐도 [그림 2]는 마치 현대미술 한 폭을 보는 느낌이다. 정교함이 아니라 여유로움...
로렌츠 상반 정리는 1896년 로렌츠(Hendrik Lorentz)가 증명했다. 로렌츠 상반 정리의 다른 이름은 가역 정리(可逆定理) 혹은 상호 작용 정리(相互作用 定理)이다. 증명과정은 포인팅의 정리와 매우 유사하다. 먼저 벡터 항등을 고려하자.

                         (3)

다음으로 원천 $a$가 만드는 전자장을 $\bar E_a, \bar H_a$, 원천 $b$가 만드는 전자장을 $\bar E_b, \bar H_b$라 하자. 포인팅의 정리와 유사하게 아래 관계식을 만들어 보자.

        (4)

        (5)

식 (4)에서 식 (5)를 빼주고 체적 적분한 후 발산 정리(divergence theorem)를 적용하면 식 (2)를 얻을 수 있다.
로렌츠 상반 정리의 의미를 알기 위해 식 (2)의 특별한 경우를 생각해 보자. 먼저 $\bar J = \bar M = 0$인 경우를 살펴보자.

                         (6)

별개의 특성을 가진 원천 $a, b$가 만드는 전자장은 내부 체적 $v$ 내부에 원천이 없는 경우($\bar J = \bar M = 0$)는 식 (6)의 관계를 만족한다. 전자장이 전혀 별개인데도 상호간에 만족해야 할 관계가 있다는 매우 중요하면서도 재미있는 결론을 유도할 수 있다. 그것도 매우 간단한 관계식 하나로... 이 다음으로 재미있는 경우는 면적 적분의 반지름이 무한히 커질 때이다. 원역장(遠域場, far-field)에서 전자장을 관찰하면 균일 평면파(平面波, uniform plane wave)와 동일한 성질을 아래와 같이 가진다.

                         (7)

여기서 $k$는 수 벡터(wavenumber vector: 전자파가 진행하는 위상을 표현하는 벡터)이다. 원역장에 있는 임의의 전자장에 대해 식 (7)의 관계를 엄밀하게 증명하려면 푸리에 변환 기법(Fourier transform technique)을 사용하는 것이 정석이다. 대충 생각하려면 이런 상상을 하면 된다. 임의의 원천에서 나온 전자장은 구면파(球面波, spherical wave)의 합이라 생각할 수 있다. 구면파를 아주 멀리서 보면 평면파처럼 보인다. 마치 태양빛이 지구에 오면 평면파처럼 근사해도 되는 것처럼. 식 (7)을 식 (2)의 좌변에 대입해서 계산하면 다음을 얻는다.

                         (8)

여기서 식 (8)이 0이므로 서로 다른 원천 $a, b$가 만드는 전자장은 $\bar E_a \times \bar H_b = \bar E_b \times \bar H_a$가 성립한다. 또한, 식 (8)을 계산할 때 다음 벡터 항등식을 이용하였다.

                              (9)

식 (2)의 좌변이 0이므로 원역장을 고려한 경우에 대해 식 (2)를 다시 쓰면 원천에 대한 일반적인 관계식을 얻을 수 있다[2].

                (10)

임의의 두 원천 $a, b$에 대해 식 (10)은 항상 성립한다. 즉, 서로 관계가 없더라도 각각의 원천이 만드는 전자기장은 식 (10)과 같이 서로 연결되어 있다.

식 (2)는 다소 복잡한 적분식이므로 재미난 표기법들이 아래와 같이 도입되었다[2], [3].

                         (11)

여기서

                         (12)

                         (13)

식 (12)와 (13)은 각각 상호 작용(reciprocity)반응(reaction or coupling)이란 이름을 가지고 있다[2]-[5]. 식 (13)을 이용해 식 (10)을 표현하면 다음과 같다.

                         (14)

[그림 3] 혼안테나(출처: wikipedia.org)

