2011년 12월 26일 월요일

표면 등가의 원리(surface equivalence principle)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "표면 등가의 원리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 대칭적인 맥스웰 방정식
2. 맥스웰 방정식의 쌍대성
3. 전자기장의 경계 조건
4. 영상 전하법


[그림 1] 전자파 산란의 예: 일몰(출처: wikipedia.org)

[그림 1]의 전자파 산란(electromagnetic scattering)을 계산할 때 유용한 개념이 표면 등가의 원리(surface equivalence principle)이다[1]-[3]. [그림 2]와 같은 복잡한 산란체의 전자파 산란을 구할 때는 산란체 모양을 직접 고려하는 것보다는 우리가 계산하기 쉬한 표면([그림 2]에서 파란원: 직육면체, 원기둥, 구 등)을 택하는 것이 좋다.

[그림 2] 산란체와 가상표면

[그림 2]의 파란원 주변에는 어떤 전류도 없기 때문에 경계 조건(boundary condtion)에 의해 다음이 성립한다.

                        (1)

여기서 $\hat n$은 [그림 2]에 표시된 것처럼 $\bar E_1$, $\bar H_1$이 정의된 영역을 뚫고 나가는 법선 벡터(normal vector)이다.
즉, 전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)의 접선 성분(tangential component)이 경계면에서 연속이어야 한다. 또한, 임의의 경계면에서 전자장은 다음 조건을 항상 만족한다는 것을 기억하자.

                        (2)

여기서 $\bar M_s$는 표면 자류 밀도(surface magnetic current density), $\bar J_s$는 표면 전류 밀도(surface electric current density)이다. 일반식 (2) 관점으로 보면 식 (1)은 $\bar M_s = \bar J_s = 0$인 조건과 동일하다.
[그림 3] 영(零)의 전자기장 가정

1. $\bar E_1 = \bar H_1 = 0$ 가정

우리가 관심있는 것은 산란체 자체보다는 산란되는 전자파라는 것을 기억하자. 그러면 우리의 관심 영역은 [그림 2]에서 산란파가 있는 영역 (II)가 된다. 그래서, 문제를 간단하게 만들기 위해 [그림 3]처럼 강제적으로 $\bar E_1 = \bar H_1 = 0$이라 가정하자[1]. 물론 이렇게 하면 영역 (I)에서는 원래 있던 전자장($\bar E_1 \ne 0$, $\bar H_1 \ne 0$)과는 다른 $\bar E_1 = \bar H_1 = 0$인 문제를 푼 것이 된다. 하지만, 관심영역이 영역 (II)이기 때문에 영역 (I)의 전자장이 틀리게 설정되더라도 문제는 없다.
식 (2)에서 조건 $\bar E_1 = \bar H_1 = 0$을 넣으면 다음을 얻는다.

                        (3)

즉, $\bar M_s, \bar J_s$를 식 (3)과 같이 설정하면 $\bar E_1 = \bar H_1 = 0$이라고 두더라도 정확하게 영역 (II)의 전자장을 계산할 수 있다. 재미있는 것은 내 마음대로 [그림 3]의 녹색원을 설정할 수 있기 때문에 전류 분포 계산을 위한 기하 구조를 자유롭게 선택할 수 있다.

[그림 3]의 개념은 이렇게 생각할 수도 있다. 예를 들어 $\bar J_s$는 영역 (I)에서 $-\bar H_2/2$를 생성하고 영역 (II)에서는 $+\bar H_2/2$를 생성한다고 본다. 마찬가지로 $\bar M_s$는 영역 (I)에서 $-\bar E_2/2$를 생성하고 영역 (II)에서는 $+\bar E_2/2$를 만든다. 또한, $\bar J_s$가 만든 자기장은 파동이 되기 위해 같은 특성의 전기장을 만들어야 한다. 영역 (I)에서는 $+\bar E_2/2$가 되고 영역 (II)에서도 $+\bar E_2/2$가 된다. (∵ 포인팅의 정리(Poynting's theorem)를 이용하면 양쪽영역에서 전기장의 부호가 같아야 되는 이유를 알 수 있다. 또한, 잘 날아오던 자기장을 등가전류로 바꾸었기 때문에 $\bar H_2$는 당연히 $\bar E_2$를 유도해야 한다.) $\bar J_s$와 $\bar M_s$가 만든 전기장을 합치면 영역 (I)에서 $\bar E_2/2 - \bar E_2/2 = 0$, 영역 (II)에서는 $\bar E_2/2 + \bar E_2/2 = \bar E_2$가 되는 것을 알 수 있다[2]. 자기장도 마찬가지로 생각할 수 있다.

