2020년 2월 11일 화요일

표면 적분 방정식(Surface Integral Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "표면 적분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 스트래튼–추 공식

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스트래튼–추 공식(Stratton–Chu formula)을 이용하면 완전 전기 도체(Perfect Electric Conductor, PEC)완전 자기 도체(Perfect Magnetic Conductor, PMC)로 이루어진 산란체에 대한 산란 전자기장을 손쉽게 계산할 수 있다. 예를 들어, 스트래튼–추 공식으로 얻은 전자기장에 대한 적분 방정식(Electric Field Integral Equation, EFIE)은 다음과 같다.

                        (1)

                        (2)

[그림 1] PEC 산란체를 등가 전류 밀도로 치환

[그림 1]과 같은 PEC 표면에서 전기장의 접선 성분이 0이란 경계 조건을 식 (1)에 추가하면, PEC의 산란 특성을 계산할 수 있는 EFIE는 다음과 같다.

             (3)

여기서 우리가 모르는 미지수는 표면 전류 밀도 $\bar J_s (\bar r')$이다. 식 (1)이 명확히 보여주는 특성처럼, 미지수 $\bar J_s (\bar r')$는 함수이며 표면 적분 속에 들어가 있다. 적분을 없애기 위해 미분을 취하더라도 $\bar J_s (\bar r')$를 구할 수는 없다. 그래서 식 (1)은 표면 전류 밀도 $\bar J_s (\bar r')$에 대한 표면 적분 방정식(surface integral equation)이 된다.
마찬가지로 PMC에 대한 자기장 적분 방정식(Magnetic Field Integral Equation, MFIE)을 얻을 수도 있다. 스트래튼–추 공식을 이용해 처음부터 계산할 수도 있겠지만, 맥스웰 방정식의 쌍대성(duality of Maxwell's equations)을 적용해 다음처럼 쉽게 결과를 얻을 수도 있다.

             (4)

[그림 2] 균일한 유전체와 자성체로 구성된 산란체

산란체가 PEC나 PMC가 아니고 [그림 2]처럼 균일한(homogeneous) 유전체나 자성체라면 표면 적분 방정식을 어떻게 세워야 할까? 어려울 것 같지만 PEC나 PMC 접근법과 유사한 절차를 따라가면 된다[1]–[3]. 간단하게 보면 [그림 2]의 경계면에 스트래튼–추 공식을 그대로 적용해서 계산하면 될 것도 같다. 하지만 이런 방식은 불가능하다. 왜냐하면 산란체 매질이 외부 공간의 매질과 다르기 때문에 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function)를 사용할 수 없다. 따라서 산란체마다 고유한 그린 함수를 계산해야 한다. 하지만 이런 과정은 번거롭기도 하고 대부분의 경우는 그린 함수를 해석적으로 계산하기가 불가능하다. 어떻게 할까? 산란체와 외부 공간 간의 매질이 다르기 때문에 문제가 생기므로, [그림 3]처럼 강제로 매질을 동일하게 설정하면 된다[1].

[그림 3] 산란체와 외부 공간을 동일 매질로 치환
(a) 산란체 외부 기준 (b) 산란체 내부 기준

[그림 3(a)] 기준으로 보면 산란체 외부인 영역 (II)에서 본 등가 전류 및 자류 밀도 $\bar J_2, \bar M_2$는 다음과 같다.

                  (5)

영역 (I)의 전자장을 0으로 만들기 위해 $\bar E_{2, \text{in}} = - \bar E_i$, $\bar H_{2, \text{in}} = - \bar H_i$로 설정하면 다음을 얻는다.

                  (6)

마찬가지로 [그림 3(b)]에 표시한 산란체 내부 영역 (I)을 위한 가 전류 및 자류 밀도 $\bar J_1, \bar M_1$를 계산하자.

                  (7)

영역 (II)의 전자장을 0으로 만드는 조건인 $\bar E_{1, \text{ex}} = \bar H_{1, \text{ex}} = 0$을 식 (7)에 대입하자.

                  (8)

또한 [그림 2]에 의해 경계면에서 접선 전기장과 자기장은 서로 같아야 한다.

                  (9)

식 (9)를 식 (8)에 대입하면 영역 (I)의 전류와 자류 밀도를 영역 (II)의 전자장으로 표현할 수 있다.

