2012년 1월 4일 수요일

스트래튼-추 공식(Stratton-Chu formula)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "스트래튼-추 공식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 대칭적인 맥스웰 방정식
2. 미분 방정식의 만병통치약: 그린 함수
3. 표면 등가의 원리
4. 프란츠 공식

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전자파 산란(electromagnetic scattering)에 많이 쓰이는 스트래튼-추 공식(Stratton-Chu formula)은 전자파 분야에 많은 기여를 한 스트래튼 교수(Julius Adams Stratton)와 추 교수(Lan Jen Chu)가 개발한 산란공식이다[1]. 유명한 추 교수는 소형 안테나(small antenna)의 기반이론인 추 한계(Chu limit)를 제안한 장본인이다. 스트래튼-추 공식은 엄밀하게는 프란츠 공식(Franz formula)[2]과 동일하지만 제안자가 워낙 유명하고 최종식에 복잡한 미분 연산이 적어 프란츠 공식보다는 많이 쓰인다. 하지만 연대순으로 보면 스트래튼-추 공식이 먼저 나오고 프란츠 공식이 나중에 나왔다. (대가가 그냥 되는 것이 아니다. 먼저 시작한 것이 많아야 대가다.)
스트래튼-추 공식의 쉬운 유도는 아래의 프란츠 공식부터 시작한다[3].

                        (1)

                        (2)

여기서 $\bar E ( \bar r)$와 $\bar H ( \bar r)$는 $s'$ 내부 전자장을 0으로 만드는 등가적인 전류와 자류 밀도가 만드는 전기장과 자기장이다. 우리가 생각하는 산란 영역이 자유 공간이면 다음과 같은 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function)를 쓰면 된다.

                         (3)

먼저 식 (1)을 간략화하기 위해 벡터 항등식(vector identity)을 이용해 다음을 얻자.

             (4)

식 (4)의 마지막식을 더 간단히 해보자.


                                                                                                       (5)

식 (1)처럼 식 (5)를 면적 적분하고 식 (5)의 마지막식에 발산 정리(divergence theorem)를 써보자.

                        (6)

식 (6)이 성립하려면 식 (1)의 면적 적분이 닫힌 적분이어야 한다. 그러면 최종적으로 전기장(electric field)에 대한 표현식을 얻는다.

              (7)

마찬가지로 자기장(magnetic field)에 대한 표현식도 다음처럼 얻을 수 있다.

           (8)

지금까지 유도한 식 (7)과 (8)이 전자파 산란의 핵심인 스트래튼-추 공식이다. 하지만 여기까지는 스트래튼-추 공식의 맛보기이고, 이 공식이 표현하는 세계는 더 깊고 넓다. 조금 더 가보자. 식 (7)과 (8)의 좌변에 있는 $\bar E ( \bar r)$와 $\bar H ( \bar r)$은 임의가 아니다. 식 (7)과 (8)에 사용한 그린 함수 $g(\bar r, \bar r')$가 복사 조건을 만족하기 때문에, 자연스럽게 $\bar E ( \bar r)$와 $\bar H ( \bar r)$는 중심 $s'$에서 외부로 복사되는 전자기장이 된다. 최종 결과인 $\bar E ( \bar r)$와 $\bar H ( \bar r)$가 복사 조건을 만족한다는 사실은 부수적인 것 같지만, 실제 문제에 적용할 때는 놓치면 안되는 매우 중요한 개념이다. 이를 이해하기 위해 [그림 1]과 같은 PEC(Perfect Electric Conductor, 완전 전기 도체) 산란체를 고려하자.

[그림 1] PEC 산란체

영역 (II)의 전자기장 $\bar E_2 ( \bar r)$와 $\bar H_2 ( \bar r)$를 다음과 같은 입사파(incident field)와 산란파(scattered field)의 합인 전체장(total field)으로 표시하자.

                        (9)

복사 조건을 만족하는 식 (7)과 (8)의 좌변 전자기장이 바로 산란장인 $\bar E_s ( \bar r)$와 $\bar H_s ( \bar r)$이다. 또한 식 (7)과 (8)의 표면 적분 내부에 있는 전자기장은 표면 전류 밀도와 표면 자류 밀도를 표기 위한 성분이므로, 산란장이 아닌 전체장으로 표현해야 한다. 산란체 표면은 PEC이므로 경계 조건에 의해 $\hat n \times \bar H_{\rm tot} = \bar J_s$, $\bar E_{\rm tot} \times \hat n = 0$이 성립한다. 이 결과를 식 (7)에 대입하면 산란 전기장은 다음과 같다.

