2022년 8월 3일 수요일

물리 광학(物理光學, PO: Physical Optics)

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물리 광학(物理光學, physical optics, PO) 혹은 PO는 고전적 기하 광학(geometrical optics)빛이 편광(偏光, polarization)을 가진 파동이란 개념을 더해서 전자파의 산란(散亂, scattering)을 더 정확하게 계산하는 방법이다. 계산의 정밀도 관점으로 보면, 기하 광학 $<$ 물리 광학 $<$ 맥스웰 방정식(Maxwell's equations) 순이다. 완전 정확한 맥스웰 방정식의 해법이 있는 현시점에 근사가 심한 기하 광학이나 물리 광학이 필요할까? 현업에서는 기하 광학과 물리 광학의 존재 가치가 크다. 작은 문제에 대해 우리가 원하는 수준까지 정확하게 맥스웰 방정식을 풀 수 있지만, 모든 문제를 맥스웰 방정식에 대입해서 해결할 수는 없다. 대개 파장에 비해 매우 큰 산란체는 맥스웰 방정식으로 해결할 수 없는 경우가 대부분이다. 왜냐하면 구조물을 이산화할 때 생기는 미지수는 3차원 부피 문제에서 $n^3$ 비율로 커지기 때문이다. 여기서 $n$은 한 축당[$x, y, z$중 하나] 이산화에 사용하는 기저(basis)의 개수이다. 경험 법칙(rule of thumb) 관점에서 산란체의 축당 이산화 개수는 대략 $n$ $\approx$ $D / (\lambda/10)$이다. 여기서 $D$는 산란체의 크기, $\lambda$는 매질속의 파장이다. 또한 미지수로 연립 방정식(simultaneous equations)을 구성해서 풀 때 필요한 행렬의 차원(dimension)은 보통 $n^3 \times n^3$이다. 그러면 행렬을 저장하기 위한 공간만 $n^6$이 필요하다. 축당 기저 개수 $n$이 작을 때는 느끼기 어렵지만, 구조물이 파장보다 매우 커지면 저장 공간과 계산 시간이 기하 급수적으로 커진다. 예를 들어, 산란체의 길이 $D$가 $10 \lambda$라면, $n$ = $100$이 되어서 저장 공간은 $10^{12}$개가 필요하다. 계산에 배정밀도 부동 소수점 형식(double-precision floating-point format)을 선택한다면, 공간 하나당 8바이트(byte)가 필요해서 최종 저장 공간은 행렬 하나에 8 TB가 된다. 3차원 부피가 아닌 2차원 표면만 고려하면, 저장 공간은 $n^2 \cdot n^2$ = $n^4$이라서 최종 8 MB만 필요하다. 하지만 $D$ = $100 \lambda$이면, 저장 공간은 다시 8 TB로 확 늘어난다. 따라서 구조물이 매우 큰 경우에는 맥스웰 방정식을 직접 풀기가 불가능해서 기하 광학이나 물리 광학의 적용이 필수적이다.

[그림 1] 구조물에 의해 산란되는 전자기장

고전적(classical) 물리 광학은 파동 개념을 쓰기 때문에 기하 광학보다는 물리에 더 가까운 광 이론이란 개념으로 쓰였다. 하지만 현재는 맥스웰 방정식이란 정답이 있으므로 기존보다  적용 범위를 더 좁혀서, 양자 역학(quantum mechanics)에 쓰는 보른 근사(Born approximation)[1] 혹은 전자파를 위한 키르히호프 근사(Kirchhoff approximation)를 사용하여 산란파를 대충 계산하는 방식을 물리 광학 혹은 PO라 부른다. 보른 근사는 양자 상태(quantum state)를 나타내는 파동 함수(wave function)의 산란파 $U_s$를 정확히 계산하지 않고 입사파 $U_i$와 산란파의 합인 전체파 $U_\text{tot}$를 입사파로 대충 근사화하는 방식이다.[$U_\text{tot}$ = $U_i + U_s$ $\approx$ $U_i$] 보른 근사와 비슷하게, 전자파 산란이 일어나는 경우에 키르히호프 근사는 산란파의 접선 및 법선 성분을 입사파로 바꾸어서 계산한다. 키르히호프 근사를 위해 선택하는 산란파와 입사파의 경계 조건은 키르히호프 경계 조건(Kirchhoff boundary condition)이라 부른다. 대부분의 물리 광학 문제는 완전 자기 도체(Perfect Electric Conductor, PEC) 상에 유기되는 표면 전류 밀도 $\bar J_s(\bar r)$을 입사 자기장 $\bar H_i(\bar r)$로 근사한다. 즉, PEC에서 키르히호프 경계 조건은 $\hat n \times \bar H_s(\bar r)$ $\approx$ $\hat n \times \bar H_i(\bar r)$이다. 보른 근사 혹은 키르히호프 근사처럼 물리 광학은 연립 방정식을 풀지 않기 때문에 파동의 산란 현상을 매우 빠르게 예측하지만 약간 오차가 있다[2], [3]. 물리 광학의 밑바탕을 이해하기 위해, [그림 1]과 같은 상황에서 PEC에 의해 생기는 산란 자기장 $\bar H_s(\bar r)$을 정확하게 기술한다.

