2012년 1월 4일 수요일

스트래튼-추 공식(Stratton-Chu formula)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "스트래튼-추 공식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 대칭적인 맥스웰 방정식
2. 미분방정식의 만병통치약: 그린 함수
3. 표면등가의 원리
4. 프란츠 공식

[확인] 본 페이지는 exp(-iωt) 시간약속을 사용하고 있습니다.


전자파 산란(electromagnetic scattering)에 많이 쓰이는 스트래튼-추 공식(Stratton-Chu formula)은 전자파 분야에 많은 기여를 한 스트래튼 교수(Julius Adams Stratton)와 추 교수(Lan Jen Chu)가 개발한 산란공식이다[1]. 유명한 추 교수는 소형안테나(small antenna)의 기반이론인 추 한계(Chu limit)를 제안한 장본인이다.
스트래튼-추 공식은 엄밀하게는 프란츠 공식(Franz formula)[2]과 동일하지만 제안자가 워낙 유명하고 최종식도 단순해서 프란츠 공식보다는 많이 쓰인다. 물론 스트래튼-추 공식이 먼저 나오고 프란츠 공식이 나중에 나왔다. (대가가 그냥 되는 것이 아니다. 먼저 시작한 것이 많아야 대가다.)
스트래튼-추 공식의 쉬운 유도는 아래의 프란츠 공식부터 시작한다[3].

                        (1)

                        (2)

우리가 생각하는 산란영역이 자유공간이면 다음과 같은 3차원 자유공간 그린 함수(3D free-space Green's function)를 쓰면 된다.

                         (3)

먼저 식 (1)을 간략화하기 위해 벡터 항등식(vector identity)을 이용해 다음을 얻자.

             (4)

식 (4)의 마지막식을 더 간단히 해보자.


                                                                                                       (5)

식 (1)처럼 식 (5)를 면적적분하고 식 (5)의 마지막식에 발산 정리(divergence theorem)를 써보자.

                        (6)

식 (6)이 성립하려면 식 (1)의 면적적분이 닫힌 적분이어야 한다. 그러면 최종적으로 전기장(electric field)에 대한 표현식을 얻는다.

              (7)

마찬가지로 자기장(magnetic field)에 대한 표현식도 다음처럼 얻을 수 있다.

              (8)

위에서 유도한 식 (7)과 (8)이 스트래튼-추 공식이다.

[참고문헌]
[1] J. A. Stratton and L. J. Chu, "Diffraction theory of electromagnetic waves," Phys. Rev., vol. 56, no. 1, pp. 99-107, July 1939.
[2] W. Franz, "Zur formulierung des Huygensschen prinzips (For the formulation of Huygens' principle)," Zeitschrift Naturforschung Teil A (Journal of Natural Research Part A), vol. 3, pp. 500-506, 1948.
[3] C.-T. Tai, "Kirchhoff theory: scalar, vector, or dyadic?," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 20, no. 1, pp. 114-115, Jan. 1972.
[4] 이정석, 송태림, 두진경, 구태완, 육종관, "Stratton-Chu 공식을 이용한 측정된 근거리장에서 원거리장으로의 변환에 관한 연구", 한국전자파학회논문지, 제24권, 제3호, pp.316-323, 2013년 3월.
Enhanced by Zemanta

댓글 4개 :

  1. 안녕하세요.
    반년 전부터 잊을만하면 한번씩 들어와서 많은 도움을 받고 돌아가는 지나가는 사람입니다. 제가 일반화학 내용을 바탕으로 무료 온라인 컨텐츠를 제작하려고 하는데 뭔가 이 블로그에 수학 관련 글쓰시는 방법(특히 각 포스트 간의 OOP 스러운 관계)이 제게 도움과 영감을 줍니다. 교수님이랑도 이 부분에 관해서 여러번 이야기를 나눴었는데 딱히 플랫폼부터 결론이 안나서 혹 좀 더 자세히 질문을 개인적으로 여쭈어 볼 수 있을까 해서 이렇게 댓글을 남깁니다. 근데 어떻게 연락을 드려야할지... 일단은 제가 이 페이지에 매일 들어와서 댓글을 확인하도록 하겠습니다. 댓글 기다리겠습니다. 수고하세요.

    답글삭제
  2. 큰 칭찬을 하시니 기분이 좋은데요. 감사합니다 ^^. 제 이메일은 iGhebook@gmail.com입니다. 이쪽으로 연락하시면 되지만 저는 온라인 콘텐츠는 잘 모르는 사람이라 도움이 될까요?

    답글삭제
    답글
    1. 안녕하세요, 전파거북이님-
      회사에서 RFI 관련 공부를 하면서 궁금한 것이 생길 때마다
      이 블로그를 통해서 많은 도움을 받는 선무당(?) 1인 입니다 ^^;;;

      Magnetic dipole (Loop current source) 에 의해서 H-field 가 생성되고,
      Electrical dipole (Voltage potential source) 에 의해서 E-field 가 생성된다고 이해하고 있습니다.
      그리고 H-, E- field 의 변화가 다시 E-, H-field 를 발생시킨다고 알고 있습니다.

      Near-Field 와 Far-Field 에 대한 구분이 좀처럼 잘 이해가 가지 않아서 질문드리는데요,
      H-field 와 E-field 각각에 대해서 Near-field, Far-field 를 시각화 한다면 어떤 모습이 될까요?

      그리고 Wave Impedance 와 연관지어 생각한다면,
      Magnetic dipole 에 의해서 생성되는 H-field 가 near-field 를 벗어나면서부터 E-field를 발생시키게 되고 그 E-field 가 다시 H-field 를 발생시키고 그 현상이 반복되면서 결국은 Far-field에서는 377ohm 의 임피던스를 가지고 방사하는 것 인가요?
      그렇다면 near-field 안에서는 H-field 만이 존재한다고 생각하면 되는건가요?
      (Electrical dipole 의 경우에도 그 반대로 생각하면 될까요?)

      모르는 것이 너무 많아서 질문드리는 것 자체가 죄송스러운 마음이 있습니다 ^^;;;;;
      모두 답변 주시는 것이 번거로우실 수도 있을 것 같아, 위와 관련된 참고할 만한 글이 있다면 소개해주시면 정독하고 이해해보겠습니다-!

      삭제
    2. 1. 전기 다이폴이든 자기 다이폴이든 전기장과 자기장을 동시에 발생시킵니다. 다만, 전기 다이폴인 경우는 근역장(near-field)에서 전기장이 매우 크고, 자기 다이폴 경우는 자기장이 큽니다. 나머지 전기장이나 자기장이 0이 되는 것은 아닙니다.
      전기 다이폴의 복사 특성은 아래에서 볼 수 있습니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2012/04/smallest-antenna-hertzian-dipole.html

      2. 근역장은 원천이 존재하기 때문에 매우 복잡한 특성을 가집니다. 그래서, 근역장에서는 전기 혹은 자기 다이폴의 특성으로 유추해 생각하는게 쉽습니다.
      원역장(far-field)에서는 평면파를 상상하면 됩니다.

      3. 파동 임피던스(wave impedance)는 진행 방향에 수직인 전기장과 자기장의 비율일 뿐입니다. 근역장에서는 파동 임피던스가 복잡하게 변하다가 원역장으로 가면 377 옴에 근접합니다.
      자기 다이폴이라 해서 자기장만 있다가 이게 전기장을 만들지 않습니다. ^^

      삭제

욕설이나 스팸글은 삭제될 수 있습니다. [전파거북이]는 선플운동의 아름다운 인터넷을 지지합니다.