                        (10)

식 (10) 유도에서 다음에 제시한 전하 보존 법칙(conservation of electric charge)을 사용했다.

                        (11)

PEC 표면에서 전체 전기장이 0이란 조건을 쓰면 표면 전류 밀도에 대한 적분 방정식을 얻을 수 있다.

          (12)

식 (11)은 전기장에 대한 경계 조건을 사용한 적분 방정식이므로 EFIE(Electric Field Integral Equation, 전기장 적분 방정식)라고 한다.
마찬가지 방법으로 산란 자기장은 다음처럼 표현된다.

                        (13)

자기장 경계 조건을 활용해 식 (12)와는 다른 MFIE(Magnetic Field Integral Equation, 자기장 적분 방정식)를 도출할 수 있다.

                        (14)

식 (12)와 (14)에 제시한 EFIE와 MFIE는 근사가 없는 정확한 적분 방정식이다. 하지만 임의 적분 방정식을 항상 풀 수는 없기 때문에 EFIE와 MFIE에 근사 조건을 적용해서 풀어야 한다. 통상적으로는 전류 밀도를 이산화하여 EFIE와 MFIE를 선형화한 MoM(모멘트 기법, Method of Moments)이 PEC 산란체 해석에 많이 사용된다.
여기서 드는 의문점 하나. 식 (7)과 (8)의 좌변과 우변은 모두 동일한 전자기장을 사용해 공식화했지만, 식 (10)과 (13)의 좌변과 우변에 사용한 전자기장은 서로 다르다. 즉 식 (10)과 (13)의 좌변은 산란장이지만, 우변은 전체장 기준이다. 어디서 차이가 생긴 것일까? 식 (7)과 (8)의 유도에서 원천은 중심 $s'$ 내부에 있다고 가정했다. 그래서 식 (7)과 (8)의 좌변과 우변은 동일한 전자기장을 사용할 수 있다. 하지만 식 (10)과 (13) 유도에서는 입사파가 PEC 표면에 전류 밀도를 유기했고, 이 전류 밀도가 전자기장을 만들었다. 그래서 표면 전류/자류 밀도를 만들기 위한 전자기장은 전체장이 되어야 한다. 또한 스트래튼-추 공식이 성립하기 위해서는 중심 $s'$ 내부의 전자기장이 0이 되어야 한다. ([그림 1]에서 영역 (I)이다.) 이 조건이 성립하는가? 성립한다. 영역 (I) 내부에 원천이 없고 영역 (I)을 둘러싸는 표면적에서 전기장이 항상 0이기 때문이다. 이 특성을 증명하기 위해 포인팅의 정리(Poynting's theorem)를 적용하여 영역 (I)에 있는 내부 전자기장 관계식을 다음처럼 만들어보자.

                      (15)

식 (15)에 의해 영역 (I)을 구성하는 유전율과 투자율의 허수부(손실부)가 약간이라도 있다면 내부 전기장과 자기장은 모든 체적에서 0이 된다.
추가적으로 맥스웰 방정식의 쌍대성(duality of Maxwell's equations)을 활용하면, PMC(Perfect Magnetic Conductor, 완전 자기 도체) 산란체를 위한 EFIE와 MFIE를 다음처럼 유도할 수 있다.

                        (16)

     (17)

[참고문헌]
[1] J. A. Stratton and L. J. Chu, "Diffraction theory of electromagnetic waves," Phys. Rev., vol. 56, no. 1, pp. 99-107, July 1939.
[2] W. Franz, "Zur formulierung des Huygensschen prinzips (For the formulation of Huygens' principle)," Zeitschrift Naturforschung Teil A (Journal of Natural Research Part A), vol. 3, pp. 500-506, 1948.
[3] C.-T. Tai, "Kirchhoff theory: scalar, vector, or dyadic?," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 20, no. 1, pp. 114-115, Jan. 1972.
[4] 이정석, 송태림, 두진경, 구태완, 육종관, "Stratton-Chu 공식을 이용한 측정된 근거리장에서 원거리장으로의 변환에 관한 연구", 한국전자파학회논문지, 제24권, 제3호, pp. 316-323, 2013년 3월.

