2013년 4월 6일 토요일

포물선의 방정식(equation of a parabola)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "포물선의 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 원의 방정식


포물선(抛物線, parabola)은 물건을 하늘로 던질 때 중력(gravity)과 속도(velocity)가 만드는 물체의 궤적이다. [그림 1]은 분수가 물을 하늘로 쏠 때 나타나는 포물선 형태를 보여준다.


[그림 1] 분수가 만드는 포물선(출처: wikipedia.org)

[그림 2] 포물선의 기하학적 정의(출처: wikipedia.org)

포물선은 기하학적으로 [그림 2]처럼 정의한다. 초점(focus) $F = (0, f)$에서 점 $P_i = (x_i, y_i)$까지 거리가 점 $P_i$에서 준선(準線, directrix) $L$($y = -f$)까지 거리와 같은 점을 모두 모으면 포물선이 된다. 이를 방정식으로 표현하면 다음과 같다. 

                       (1)

여기서 $(x, y)$는 포물선 위의 점이며 $f$(= $1/(4a)$)는 포물선의 초점이다.

[그림 3] 원뿔로 만드는 포물선(출처: wikipedia.org)

[그림 3]에 소개한 초보적인 기하학을 이용해 포물선을 정의할 수 있다. 이 방법은 아폴로니우스(Apollonius)에 의해 제안되었다. 먼저 [그림 3]에서 원뿔(cone)의 꼭지점을 $A$라 하자. 다음에 원뿔을 잘라 두 개의 원(짙은 파란색)을 만들자. 첫번째 원은 선분 $\overline{PK}$를 지름($2r$)으로 가진다. 두번째 원은 선분 $\overline{BC}$가 지름이다.
원뿔 바깥선과 평행하게 선분 $\overline{PM} = y$을 그어 선분 $\overline{MC} = 2r$이 되게 하자. 선분 $\overline{PM}$은 원뿔 바깥선과 평행이므로 $\angle PBM = \angle PMB$가 성립하여 $\triangle PBM$은 이등변 삼각형이 된다. 선분 $\overline{PM}$이 원뿔 기준선(점 $A$에서 두번째 원에 내린 수직선)과 이루는 각도를 $\theta$라 하면 $\overline{BM} = 2 y \sin \theta$가 된다.
또한 선분 $\overline{DE} = 2x$는 반지름이 $r$인 원에 접하므로 이 원에 수직이며, 탈레스의 정리(Thales' theorem)에 의해 $\angle BEC$도 수직이다. 따라서 다음이 성립한다.

                       (2)

식 (1)을 고려하면 포물선의 초점은 $f = r \sin \theta$가 된다.

[그림 4] 새로운 준선을 가진 포물선(출처: wikipedia.org)

관점을 좀 바꾸어보면 [그림 2]의 준선은 [그림 4]처럼 바꿀 수 있다. [그림 4]의 준선 $L$은 초점 $F = (0, f)$의 아래가 아닌 초점 위에 있다. 예를 들어 준선 $L$이 $y = g$($g > 0$)에 있다고 하자. 초점에서 준선까지 가는 거리가 항상 일정하다면 포물선의 방정식은 다음처럼 주어진다.

                       (3)

여기서 $f > 0$, $y < g$이다. 준선이 양의 $y$축에 있더라도 포물선의 방정식은 식 (1)과 동일하게 얻어진다. 또한 $g$가 0보다 크기만 하면 $g$에 관계없이 초점과 준선 사이의 거리는 항상 동일하다.
별 것 아닌 [그림 4]의 개념이 현존하는 반사판 안테나(reflector antenna)나 조명 기구의 기본적인 원리가 된다.

[그림 5] 포물형 반사판 안테나(출처: wikimedia.org)

[그림 6] 태양열 조리기(출처: wikipedia.org)

[그림 7] 자동차의 전조등(출처: wikipedia.org)

[그림 5]-[그림 7]은 포물선의 원리를 적용한 여러 제품을 보여준다. [그림 5]는 포물형 반사판 안테나(parabolic reflector antenna)이다. 급전부(feed)는 포물선의 초점에 있다. 급전부에서 나온 전자파는 포물형 금속 반사판에서 반사되어 준선 방향에 수직인 방향으로 전달된다. 이게 고이득 안테나를 만드는 일반 원리가 된다.
[그림 6]은 태양열 조리기(solar cooker)의 예를 보여준다. 태양빛이 포물형 거울 반사판에서 반사되어 초점에 집속된다. 초점에 조리기를 두면 태양열이 강하게 집속되어 요리가 가능하다. [그림 7]은 자동차의 전조등(headlight)이다. 초점 위치에 광원을 두고 포물형 거울 반사판에 쏘면 대부분의 빛이 전방으로 강하게 전달된다.

[그림 8] 포물선의 반사 원리(출처: wikipedia.org)

그러면 [그림 5]-[그림 7]의 제품 원리를 포물선으로 어떻게 설명할 수 있을까? 이걸 하려면 [그림 8]에 제시한 포물면의 반사 특성을 계산해야 한다. 준선에 수직인 방향으로 광선이 들어온다고 가정하자. 이 광선과 포물면이 이루는 각도는 $\alpha$이다. 또한 [그림 2]와 같이 음의 $y$축에 있는 준선 위의 점을 $C$라 하자. 그러면 포물선의 정의에 의해 삼각형 $\triangle ECF$는 이등변 삼각형이다. (∵ 초점에서 포물선 점 $(x, y)$의 거리와 포물선 점 $(x, y)$과 준선까지 거리는 항상 같다.) 선분 $\overline{FC}$와 $\overline{EB}$가 수직인 것을 증명하기 위해 식 (1)에 있는 포물선의 방정식을 이용하자.

                       (4)

여기서 $\bar T$는 접선의 기울기이다. 삼각형 $\triangle ECF$는 이등변 삼각형이면서 선분 $\overline{EB}$는 선분 $\overline{FC}$에 수직하므로 $\angle FEB = \angle CEB$가 된다. 즉, 준선에 수직인 방향으로 들어온 광선은 입사각과 동일한 각도로 반사되어 초점으로 들어간다. 이것은 빛에 대한 초보적인 금속면 반사 법칙과 동일하다. 그래서, 포물형 반사판에 반사된 빛은 초점에 모두 모인다.

[그림 9] 유한한 포물선의 모양

포물선이 복잡하기는 하지만 [그림 9]의 $D, d$를 알면 쉽게 포물선 상수 $a$ 혹은 초점 $f$를 결정할 수 있다.

                       (5)

식 (5)는 지름 $D$, 깊이 $d$를 가진 유한한 포물선을 측정하여 포물선 상수 $a$와 초점 $f$를 결정하기 위한 가장 쉬운 방법이다. 예를 들어 [그림 9]와 같은 포물선은 다음 식처럼 표현된다.

                       (6)

식 (6)으로부터 $x = D/2$이면 당연히 $y = d$가 나온다. 만약 포물선이 놓여있는 지름 위치($x = (-D/2, D/2)$)가 $y = 0$이 된다면 포물선의 방정식은 다음처럼 바뀐다.

                       (7)

식 (7)에서 $x = \pm D/2$이면 $y = 0$이 된다.
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댓글 2개 :

  1. 답글
    1. 감사까지야 -.-;; 고등학교 수준 정도의 내용을 정리한 것 뿐입니다. ^^

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