반응 개념(reaction concept)을 이해하기 위해 송신기(transmitter)와 수신기(receiver)로 구성된 통신 시스템(communication system)을 살펴보자. 송신기가 전자파 신호를 방출하면 [그림 3]과 같은 혼 안테나(horn antenna)로 이 신호를 수신할 수 있다. 이런 종류의 통신 시스템은 통신 그 자체이므로 통신 이론(communication theory)에서도 매우 중요하다. 하지만, 이를 엄밀한 전자파 이론으로 풀어내는 것은 매우 어렵다. 이 경우에 유용하게 쓰일 수 있는 이론이 로렌츠 상반 정리이다. 예를 들어 수신 안테나(receiving antenna)를 송신 안테나(transmitting antenna)로 쓸 경우의 원천을 $a$라 하고 $b$를 송신 안테나의 원천이라 생각하자. 그러면 식 (10)에 의해 원천 $a, b$는 식 (14)와 같이 서로 반응하게 된다. [2]에서 강조한 것은 이 반응이 개념적인 것이 아니라 물리적인 실체이며 안테나 측정에 매우 유용하게 사용된다는 것이다. 반응 개념은 매우 중요하다. "Physical Review"는 그저 그런 논문지가 아니다. 새로운 물리학적 기여가 없으면 논문을 실을 수 없는 최고 수준의 논문지이다. 그래서 반응이 물리적인 실체인 이유를 차분히 추적해 보자. 문제를 간단히 하기 위해 원천 $a, b$가 존재하는 체적을 도려내고 정의한 [그림 4]의 면적 적분을 보자.

[그림 4] 원천이 있는 체적 부분을 제외하고 정의된 면적 적분(출처: wikipedia.org)

원천을 제거했기 때문에 $\ll a, b \gg = 0$이 되고 면적 적분은 $S_\infty, S_a, S_b$ 세 개의 적분면을 가진다. 여기서 $S_\infty, S_a, S_b$은 원역장, 원천 $a$, 원천 $b$에서의 면적 적분이다. 식 (8)에서 증명했듯이 $S_\infty$의 면적 적분은 0이 되므로 다음 식이 성립해야 한다.

     (15)

안테나가 [그림 3]과 같은 개구(開口, aperture) 안테나이면 전자파가 나올 수 있는 영역은 구멍 영역뿐이다. (∵ 막힌 영역에서는 전기장이나 자기장이 반드시 0이기 때문이다.)

[그림 5] 경계영역

식 (15)의 결과는 식 (14)에 대해 표면 등가의 원리(surface equivalence principle)를 써도 동일하게 얻어진다. [그림 5]와 같은 경계 영역에 대해 전자기장의 경계 조건은 다음과 같다.

                         (16)

                         (17)

여기서 $\bar J_s, \bar M_s$는 표면 전류 밀도, 자류 밀도이다. 수신 안테나가 있는 원천 $a$ 근방에서 반응(reaction)을 계산하면 다음을 얻는다.

                         (18)

여기서 단위벡터 $\hat n$은 수신 안테나를 뚫고 나오는 방향(송신 방향)이며 면적 미분소 $d \bar a$는 수신 안테나를 뚫고 들어가는 방향(수신 방향)이다. 식 (18)은 부호 차이가 있지만 정확히 식 (15)의 좌변과 같다. 식 (18)을 계산하기 위해 수신 안테나의 개구면에 존재하는 접선 전자기장(tangential electromagnetic fields)이 다음 TEM(Transverse ElectroMagnetic: 진행방향으로 전기장과 자기장 성분이 없음) 도파관(導波管, waveguide) 관계식을 만족한다고 가정하자.

                         (19)

여기서 벡터 $\bar \beta$는 전자기장의 전파 상수(propagation constant)를 나타내는 벡터이며 식 (18)에 있는 면적 미분소 $d \bar a$의 반대 방향(송신 방향)을 가진다. 식 (19)를 식 (18)에 대입해 계산하면 다음을 얻는다.

                         (20)

다음으로 도파관에는 우세 모드(dominant mode)만 있다고 가정하면 $\bar E_b, \bar H_b$의 모양은 $\bar E_a, \bar H_a$의 모양과 동일하며 상수배 만큼만 차이나게 된다. 따라서, 반응 $<a, b>$는 다음 관계식을 만족한다.

                         (21)

여기서 $Z_0$는 도파관의 특성 임피던스(characteristic impedance)이다. 식 (21) 계산에서 숫자 2가 출현하는 이유는 다음과 같다. 전자기장 $\bar E_a, \bar H_a$의 진행 방향(원천 $a$가 송신 안테나처럼 전자파를 쏘는 방향)과 $\bar E_b, \bar H_b$의 진행 방향(원천 $a$ 지점의 수신 안테나가 전자파를 받는 방향)이 다르기 때문이다. 즉, $\bar E_a, \bar E_b$의 방향이 같다고 가정하면 포인팅의 정리에 의해 $\bar H_a, \bar H_b$는 180도 다른 방향이 되어야 한다. 식 (21)에 의해 반응 $<a, b>$는 수신 안테나가 측정하는 개방 회로 전압(open-circuit voltage) $V_{\rm oc}$에 정확히 비례하게 된다. 즉, 원천 $a$ 지점에서의 수신 안테나 측정을 통해 원천 $b$의 특성을 원격으로 알 수 있게 된다. 원천 $a$의 값은 임의이므로 식 (21)을 식 (22)로 표현할 수도 있다.