                  (10)

실제 문제를 풀기 위해 식 (6)을 그대로 적용하기는 불편하다. 왜냐하면 우리가 구해야 하는 미지수는 전류 및 자류 밀도인 $\bar J_2, \bar M_2$로서 두 종류나 되기 때문이다. 그래서 보통은 전류 밀도만 남기고 자류 밀도는 없애 버린다. 이를 위해 강제로 $\bar E_{2, \text{in}} = \bar E_2$라 설정한다. 우리가 $\bar E_{2, \text{in}}$를 실제 계산하지는 않고 미지수인 $\bar M_2$에 이 특성이 담기기 때문에 이런 접근법은 문제가 없다. 또한 식 (5)에 의해 $\bar M_2 = 0$이므로 $\bar M_2$를 계산할 필요도 없다. 다만 $\bar E_{2, \text{in}} = \bar E_2$라 설정하면, 이 특성에 맞게 $\bar H_{2, \text{in}}$를 적절하게 설정해야 한다. 하지만 $\bar H_{2, \text{in}}$의 영향은 미지수 $\bar J_2$에 이미 반영되기 때문에 직접적으로 $\bar H_{2, \text{in}}$를 계산하지는 않는다[1]. 따라서 식 (10)에 제시한 영역 (I)의 전류와 자류 밀도를 미지수 $\bar J_2$를 이용해 쉽게 표현할 수 있다.

                  (11)

식 (11)을 식 (1)에 대입한 후 식 (9)의 첫째식에 다시 대입하면 [그림 2]의 구조를 계산하기 위한 표면 적분 방정식을 얻을 수 있다.

                  (12)

여기서 관측점 $\bar r$은 산란체의 경계면에 있다.

[그림 4] 미소 면적소 $s_0'$에 대한 좌표계

식 (12)에 유도한 표면 적분 방정식은 $\bar r$이 산란체 표면에 위치하기 때문에 피적분 함수가 발산할 수 있다. 관측점 $\bar r$과 원천점 $\bar r'$이 같을 수 없도록 닫힌 표면적 $s'$에서 미소 면적소 $s_0'$를 빼내자. 그리고 $s_0'$에 대해서 표면 적분을 해보자. 식 (1)에 이 개념을 적용하면 다음과 같다.

                  (13)

여기서 $\bar \nabla' \cdot \bar J_s (\bar r')$는 스칼라면서 $s_0'$ 근방에서 값이 거의 변하지 않으므로 표면 적분에 대해 상수로 취급할 수 있다. 식 (13)에 의해 $s_0'$가 한없이 작아지더라도 식 (1)의 둘째식은 일정한 값을 가진다. 하지만 표면 적분 방정식에 기여하는 성분은 산란체의 접선 성분이므로 $s_0'$에서 식 (1)의 둘째식은 기여가 없다. 비슷한 개념으로 식 (2)의 셋째식을 계산하자.

                  (14)

여기서 접선 자기장 $\bar H_t$와 $\hat R$은 서로 수직이다. 따라서 미소 면적소에 대한 전류 및 자류 밀도의 적분은 다음과 같다.

                  (15)

여기서 $\hat n$은 닫힌 표면 $s'$를 뚫고 나가는 단위 벡터이다. 식 (14)를 이용하면 식 (2)의 셋째식에서 특이점을 제거한 새로운 적분을 정의할 수 있다.

                  (16)

여기서 $n$은 영역 ($n$)의 파수 $k_n$을 선택하는 첨자이다. 식 (14)와 (15)를 식 (11)의 첫째식에 대입하면 다음과 같다.

                  (17)

마찬가지로 다음 관계도 성립한다.

                  (18)

여기서 영역 (I)과 (II)의 법선 벡터 방향이 다르기 때문에 식 (15)의 둘째식 부호를 반대로 택했다.[∵ $\hat n \times [ \bar E_t (\bar r') \times (-\hat n') ]$]  식 (17)과 (18)을 식 (12)에 대입해 정리하면, 특이점이 추출된 최종 표면 적분 방정식을 얻을 수 있다[1].

        (19)


[참고문헌]
[1] A. W. Glisson, "An integral equation for electromagnetic scattering from homogeneous dielectric bodies," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 32, no. 2, pp. 173–175, Feb. 1984.
[2] E. Marx, "Integral equation for scattering by a dielectric," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 32, no. 2, pp. 166–172, Feb. 1984.
[3] J. R. Mautz, "A stable integral equation for electromagnetic scattering from homogeneous dielectric bodies," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 37, no. 8, pp. 1070–1071, Aug. 1989.

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