2020년 1월 20일 월요일

체적 등가의 원리(Volume Equivalence Principle)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "체적 등가의 원리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 표면 등가의 원리
2. 유전체의 비밀
3. 자성체의 비밀
4. 맥스웰 방정식
5. 다이애드 그린 함수

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표면 등가의 원리(surface equivalence principle)는 전자파 이론의 적용 수준을 한 단계 올려준다. 표면 등가의 원리를 이용하면 전자파 산란체의 구조를 있는 그대로 사용하지 않고 우리가 계산하기 편리한 표면으로 바꿀 수 있다. 이런 편리한 표면 등가의 원리를 체적에도 적용할 수 있을가? 유전체(dielectric)자성체(magnetic material) 특성을 고려하면 표면 등가의 원리와 유사한 체적 등가의 원리를 새롭게 발굴할 수 있다.

[그림 1] 산란체를 등가 전류 및 자류 밀도로 변환

시작은 언제나 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)부터 하자. 산란체는 전혀 없고 자유 공간(free space) 상에 원천[$\bar J$, $\bar M$]과 원천에 의한 전자기장[$\bar E_0$, $\bar H_0$]만 있는 경우는 다음 맥스웰 방정식을 만족한다.

                  (1)

만약 [그림 1]과 같은 산란체가 자유 공간 상에 존재하면 전자기장[$\bar E_t$, $\bar H_t$]은 다음과 같이 바뀐다.

                  (2)

여기서 $\bar E_t$와 $\bar H_t$은 전체 전자기장(total electromagnetic field)을 의미한다. 전체 전기장은 $\bar E_t = \bar E_0 + \bar E_s$, 전체 자기장은 $\bar H_t = \bar H_0 + \bar H_s$이다. 여기서 산란체에 의한 산란 전자기장(scattered electromagnetic field)은 $\bar E_s$와 $\bar H_s$이다. 매질 특성인 $\mu$와 $\epsilon$은 자유 공간 위치에서는 $\mu_0$와 $\epsilon_0$이며 산란체 내부에서는 물질 고유의 투자율과 유전율을 가진다. 체적 등가의 원리를 유도하기 위해 식 (2)에서 식 (1)을 빼서 다음 관계를 얻는다.

                  (3)

여기서 체적 등가의 원리로 인해 새롭게 정의된 등가 전류와 자류 밀도(equivalent electric and magnetic current densities)는 다음과 같다.

                  (4)

체적 등가의 원리로 유도한 최종 결과물인 식 (4)를 봐도 큰 감흥이 없을지 모르지만, 식 (4)는 식 (2)에서 진일보한 매우 중요한 변화를 포함하고 있다. 바로 산란체의 매질이 모두 자유 공간으로 바뀐 부분이다. 매질이 모두 자유 공간으로 바뀌면, 공간 상에 산란체는 없고 등가 전류 및 자류 밀도만 있게 된다. 이를 표현하는 모습이 [그림 1]에 있다. 왼쪽에 있는 산란체는 오른쪽에 있는 등가 전류 및 자류 밀도로 모두 바뀌게 된다. 이 관계를 이용하면 자기 및 전기 벡터 포텐셜(magnetic and electric vector potentials)을 다음처럼 표현할 수 있다.

                  (5)

여기서 $g(\bar r, \bar r'; k_0)$는 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function)를 뜻한다. 식 (5)를 보면 체적 등가의 원리의 위력을 알 수 있다. 산란체가 있으면 산란체 구조에 따라 그린 함수를 정의해야 한다. 이 과정은 매우 어려운 과정이다. 하지만 [그림 1]처럼 등가 전류 및 자류 밀도로 바꾸면 자유 공간이 되기 때문에 그린 함수는 예전에 정의한 자유 공간 그린 함수를 쓰면 된다. 이로 인해 전체적인 공식화가 매우 쉬워진다. 또한 식 (4)의 의미를 다시 음미하자. 첫째식은 분명 분극 전류 밀도(polarization current density)이다. 유전체에 대한 전기장 $\bar E$과 전속 밀도 $\bar D$의 구성 관계식(constitutional relation)부터 보자.

                                 (6)

식 (6)을 암페어의 법칙(Ampere's law)에 대입해보자.

                                 (7)

식 (7)에 등장하는 $\partial \bar P / \partial t$가 분극(polarization)이 만드는 분극 전류 밀도이다.

