2011년 1월 30일 일요일

삼각 함수의 합차 공식(合差公式, angle sum and difference identities)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "삼각 함수의 합차 공식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 삼각 함수


삼각 함수의 합차 공식은 이과반 고등학생들을 괴롭히는 매우 복잡한 공식일 것이다. 이것을 굳이 배우는 이유는 삼각 함수를 미분하기 위해서이다. 먼저 삼각 함수의 합차 공식을 외울 수 있는 쉬운 방법을 생각해 보자. 아래 오일러의 공식(Euler's formula)을 이용하면 삼각 함수 합차 공식을 잊지 않고 계속 기억할 수 있다.

                         (1)

식 (1)의 오일러 공식을 이용하면 아래식이 얻어진다.

                       (2)

식 (2)의 실수부와 허수부를 각각 비교하면 아래의 삼각 함수 합차 공식을 쉽게 암기할 수 있다.

                       (3)

여기서 조심할 것이 있다. 식 (2)는 삼각 함수 합차 공식의 증명이 아니다. 쉽게 외우기 위한 수단일 뿐이다. 오일러 공식을 증명할 때 삼각 함수의 미분을 썼고 삼각 함수의 미분은 삼각 함수 합차 공식을 필요로 하기 때문에 식 (2)를 이용해 식 (3)을 증명하는 것은 동어 반복인 것이다. 따라서 식 (3)의 증명은 다음처럼 해야 한다.

[증명: 기하학]
[그림 1] 합차 공식 증명을 위한 사각형

삼각 함수 정의를 활용하면 [그림 1]을 통해 합차 공식을 쉽게 증명할 수 있다. [그림 1]에 표시한 길이를 $x$축과 $y$축 관점으로 합하면 아래식을 얻는다.

                       (4)
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[증명: 벡터 내적]
2차원 벡터의 내적(內積, inner product)을 이용해서도 합차 공식을 쉽게 증명할 수 있다[1]. 임의의 2차원 벡터를 $\bar a, \bar b$라 하자.

                          (5)

식 (5)를 이용해서 내적을 계산하면 아래식을 얻는다.

                       (6)
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삼각 함수의 합차 공식이 증명되었으면 삼각 함수의 미분을 구할 수 있게 된다.

[사인 함수의 미분]

                          (7)

[증명]

                          (8)

여기서 식 (18)에 의해 $1-\cos h = 2 \sin^2 (h/2)$.
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[코사인 함수의 미분]

                          (9)

[증명]
식 (7)에서 $x \to x + \pi /2$를 하면 식 (9)가 증명된다.
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식 (8)의 증명에서 조심할 것이 하나있다. 함수 $\sin h/h$의 극한이 1이라는 것은 어떻게 알 수 있나? 사실 라디안(radian)을 사용하는 이유가 이것 때문이다.

[$\sin h/h$의 극한]

                          (10)

[증명]

                        (11)

여기서 원의 반지름 $r = 1$이라 단순화했다. 또한 라디안 정의는 아래와 같다.

                        (12)

여기서 $l$은 호의 길이(arc length), $r$은 반지름(radius), $\theta$는 라디안으로 정의한 각도이다. 정성적으로 식 (11)을 이해하기는 쉽다. 식 (11)이 뜻하는 것은 $x = 1$ 근방으로 계속 접근하면 호 길이는 접선 길이와 일치한다는 것이다. (or 돋보기로  $x = 1$ 근방을 계속 확대한다고 가정해보라. 그러면 호는 직선으로 보이며 결국은 접선과 같아진다.) 이를 더 구체적으로 알아보기 위해 각도($\theta$)가 0으로 가는 지점의 접선 방정식을 구해보자.

                          (13)

즉 $\theta = 0$ 근방에서는 $y$축에 평행한 선이 접선이며 호의 길이 $l$은 $y$와 동일하게 변하게 된다. 이 개념을 수학적으로 더 다듬어 보자. $\theta = 0$($y = 0$ or $x = 1$) 근방의 호 길이를 의미하는 길이 미분소(length differential) $ds$(선적분(line integral)에 쓰는 바로 그 $ds$)는 식 (13)을 이용하여 아래와 같이 유도한다. 먼저 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 이용하면 2차원 평면에 있는 선분의 길이는 다음과 같은 차분($\Delta s$)으로 근사 가능하다. 차분 $\Delta s$에 극한(limit)을 취하면 다음과 같은 미분 결과를 얻을 수 있다.

                       (14)

여기서 $t$는 2차원 평면의 선분 궤적 $(x, y)$을 표현하는 매개변수(parameter)이며 $x, y$는 서로 직교하므로 $t$에서 $t + \Delta t$로 변할 때 얻어지는 선분 길이($\Delta s$)는 피타고라스 정리로 구할 수 있다. 그러면 원의 특성을 이용해 다음을 유도할 수 있다.

                       (15)

여기서 $(x,y)$는 단위원 상에 있으므로 $x^2 + y^2 = 1$이 성립한다. 또한, 식 (15)에서 $x = 1$이라 두면 $ds = dy$가 되므로 식 (11)이 증명된다. 혹은 $\theta = 0$ 근방에서는 호의 길이를 식 (15) 처럼 직선으로 간주할 수 있으므로 아래 관계를 통해 증명할 수도 있다.

