프란츠 공식(Franz formula)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "프란츠 공식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 대칭적인 맥스웰 방정식
2. 미분 방정식의 만병통치약: 그린 함수
3. 표면 등가의 원리

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전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)을 벡터 포텐셜(vector potential) 관점으로 유도하면 다음을 얻는다.

                          (1)

                          (2)

벡터 포텐셜을 만드는 원천이 없는 경우 식 (1)과 (2)는 식 (3)의 라플라시안(Laplacian)을 이용해서 다음처럼 표현할 수도 있다.

                         (3)

                          (4)

                          (5)

식 (4)와 (5)에 있는 벡터 포텐셜을 그린 함수(Green's function)로 표현하면 다음과 같다.

                          (6)

여기서 $\bar J$는 전류 밀도(electric current density), $\bar M$은 자류 밀도(magnetic current density), $G_A$와 $G_F$는 벡터 포텐셜에 대한 그린 함수이다. 식 (6)에 있는 전류 밀도와 자류 밀도를 표현하기 위해 표면 등가의 원리(surface equivalence principle)를 사용한다.

[그림 1] 산란체와 가상 표면

[그림 1]과 같은 산란 전자장이 있는 경우 임의의 표면([그림 1]의 파란원)에 표면 전류 밀도와 표면 자류 밀도가 있다고 [그림 2]처럼 가정할 수 있다.

[그림 2] 영(零)의 전자기장 가정

이때 표면 전류 밀도 $\bar J_s$와 표면 자류 밀도 $\bar M_s$는 아래 식처럼 유도된다.

                        (7)

식 (7)을 식 (6)에 대입하고 식 (6)을 다시 식 (4)와 (5)에 대입하면 최종적인 프란츠 공식(Franz formula)을 얻는다[1], [2]. 참 쉽죠?

                        (8)

                        (9)

우리가 생각하는 영역이 [그림 2]의 영역 (II)와 같은 자유 공간이면 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function)를 쓰면 된다. 물론 영역 (I)은 전자기장이 0이라는 조건을 부여해야 한다.

이상의 설명을 보고 "참 쉽죠?"를  연발한 아래 화가가 생각 안나면 전자파 산란 이론을 상당히 이해한 것이다.

[그림 3] "그림을 그립시다(The Joy of Painting)"의 밥 로스(Bob Ross)(출처: wikipedia.org)

[참고문헌]
[1] W. Franz, "Zur formulierung des Huygensschen prinzips (For the formulation of Huygens' principle)," Zeitschrift Naturforschung Teil A (Journal of Natural Research Part A), vol. 3, pp. 500-506, 1948.
[2] C.-T. Tai, "Kirchhoff theory: scalar, vector, or dyadic?," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 20, no. 1, pp. 114-115, Jan. 1972.

[다음 읽을거리]
1. 스트래튼-추 공식