                                 (8)

어렵게 유도한 식 (4)의 첫째식과 분극 전류 밀도로 얻은 식 (8)은 동일하다. 이 관계로부터 우리가 유도한 식 (4)의 타당성을 재확인할 수 있다. 마찬가지로 자성체에 대한 자기장 $\bar H$과 자속 밀도 $\bar B$의 구성 관계식을 보자.

                         (9)

여기서 $\bar M$은 식 (1)에 있는 자류 밀도가 아니고 자화 밀도(magnetization density)이다. 식 (9)를 패러데이의 법칙에 넣어보자. 구별을 위해 자화 밀도를 $\bar M_m$이라 한다. 그러면 다음 관계를 얻는다.

                         (10)

따라서 자화(magnetization)에 의한 자류 밀도 $\bar M_s$는 다음과 같다.

                         (11)

분극 전류 밀도와 마찬가지로 자류 밀도 관계식도 식 (4)의 둘째식과 동일하다. 이상의 유도를 통해 유전체와 자성체를 등가화할 때 유용한 방법론이 체적 등가의 원리임을 알 수 있다.
유전체와 자성체를 등가 전류 및 자류 밀도로 생각한다는 개념은 정말 탁월하지만 이 정도에서 우리 사유를 멈출 수는 없다. 연구자는 만족을 모르는 절대 쾌락주의자가 되어야 한다. 끝까지 집요하게 진실을 추구해야 한다. 식 (5)를 다시 보면 한 가지 문제점을 찾을 수 있다. 등가 전류 및 자류 밀도는 독립 변수로 주어지지 않고 식 (4)처럼 종속적으로 표현되기 때문에 실제 식 (5)는 적분 방정식(integral equation)이 된다. 이 문제를 어떻게 처리할까? 사실 이 문제는 원래부터 적분 방정식이 되어야 한다. 표면에 대한 EFIE(electric field integral equation)와 MFIE(magnetic field integral equation)에서도 최종 결과는 표면 적분 방정식(surface integral equation)이었다. 다만 [그림 1]과 같은 문제는 표면뿐만 아니고 유전체와 자성체 내부까지도 문제 영역이므로 체적 적분 방정식(volume integral equation)이 최종 결과가 된다. 체적 등가의 원리를 이용해서 임의의 유전체와 자성체 구조를 풀 수 있는 새로운 체적 적분 방정식을 얻어보자[1]. 먼저 맥스웰 방정식을 이용하면 산란 전자기장이 만족해야 하는 편미분 방정식을 유도할 수 있다.

                         (12)

식 (12)는 훌륭한 파동 방정식이기는 하지만 해법을 찾기 어려우므로, 그린 함수로 표현한 식 (5)와 대칭적인 맥스웰 방정식(symmetric Maxwell's equations)을 사용하면 산란 전기장 $\bar E_s$를 다음처럼 표현할 수 있다.

                         (13)

식 (13)에 식 (5)를 넣어 정리하자.

        (14)

벡터 항등식(vector identity)을 이용하면 식 (14)에 있는 $\bar r$에 대한 미분을 $\bar r'$에 대한 미분으로 바꿀 수 있다.

        (15)

식 (15)의 마지막항에 대해 산란체보다 큰 영역을 정의한 후 체적 적분을 해보자. 산란체보다 체적을 크게 잡았기 때문에 식 (4)에 의해 표면에서 등가 전류 밀도는 0이 된다. 따라서 관측점이 산란체 외부에 있는 경우, 즉 원천점과 관측점이 같지 않은 경우는 이 항의 적분 결과가 0이 된다.[∵ $\bar r = \bar r'$라면 특이점이 되어서 이 점 근방의 체적 적분이 0이 아닐 수 있다.]

                         (16)

식 (16) 결과를 식 (14)에 넣어 정리하면 다음과 같다.

        (17)

식 (17)은 스트래튼–추 공식(Stratton–Chu formula)으로 유도한 표면에 대한 EFIE와 매우 유사하다. 다음에 식 (4)를 식 (17)에 넣어서 전체 전자기장에 대한 적분 방정식을 얻는다.

        (18)

여기서 $\mu = \mu_0 \mu_r$, $\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r$, 산란체 내부에는 자유 전하가 없다는 가정에 의해 $\bar \nabla' \cdot [\epsilon \bar E_t (\bar r')] = 0$이다. 식 (18)은 전체와 산란 전기장을 모두 포함하고 있고 전체 자기장도 있어서 보기 좋지 않고 풀기도 귀찮다. 그래서 $\bar E_s = \bar E_t - \bar E_0$ 및 식 (2)의 첫째식을 이용해 모든 장을 전체 전기장으로 바꿈으로써 우리가 얻기 원하는 전기장에 대한 체적 적분 방정식을 얻는다.

