조금은 느리게 살자: 반복적 물리 광학(反復物理光學, IPO: Iterative Physical Optics)

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물리 광학(物理光學, physical optics, PO) 혹은 PO가 다루지 못하는 다중 반사(multiple reflection)를 어느 정도 정확하게 계산하기 위해 제안된 기법은 반복적 물리 광학(反復物理光學, iterative physical optics, IPO)[1] 혹은 IPO이다. 물리 광학은 전자파가 조사된 PEC 표면만 고려해서 산란을 계산하므로, 다중 반사가 일어나는 상황에서는 오차가 심해진다. 반면에 반복적 물리 광학은 물리 광학으로 계산을 시작하지만, 각 표면이 가진 전류 밀도로 산란장을 만들어서 다시 기존의 전류 밀도를 갱신하는 방식으로 전류 밀도의 오차를 줄여나간다. 이 과정은 사용자가 원하는 만큼 반복할 수 있어서 반복적 물리 광학으로 부른다.

반복적 물리 광학의 공식화는 스트래튼–추 공식(Stratton–Chu Formula)으로 만든 MFIE(자기장 적분 방정식, Magnetic Field Integral Equation)부터 출발한다.

(1)

여기서 $g(\bar r, \bar r')$는 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function) $g(\bar r, \bar r'; k)$와 동일하다. 식 (1)에서 $\bar r$ = $\bar r'$인 경우가 있으므로, 식 (1)에 나온 표면 적분은 $\bar r$ = $\bar r'$에서 [그림 1]과 같은 특이점을 항상 가지고 있다.

[그림 1] 미소 면적소 $s_0'$에 대한 좌표계

따라서 식 (1)을 제대로 계산하려면, 특이점이 있는 미소 면적소 $s_0'$의 포함 여부에 따라 적분을 분리해서 연산해야 한다.

(2)

면적 $s' - s_0'$에는 $\bar r$ = $\bar r'$인 특이점이 없어서 기존 적분 방식을 쓰면 된다. 수학적으로 고민되는 부분은 [그림 1]에서 $R \to 0$으로 가는 미소 면적소 $s_0'$에 대한 적분이다. 이 적분을 위해 $\bar J_s(\bar r)$을 접선 자기장 $\bar H_t (\bar r)$로 분해한 후 벡터 삼중적(vector triple product)을 적용해서 정리한다.

(3a)

(3b)

여기서 $\bar r - \bar r'$ = $R \hat R$, $R \to 0$, $\hat n'$과 $\bar \nabla' g(\bar r, \bar r')$은 항상 수직이다. 식 (3)을 식 (2)에 대입해서 $\bar J_s (\bar r)$에 대해 정리하면, PEC에 사용되는 반복적 물리 광학을 위한 표현식이 얻어진다.

(4)

그린 함수 $g (\bar r, \bar r')$의 구배(gradient)를 구하기 위해, 구의 중심을 $\bar r'$으로 선택해서 편미분한다.

(5a)

(5b)

전류 밀도 $\bar J_s (\bar r)$이 반복될 수 있도록 식 (4)를 바꾼다[1].

(6)

여기서 $m$ = $0, 1, 2, \cdots$, $\bar J_0 (\bar r)$ = $2 \hat n \times \bar H_i(\bar r)$이다. 물리 광학 혹은 PO처럼 구조물을 삼각화(三角化, triangulation)한 후에, 식 (6)에 따라 반복적 물리 광학 혹은 IPO를 적용하는 순서는 다음과 같다.

모든 삼각형의 전류 밀도를 $0$으로 만든다.
전자파에 조사된 삼각형의 전류 밀도는 $\bar J_0 (\bar r)$ = $2 \hat n \times \bar H_i(\bar r)$로 초기화한다.
크기가 $0$이 아닌 전류 밀도 $\bar J_m (\bar r)$에 식 (6)의 우변을 적분해서 $\bar J_{m+1} (\bar r)$을 얻는다. 다만 $\bar r'$에서 $\bar r$로 가는 광선은 가려짐 없이 $\bar r$이 가르키는 삼각형을 조사해야 한다.
원하는 정밀도가 나올 때까지 $\bar J_{m+1} (\bar r)$ 계산을 반복한다.

IPO는 역행렬을 계산하는 과정 없이 반복으로만 답을 구하기 때문에, 복잡한 구조물의 산란 문제를 탐구할 때에 적절한 기법이다. 하지만 구조물의 크기가 매우 커져서 더해지는 항이 많아지면, 행렬의 반복법(iterative method of matrix)에서 경험한 현상처럼 $\bar J_{m+1} (\bar r)$이 발산하는 문제가 필연적으로 생긴다.

임피던스 경계 조건(impedance boundary condition)을 써서 IPO의 적용 범위를 더 다양한 매질로 확대할 수 있다[3], [4]. IPO 공식화는 임피던스 경계 조건에 대한 MFIE(자기장 적분 방정식, Magnetic Field Integral Equation)에서 시작한다.

(7)

여기서 임피던스 경계면의 등가 자류 밀도는 $\bar M_s(\bar r')$ = $Z_s \bar J_s(\bar r') \times \hat n'$이다. 식 (7)에 식 (3b), (5b)를 적용해서 적분 방정식을 풀 수 있는 형태로 바꾼다. 다만 미분 연산자 $\bar M_s(\bar r') \cdot \bar \nabla'$은 공식화가 쉬운 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)에서 풀어서 정리한다.

(8a)

(8b)

(9)

여기서 $g$ = $g(\bar r, \bar r')$, $\bar M_s$ = $\bar M_s(\bar r')$ = $M_x \hat x + M_y \hat y + M_z \hat z$이다. 식 (8b)에 나온 그린 함수의 2번 미분 $\partial^2 g(\bar r, \bar r')/ \partial R^2$은 다음과 같이 계산된다.

(10)

점 $\bar r$ = $\bar r'$ 근방 혹은 $s_0'$ 표면에서, 식 (9)의 둘째줄과 셋째줄에 있는 $Z_s$가 곱해진 표면 적분은 식 (3)과 다르게 $0$으로 간다. 왜냐하면 $R \to 0$일 때, $g(\bar r, \bar r')$의 크기는 $\partial g(\bar r, \bar r') \mathbin{/} \partial R$보다 천천히 발산하고, $\bar M_s(\bar r')$ 혹은 $\bar J_s(\bar r') \times \hat n'$의 발산은 전류 및 자류 밀도가 표면에만 있어서 $0$이 되기 때문이다. 식 (6)과 비슷하게 식 (9)를 IPO를 위한 재귀 방정식으로 변환한다[4].

(11)