댓글 4개 :

  1. 안녕하세요.
    반년 전부터 잊을만하면 한번씩 들어와서 많은 도움을 받고 돌아가는 지나가는 사람입니다. 제가 일반화학 내용을 바탕으로 무료 온라인 컨텐츠를 제작하려고 하는데 뭔가 이 블로그에 수학 관련 글쓰시는 방법(특히 각 포스트 간의 OOP 스러운 관계)이 제게 도움과 영감을 줍니다. 교수님이랑도 이 부분에 관해서 여러번 이야기를 나눴었는데 딱히 플랫폼부터 결론이 안나서 혹 좀 더 자세히 질문을 개인적으로 여쭈어 볼 수 있을까 해서 이렇게 댓글을 남깁니다. 근데 어떻게 연락을 드려야할지... 일단은 제가 이 페이지에 매일 들어와서 댓글을 확인하도록 하겠습니다. 댓글 기다리겠습니다. 수고하세요.

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  2. 큰 칭찬을 하시니 기분이 좋은데요. 감사합니다 ^^. 제 이메일은 iGhebook@gmail.com입니다. 이쪽으로 연락하시면 되지만 저는 온라인 콘텐츠는 잘 모르는 사람이라 도움이 될까요?

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    1. 안녕하세요, 전파거북이님-
      회사에서 RFI 관련 공부를 하면서 궁금한 것이 생길 때마다
      이 블로그를 통해서 많은 도움을 받는 선무당(?) 1인 입니다 ^^;;;

      Magnetic dipole (Loop current source) 에 의해서 H-field 가 생성되고,
      Electrical dipole (Voltage potential source) 에 의해서 E-field 가 생성된다고 이해하고 있습니다.
      그리고 H-, E- field 의 변화가 다시 E-, H-field 를 발생시킨다고 알고 있습니다.

      Near-Field 와 Far-Field 에 대한 구분이 좀처럼 잘 이해가 가지 않아서 질문드리는데요,
      H-field 와 E-field 각각에 대해서 Near-field, Far-field 를 시각화 한다면 어떤 모습이 될까요?

      그리고 Wave Impedance 와 연관지어 생각한다면,
      Magnetic dipole 에 의해서 생성되는 H-field 가 near-field 를 벗어나면서부터 E-field를 발생시키게 되고 그 E-field 가 다시 H-field 를 발생시키고 그 현상이 반복되면서 결국은 Far-field에서는 377ohm 의 임피던스를 가지고 방사하는 것 인가요?
      그렇다면 near-field 안에서는 H-field 만이 존재한다고 생각하면 되는건가요?
      (Electrical dipole 의 경우에도 그 반대로 생각하면 될까요?)

      모르는 것이 너무 많아서 질문드리는 것 자체가 죄송스러운 마음이 있습니다 ^^;;;;;
      모두 답변 주시는 것이 번거로우실 수도 있을 것 같아, 위와 관련된 참고할 만한 글이 있다면 소개해주시면 정독하고 이해해보겠습니다-!

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    2. 1. 전기 다이폴이든 자기 다이폴이든 전기장과 자기장을 동시에 발생시킵니다. 다만, 전기 다이폴인 경우는 근역장(near-field)에서 전기장이 매우 크고, 자기 다이폴 경우는 자기장이 큽니다. 나머지 전기장이나 자기장이 0이 되는 것은 아닙니다.
      전기 다이폴의 복사 특성은 아래에서 볼 수 있습니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2012/04/smallest-antenna-hertzian-dipole.html

      2. 근역장은 원천이 존재하기 때문에 매우 복잡한 특성을 가집니다. 그래서, 근역장에서는 전기 혹은 자기 다이폴의 특성으로 유추해 생각하는게 쉽습니다.
      원역장(far-field)에서는 평면파를 상상하면 됩니다.

      3. 파동 임피던스(wave impedance)는 진행 방향에 수직인 전기장과 자기장의 비율일 뿐입니다. 근역장에서는 파동 임피던스가 복잡하게 변하다가 원역장으로 가면 377 옴에 근접합니다.
      자기 다이폴이라 해서 자기장만 있다가 이게 전기장을 만들지 않습니다. ^^

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