        (19)

여기서 전속 밀도의 발산이 0이므로 다음 관계가 성립한다.

                         (20)

일단 전체 전기장을 얻으면 식 (2)에 의해 산란체 내부와 외부에 대한 전체 자기장을 다음처럼 얻을 수 있다.

                         (21)

벡터 $\bar r$에 대한 미분을 직접 하면 식 (19)와는 조금 다른 공식화가 가능하다. 벡터 항등식을 식 (19)에 적용하면 다음과 같다.

        (22)

식 (4)를 식 (22)에 대입해 정리하면 새로운 전기장에 대한 체적 적분 방정식을 얻을 수 있다.

        (23)

여기서 $\bar \nabla' \bar \nabla'$는 다이애드(dyad)를 생성하는 다이애드 구배(dyadic gradient)이다.

[그림 2] 미소 체적소 $v_0'$에 대한 좌표계

관측점이 산란체 내부에 있는 경우, 즉 원천점과 관측점이 같아지는 경우[$\bar r = \bar r'$]는 체적 적분 방정식이 약간 더 복잡해진다. 관측점이 산란체 외부에 있는 경우[$\bar r \ne \bar r'$]의 체적 적분값이 0이라고 생각했던 식 (15)의 마지막 항부터 출발해보자. 체적 적분은 관측점 $\bar r$을 포함한다고 가정한다.[이로 인해 $\bar r - \bar r' = 0$인 경우가 생긴다.]

                         (24)

여기서 원천점 $\bar r'$ 근방에서 체적 적분하는 영역을 $v_0'$, $v_0'$의 닫힌 표면적을 $s_0'$라 한다.  식 (24)의 마지막 식에 벡터 항등식을 적용해 변형한다.

                         (25)

체적 $v_0'$가 한없이 작아지기 때문에 $s_0'$ 상에서 $\bar J_\text{eq}(\bar r')$는 상수가 된다. 이 조건을 이용하고 식 (25)를 식 (24)에 대입해서 정리한다.

                         (26)

                         (27)

따라서 식 (24)의 결과는 식 (27)과 같다. 체적 $v_0'$는 임의이기 때문에, 면적 적분이 편하도록 $\bar r$이 중심이고 반지름이 $R$[$= |\bar r - \bar r'|$]인 구로 잡는다. 반지름 $R$은 한없이 0으로 가서 $\bar r' \to \bar r$이 성립한다. 벡터 항등식을 사용하여 식 (27)을 적분한다.

                         (28)

여기서 $\hat R$ = $(\bar r - \bar r')/R$이며 $\hat n' = - \hat R$이다.[∵ 관측점 $\bar r$을 중심으로 두고 원천점 $\bar r'$에 대해 적분하기 때문에 표면을 뚫고 나가는 벡터 방향은 $\bar r' - \bar r$이다.] 그러면 관측점이 산란체 내부에 있는 경우, 식 (14)는 다음처럼 바뀐다.

        (29)

여기서 $v_0'$는 관측점을 포함하는 미소 체적소, $v' - v_0'$는 관측점 근방을 제외한 모든 산란체 내부를 뜻한다. 따라서 최종 전기장에 대한 체적 적분 방정식은 다음과 같다.

        (30)

마찬가지 방법으로 식 (22)를 관측점이 산란체 내부에 있는 경우로 변환한다.

        (31)

식 (30)과 동일한 결과이지만 다르게 표현한 전기장에 대한 체적 적분 방정식은 다음과 같다.

        (32)

식 (30)과 (32)는 VIE(volume integral equation) 기법의 출발점으로 사용할 수 있는 훌륭한 방정식이지만, 전기장에 대한 회전을 포함하고 있어서 계산상 특이점이 출현할 수도 있다. 따라서 VIE 기법에 적용하려면 전기장에 대한 회전을 다른 형태로 바꾸어야 한다. 이를 위해 벡터 표기법을 단순화하는 다이애드 그린 함수(dyadic Green's function)를 도입한다. 식 (31)의 첫째식을 관찰하면 다이애드 그린 함수를 다음처럼 정의할 수 있다.