[그림 4] 완전 전기 도체 가정

2. 완전 전기 도체(PEC: Perfect Electric Conductor) 가정

$\bar E_1 = \bar H_1 = 0$를 만들 수 있는 물체 중의 하나는 완전 전기 도체이다. 침투깊이(skin depth) 개념에 의해 완전 전기 도체 내부의 전자장은 항상 0이다. (or 도체 내부의 전류 밀도가 유한하기 위해서는 전기장이 0으로 가야한다. 전기장이 0이면 자기장도 당연히 0이 되어야한다.)

[그림 5] 완전 전기 도체에 대한 영상법

따라서, [그림 2]의 영역 (I)에 자그마한 완전 전기 도체가 있다고 [그림 4]처럼 생각하고 그 크기가 커져 파란원을 완전히 채운다고 가정해보자. 그러면 파란원에 있던 전류 밀도와 자류 밀도는 [그림 5]의 영상법(method of images)에 의해 다음이 성립해야 한다.

                        (4)

쉽게 생각하면 [그림 2]의 파란원 위치에 [그림 4]처럼 완전 전기 도체가 있기 때문에 자류 밀도는 두배가 되고 전류 밀도는 없어진다고 생각하면 된다. 그래서, [그림 4]처럼 완전 전기 도체가 있는 문제를 풀더라도 영역 (II)에서의 전자기장 결과는 같아진다.

[그림 4]의 개념은 이렇게 생각할 수도 있다. [그림 4]에서는 자류 밀도만 존재하기 때문에 전류 밀도는 고려할 필요가 없다. 자류 밀도 $\bar M_s$는 영역 (I)에서 $-\bar E_2/2$를 생성하고 영역 (II)에서는 $+\bar E_2/2$를 만든다. 하지만 PEC가 있기 때문에 영역 (I)에서는 반사(reflection)되어 전기장 $-\bar E_2/2$는 $+\bar E_2/2$로 바뀌어야 한다. 그러면 영역 (II)에서 전체 전기장은 $\bar E_2/2 + \bar E_2/2 = \bar E_2$가 된다. (그래서 식 (4)의 자류 밀도 $\bar M_s$가 두배가 되었다.) 당연히 맥스웰 방정식에 의해 $\bar E_2$는 자기장 $\bar H_2$를 만든다.

[그림 6] 완전 자기 도체 가정

3. 완전 자기 도체(PMC: Perfect Magnetic Conductor) 가정

[그림 4]와 비슷하게 [그림 2]의 파란원을 [그림 6]처럼 완전 자기 도체로 바꿀 수 있다. 그러면 [그림 7]의 영상법을 사용할 수 있다.

[그림 7] 완전 자기 도체에 대한 영상법 

즉, 자류 밀도와 전류 밀도는 아래처럼 바뀌어야 한다.

                        (5)

혹은 [그림 6]의 개념과 식 (5)를 유도하기 위해 맥스웰 방정식의 쌍대성(雙對性, duality of Maxwell's equations)을 사용할 수도 있다.

이상의 논의를 통해 표면 등가의 원리를 살펴보면 [그림 2], [그림 3], [그림 4], [그림 6]에 있는 영역 (I)의 전자기장이 다르더라도 영역 (II)의 전자기장은 서로 같다.

[참고문헌]
[1] A. E. H. Love, "The integration of equations of propagation of electric waves," Phil. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, vol. 197, pp. 1-45, 1901.
[2] S. R. Rengarajan and Y. Rahmat-Samii, "The field equivalence principle: illustration of the establishment of the non-intuitive null fields," IEEE Antennas Propagat. Magazine, vol. 42, no. 4, pp. 122-128, Aug. 2000.
[3] J. Appel-Hansen, "Comments on field equivalence principles," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 35, no. 2, pp. 242-244, Feb. 1987.

[다음 읽을거리]
1. 프란츠 공식
2. 스트래튼-추 공식

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댓글 2개 :

  1. 낫 놓고 기억자를 모른다는 내용이 저에게 해당 되는 거 같습니다. T.T
    예전에 드렸던 질문 인데, 3D EM solver에서 port와 관련 하여,
    (왜 port를 직각으로 하면 편리한 이유의 원리 ),
    port가 등가표면 역활을 하기 때문에 이글을 참고 하라고 하셨는데요.
    위글의 내용 중에 어떤 부분과 관련이 있는 잠깐 찍어 주시면,....

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    답글
    1. [그림 2]와 식 (2)를 보면 됩니다. 포트를 설정하는 것은 전자파를 입력으로 넣는 것입니다. 쉽게 전자파를 넣으려면 해당하는 전류나 자류를 만들면 됩니다. 하지만 이걸 임의의 면적에 넣으면 복잡해지므로 가장 단순한 데카르트 좌표계 기준으로 넣게 됩니다.

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