                   (1)

                   (2)

                   (3)

여기서 $s'$는 모든 PEC 표면적, $\hat n$은 PEC 표면에 수직인 단위 벡터, 자기 벡터 포텐셜 $\bar A(\bar r)$에 대한 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function)는 $G_A(\bar r, \bar r'; k)$ = $e^{i k R} \mathbin{/} (4 \pi R)$, $k$ = $\omega \sqrt{\mu \epsilon}$, $R$ = $|\bar r - \bar r'|$, $\bar r - \bar r'$ = $R \hat R$이다. 원래 $\bar J_s(\bar r)$는 입사와 산란 자기장에 의해 생기지만, 키르히호프 근사에 따라 산란 자기장은 거의 입사 자기장과 같은 $\bar H_s(\bar r)$ $\approx$ $\bar H_i(\bar r)$이라고 가정한다. 이는 기하 광학의 광선이 산란 없이 직선으로 입사하여 PEC에 만드는 전류 밀도와 동일해서 기하 광학 전류 밀도(GO electric current density) $\bar J_\text{GO}(\bar r)$이라고 부른다. 

                   (4)

여기서 $2\bar H_i(\bar r)$ $\approx$ $\bar H_i(\bar r) + \bar H_s(\bar r)$이다. 식 (4)를 식 (3)에 대입해서 다시 정리한다.

             (5)

여기서 $\partial / \partial n'$ = $\hat n' \cdot \bar \nabla'$이다. 빛이 조사되어 물리 광학에 기여하는 PEC 표면 $a_i'$은 $\hat s \cdot \hat n' < 0$ 조건으로 선택한다.[단위 계단 함수로 쓰면 $u(-\hat s \cdot \hat n')$] 여기서 $\hat s$는 전자파의 전력 전달 방향을 나타내는 포인팅 단위 벡터(Poynting unit vector)이다. 근사적으로 유도한 식 (5)조차 복잡하므로, $|\bar r| \gg |\bar r'|$인 원역장 조건(far-field condition)을 써서 더욱 간략화한다.

                   (6)

여기서 $\bar r$ = $(r, \theta, \phi)$, $\bar \nabla$ = $i \bar k$ = $ik \hat r$, $\eta$는 매질의 고유 임피던스(intrinsic impedance)이다. 그린 함수 $G_A(\bar r, \bar r'; k)$에도 원역장 근사를 적용한다.

                  (7)

여기서 $\psi (\bar r')$은 광선이 PEC 위치 $\bar r'$에 도달할 때 생기는 원점 대비 위상 차이이다.

[그림 2] 삼각화를 이용한 그물망 생성(출처: wikipedia.org)

[그림 3] 제$m$번 삼각형의 구조

[그림 2]처럼 산란체를 삼각화하여 표면 적분을 유한 합으로 근사함으로써 식 (7)의 마지막식을 더 간단하게 나타낸다.

                   (8)

여기서 $M$은 물체를 구성하는 그물눈(mesh)의 개수, $u(\cdot)$는 단위 계단 함수(unit step function), $\bar c_m$과 $\Delta a_m$ 각각은 [그림 3]에 있는 제$m$번 그물눈을 구성하는 삼각형의 무게 중심(barycenter)과 면적, $\hat n$은 이 삼각형 면적의 단위 벡터, 삼각형의 면적 벡터는 $\Delta \bar a_m$ = $\Delta a_m \hat n$이다. [그림 2]에 보인 삼각화(三角化, triangulation)는 구조체를 형상화하기 위한 그물망 생성(mesh generation)의 대표적인 방법이다. 물리 광학 계산이 정밀도를 유지하려면, 경험적으로 [그림 3]에 그린 삼각형의 한 변 길이가 $\lambda/10$보다 작아야 한다. [그림 3]에서 제$m$번 삼각형의 무게 중심 $\bar c_m$과 면적 $\Delta a_m$은 좌표계 기반 벡터(vector)로 쉽게 구할 수 있다.

                   (9)

또한 함수 $u(\hat r \cdot \hat n)$은 표면적의 바깥 방향인 $\hat n$ 성분을 가지고 $\hat r$방향으로 전파하는 자기장만 물리 광학의 산란에 기여한다는 뜻이다. 다만 전자파에 조사된 표면적을 선택하는 $u(-\hat s \cdot \hat n')$ 조건과 헷갈리면 안된다. 단위 벡터 $\hat s$는 입사파가 들어오는 방향, $\hat r$은 산란파가 진행하는 방향이다. 즉, 표면적 $\Delta a_m$에 들어오고 나가는 전자파의 방향이 다르기 때문에, $u(-\hat s \cdot \hat n')$과 $u(\hat r \cdot \hat n)$처럼 부호를 바꾸어서 선택한다. 만약 $\bar r$이 $\bar r'$보다 아주 크지 않고 $\bar r'$의 영향을 고려해야 한다면, 식 (8)의 $\bar H_s(\bar r)$과 $\Delta \bar P_m(\bar r)$은 다음처럼 바뀐다.