                         (33)

다이애드 그린 함수는 대칭(symmetric)이므로 벡터와 다이애드의 내적에 대해 교환 법칙이 성립한다. 식 (31)의 둘째식은 다음처럼 다이애드 그린 함수의 회전으로 표현할 수 있다.

                         (34)

그러면 식 (31)은 다음처럼 매우 간단해진다.

                         (35)

식 (35)에 식 (4)를 넣고 다시 정리한다.

                         (36)

식 (36)의 둘째식에는 전기장의 회전이 존재하므로 체적 적분 방정식에 특이점을 만들 수 있다. 따라서 벡터 항등식을 이용하여 회전을 제거한 체적 적분 방정식을 만들어보자[3]. 식 (36)에 있는 둘째식의 회전을 제거하면 세 개의 적분[$I_1, I_2, I_3$]으로 분해된다.

                         (36)

적분 $I_1, I_2, I_3$을 각각 정리하면 다음과 같다.

                         (37)

                         (38)

                         (39)

여기서 식 (39)의 첫째식에 나오는 벡터 미분은 다음처럼 바꿀 수 있다.

                         (40)

간략화된 적분 $I_1, I_2, I_3$을 식 (36)에 넣으면, 관측점이 산란체 내부에 있는 경우에 대한 전기장 체적 적분 방정식을 다음처럼 얻을 수 있다.

                         (41)

[그림 3] 미소 면적소 $s_0'$에 대한 좌표계

만약 관측점이 산란체 표면에 있으면 식 (41)은 어떻게 바뀌어야 할까? 표면에 대한 적분은 식 (41)의 셋째식이며 적분 $I_1$과 관련있다. 산란체의 표면적 $s'$가 아니고 관측점 근방의 미소 면적소 $s_0'$에 대해서만 $I_1$을 계산한다.

        (42)

여기서 $\bar E_t$와 $\hat R$은 서로 수직이며, $s_0'$는 $\bar r$을 포함하는 원판이 아니고[∵ $\bar r$을 포함하면 $\bar r'$에 대한 표면 적분에 특이점이 생긴다.] [그림 3]처럼 $\bar r$을 중심으로 하는 반구 표면으로 택하고 $R$을 0으로 보내는 미소 면적소이다. 이상의 결과를 모두 종합하면, 관측점 위치별로 성립하는 전기장에 대한 체적 적분 방정식을 다음과 같이 유도할 수 있다[3].[참고문헌 [1]과 [3]에 있는 체적 적분 방정식에는 오타가 있다. 아래 있는 식 (43)이 맞는 식이다.]

                         (43)

맥스웰 방정식의 쌍대성(duality of Maxwell's equations)을 이용하면 자기장에 대한 체적 적분 방정식도 쉽게 얻을 수 있다. 쌍대성을 적용할 때 원칙은 전기 원천(electric source)과 자기 원천(magnetic source)을 구별하여 변환하기이다. 이 원칙을 가지고 식 (4)를 보면, $\bar E_t$는 전기 원천에 의한 전기장, $\bar H_t$는 자기 원천에 의한 자기장이다. 그래서 식 (43)에 있는 $\bar E_t$를 $\bar H_t$로 바꾸고 나머지 양은 전기와 자기를 서로 교환해주면 된다.

                         (44)

식 (12)에 대해 재미있는 착각을 하나 해보자. 우리가 전류와 자류 밀도를 모두 고려하고 있지만 귀찮다. 둘 중 하나로만 통일해보자. 식 (12)의 첫째식에서 자류 밀도가 전류 밀도에 포함된다고 가정하면 다음과 같다.

                         (45)

식 (45)에 식 (4)를 대입해 정리하면 전체 전류 및 자류 밀도를 자기장으로 표현할 수 있다.

                         (46)

마찬가지 과정을 거치면 전체 전류 및 자류 밀도를 전기장으로 쓸 수도 있다.

                         (47)

                         (48)


[참고문헌]
[1] J. L. Volakis and K. Sertel, Integral Equation Methods for Electromagnetics, Raleigh, NC, USA: SciTech Publishing, 2012.
[2] M. I. Sancer, K. Sertel, J. L. Volakis and P. Van Alstine, "On volume integral equations," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 54, no. 5, pp. 1488–1495, May 2006.
[3] J. L. Volakis, "Alternative field representations and integral equations for modeling inhomogeneous dielectrics," IEEE Trans. Microw. Theory Tech., vol. 40, no. 3, pp. 604–608, Mar. 1992.

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