                         (22)

식 (22)로 반응을 정의하면 다음과 같다. 원천 $b$에서 복사된 전자파가 원천 $a$ 지점에 있는 수신 안테나에 여기시키는 개방 회로 전압이 반응 개념이 된다. 식 (22)의 개념을 이용하면 수신 안테나가 받아들이는 $E_b, H_b$의 특성을 근사적으로 예측할 수 있다. 이를 위해 반응(reaction)의 대수적인 구조를 아래와 같이 살펴보자.

                         (23)

여기서 셋째항이 0이 아니기 위해서는 동일한 특성을 가진 두 개의 원천 $a$가 서로 상대방에게 전력을 쏜다고 생각하면 된다. 그러면 식 (20)에 의해 $<a, a>$는 0이 아닌 (+)이거나 (-)가 된다. 만약 전기장이나 자기장의 방향을 잘 설정해서 $<a, a>$가 항상 (+)가 된다면 반응 개념(reaction concept)은 일반화 전력(generalized power)으로 생각할 수 있다. 왜냐하면 $<a, a>$일 때는 통상적인 전력이 되고 $<a, b>$일 때는 두 개의 원천이 생성하는 결합 전력(coupled power)이 되기 때문이다. 식 (23)의 특성을 바탕으로 원천 $b$를 아래와 같이 근사적으로 표현해 보자.

                         (24)

여기서 $B_n$은 미정 계수(未定係數, unknown coefficient)이며 $b_n$은 잘 알려진 원천의 분포(기저 함수, basis function)이다. 식 (14) 혹은 식 (23)에 의하면 시험 함수(test function) $b_m$에 대해 다음이 성립한다.

                         (25)

여기서 원천 $b$가 있는 송신 안테나의 전류 분포 $\bar J_b, \bar M_b$는 정해져 있고 시험 함수 $b_m$도 알 수 있으므로 $<b, b_m>$은 계산 가능하다. 송신측이든 수신측이든 개방 회로 전압을 측정할 수 있다면 역시 $<b, b_m> = <b_m, b>$을 결정할 수 있다. 다음으로 식 (25)에서 얻은 연립 방정식(聯立方程式, simultaneous equations)을 풀면 $B_n$을 얻을 수 있고 이를 식 (24)에 대입하면 전자장 $\bar E_b, \bar H_b$의 분포를 근사적으로 얻을 수 있다.
식 (23)이 반응의 대수 구조를 보여준다면 식 (26)은 상호 작용(reciprocity)의 구조를 제시한다.

                         (26)

쉽게 생각하면 반응은 덧셈 구조(+)를 가지고 있고 상호작용은 뺄셈 구조(-)를 가지고 있다.

[참고문헌]
[1] 유홍준의 국보순례, "뉴욕의 분청사기전", "프리어 갤러리의 분청사기", 조선일보, 2011년 5월.
[2] V. H. Rumsey, "Reaction concept in electromagnetic theory," Phys. Rev., vol. 94, no. 6, pp. 1483-1491, June 1954.
[3] Y.-H. Cho, "Planar near-field antenna measurement method based on symplectic relation and reaction concept," International Journal of Contents, vol. 6, no. 2, pp. 6-9, June 2010.
[4] M. Cohen, "Application of the reaction concept to scattering problems," IRE Trans. Antennas Propagat., vol. 3, no. 4, pp. 193-199, Oct. 1955.
[5] A. M. Shams-Zadeh-Amiri, S. Safavi-Naeini, S. K. Chaudhuri, and R. Sabry, "Generalized reaction and unrestricted variational formulation of cavity resonators-Part I: Basic theory," IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 50, no. 11, pp. 2480- 2490, Nov. 2002.

댓글 2개 :

  1. 안녕하세요. 항상 잘 보고 있습니다.
    질문하나드려도 될까요?
    식(8)에서 0이된다는것은 어떤 의미를 갖고있는건가요?

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    답글
    1. 반가워요, 익명님. ^^

      전혀 관계가 없는 원천 $a, b$가 만드는 전자장이 원역에서는 어떤 일관된 관계를 가진다는 것입니다. 원천이 다르면 전자장도 다르며, 이를 연산하면 다른 결과를 가지는 것이 일반적이겠지만, 식 (8)과 같은 연산에서는 일관된 특성이 생깁니다.
      이 개념을 이용해 원천과 전자장과의 관계를 만든 것이 식 (10)입니다.

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