                   (10)

여기서 $\hat R$은 $\bar r - \bar r'$의 단위 벡터이다.

[그림 4] 산란체를 표면 전류 및 자류 밀도로 등가화

PEC라고 생각한 산란체가 임의의 매질로 일반화된다면, $\mu$와 $\epsilon$이 마음대로 변해도 반사를 계산하는 프레넬 방정식(Fresnel equation)이 필요하다. 키르히호프 근사와 [그림 4]에 소개한 표면 등가의 원리(surface equivalence principle)에 따라 기하 광학 전류 밀도 $\bar J_\text{GO}(\bar r)$과 자류 밀도 $\bar M_\text{GO}(\bar r)$를 근사화한다. 입사파가 표면에 거의 수직하게 들어오면, $\bar J_\text{GO}(\bar r)$과 $\bar M_\text{GO}(\bar r)$은 매우 간단하게 구해진다.

                   (11)

여기서 표면에 대한 입사각은 $\theta_i \approx 0$, $r_p$와 $r_s$는 각각 P편광[혹은 평행 편파, TM파] 및 S편광[혹은 직각 편파, TE파]반사 계수(reflection coefficient)이다. PEC 경우에 $\epsilon_\text{in} \to \infty$로 가서 $r_p$ = $1$, $r_s$ = $-1$이므로, 식 (11)은 식 (4)에 수렴한다. 따라서 전기 원천 $\bar J_\text{GO}(\bar r)$과 자기 원천 $\bar M_\text{GO}(\bar r)$이 만드는 전자기장은 식 (8)과 비슷하게 표현된다.

                   (12)

                   (13)

                   (14)

여기서 $\epsilon_\text{in}$은 산란체 내부의 유전율, $G_F(\bar r, \bar r'; k)$ = $G_A(\bar r, \bar r'; k)$, $(\mathsf{e})$와 $(\mathsf{m})$은 각각 전기와 자기 원천을 의미한다. 맥스웰 방정식의 쌍대성(duality)을 적용해서 식 (12)를 식 (13)으로 손쉽게 바꿀 수도 있다. 최종적으로 임의 매질에 의해 산란되는 전자기장은 다음과 같다.

                   (15)

물리 광학이 좋은 근사이기는 하지만, 기본적으로 기하 광학과 같은 근축 근사(paraxial approximation)이다. 그래서 반사면에 수직이어서 반사가 많이 일어나는 방향에서는 물리 광학이 잘 맞지만, 반사면에 평행하거나 반대편으로 생기는 산란이나 회절(回折, diffraction)은 물리 광학으로 예측할 수 없다. 수직 입사(normal incidence)에서 많이 벗어나는 경우는 광선 고정 좌표계(ray-fixed coordinate system)를 써서 식 (11)을 더 정확하게 공식화한다.

                   (16)

여기서 $\hat e_\parallel^i$와 $\hat e_\perp$는 입사 평면(plane of incidence)에 평행 및 수직이고 입사 광선(incident ray)에는 수직인 단위 벡터, $\hat e_\parallel^r$은 반사 평면(plane of reflection)에 평행하면서 반사 광선(reflection ray)에는 수직이다.

[참고문헌]
[1] M. Born, "Quantenmechanik der Stoßvorgänge (Quantum mechanics of collision processes)," Zeitschrift für Physik (Magazine for Physics), vol. 38, pp. 803–827, Nov. 1926.
[2] K. M. Siegel, H. A. Alperin, R. R. Bonkowski, J. W. Crispin, A. L. Maffett, C. E. Schensted, and I. V. Schensted, "Bistatic radar cross sections of surfaces of revolution, J. Appl. Phys., vol. 26, no. 3, 297–305, Mar. 1955.
[3] R. G. Kouyoumjian, "Asymptotic high-frequency methods," Proc. IEEE, vol. 53, no. 8, pp. 864–876, Aug. 1965.
[4] I. Gupta and W. Burnside, "A physical optics correction for backscattering from curved surfaces," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 35, no. 5, pp. 553–561, May 1987.
[5] R. Cicchetti and A. Faraone, "Analysis of open-ended circular waveguides using physical optics and incomplete Hankel functions formulation," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 55, no. 6, pp. 1887–1892, Jun. 2007.
[6] X. F. Li, Y. J. Xie, P. Wang and T. M. Yang, "High-frequency method for scattering from electrically large conductive targets in half-space," IEEE Antennas Wirel. Propag. Lett., vol. 6, pp. 259–262, 2007.
[7] 석성하, 물리 광학 방법을 이용한 레이더 단면적 예측에 관한 연구 (Estimation of Radar Cross Section Using Physical Optics), POSTECH 석사 학위 논문, 1997.
[8] A. W. Glisson, "Electromagnetic scattering by arbitrarily shaped surfaces with impedance boundary conditions," Radio Sci., vol. 27, no. 06, pp. 935–943, Nov.–Dec. 1992.
[9] 신호근, 박용배, "물리광학법과 물리광학 회절이론을 이용한 레이다 단면적 해석 기법", 한국전자파학회지 전자파기술, 제28권, 제6호, pp. 34–39, 2017년 11월.

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