                       (16)

여기서 $l$은 $(x, y)$와 (1, 0)와의 직선거리로 정의했으며 $(x, y)$는 반지름이 1인 원 위에 있는 점이다.
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정석대로 해석학의 도움을 받으면 조임 정리(squeeze theorem)를 이용해 식 (10)을 쉽게 증명할 수도 있다. 하지만 우리 목표는 아주 초보적인 개념을 이용해 수학 기초를 이해하는 것이므로 의도적으로 조임 정리를 사용하지 않았다. 이런 의문도 가져볼 만 하다. 식 (10) 증명을 왜 이렇게 어렵게 할까? 테일러 급수로피탈의 정리(L'Hopital's rule)를 쓰면 쉽지 않을까? 다시 말하지만 우리는 삼각 함수의 미분을 하고 있다. 테일러 급수와 로피탈의 정리는 삼각 함수 미분을 포함하고 있으므로 식 (10)의 증명에 사용할 수 없다.
식 (3)과 변수 치환을 이용하면 삼각 함수의 다양한 공식을 아래와 같이 유도할 수 있다.

             (17)

   (18)

             (19)

                       (20)

[참고문헌]
[1] 평범한 학생의 공부방, "삼각함수의 합차공식에 대한 증명", 2010.

[다음 읽을거리]
1. 로그 함수의 기원

댓글 19개 :

  1. 질문있습니다
    (14) 식에서 이해가 잘 안되는데 직관적으로는 물론 잘 이해가 되지만
    ds=√(dx²+dy²)라는 것도 엄밀하게 증명해야하지 않나요?

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    답글
    1. 예, 맞습니다. ^^
      선적분에 있는 $ds$ 개념으로 증명했기 때문에 본문을 좀 수정했습니다.

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    2. 전파거북이님
      사실 차분이라는 방법이 저에게는 아직까지 신뢰할 수 있는 방법이 아닙니다.
      아직 차분에 대한 정확한 정의를 잘 모르겠는데 저의 생각대로 한번 논리를 전개해 보도록 하겠습니다.
      일단 미적분 교과서에 나오는 정의대로 해보면
      dy=y'dx가 성립한다고 가정하고 dy, dx 각각을 미분소라고 정의를 합니다.
      이 정의대로 하자면 ds=√((dx)^2+(dy)^2)가 성립하기 위해서 임의의 매개변수 t에 대해서 ds/dt=√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)가 성립해야 하는데 이 식이 어떻게 유도되는지 잘 모르겠네요. (만약 이 정의가 맞다면 이 관계가 성립함을 보여주세요)
      또 차분에 대한 정의.. 잘은 모르겠지만 제 생각대로 써보면
      어떤 미소한 단위의 dx와 dy가 일정하게 작아질 때마다
      dy와 f(dx)의 차이가 0으로 근사될 수 있다면 (저는 f(dx)라는 표기법은 한번도 보지 못했습니다만 어떤 관계를 그냥 f로 두겠습니다) dy=f(dx)로 쓸 수 있습니다.
      그리고 이 정의대로라면 ds=√((dx)^2+(dy)^2)가 성립한다는 사실을 어느정도 인정하겠습니다. (완전히 증명하지는 않은 상태니까요)
      하지만 이 정의대로 했을때 모순이 생기는 경우가 있는 것 같습니다.
      dx는 항상 0으로 수렴을 하는데 이것을 이용해서 (제 생각에는) dx=2dx라고도 쓸 수 있게 됩니다. 왜냐하면 둘 다 0으로 근사하기 때문입니다. 또는 dx와 2dx와의 차이를 0으로 근사시킬 수 있기 때문입니다.
      이 논리가 성립하지 않는다고 생각을 하게되면 ds=√((dx)^2+(dy)^2)도 자연히 성립할 수 없을거라 생각합니다. (왜냐하면 ds와 √((dx)^2+(dy)^2)는 항상 ds>√((dx)^2+(dy)^2) 관계가 성립하게 됩기 때문입니다. (직선이 아니라고 가정할때의 이야기입니다.) 이것은 2dx>dx와 마찬가지입니다.) 이 논리가 성립한다고 하면 차분의 개념은 수학적으로 잘 정의되지 않은 것이 됩니다.
      차분의 정의를 정확히 정의해 주시거나 제 논리에서 정확하지 않은 부분을 짚어주셨으면 합니다. 또는 위에 있는 미분소의 정의가 맞다면 좀더 정밀한 증명을 부탁드립니다.
      굉장히 저에게는 고민되는 문제입니다.

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    3. 본문을 수정했으니 다시 한 번 봐주세요. ^^
      기본적으로는 선적분 정의를 따르고 있기 때문에 선적분 부분을 한 번 보시면 이해에 더 도움이 될 것입니다.

      위 댓글에서 말씀한 내용 중에서 예를 든 $dx$는 미분(differential)입니다. 이걸 0으로 생각하면 안됩니다. 0으로 가는 극한이지 0은 아니기 때문입니다.

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    4. 아 이해가 조금 되는것 같네요
      지금은 머리가 약간 아프니 내일 다시 한번 봐야겠습니다
      감사합니다.

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    5. 이제 ds=√((dx)^2+(dy)^2) 식은 받아드릴 수 있을거 같아요 감사드립니다
      좀더 깊이 이해하려면 좀더 많이 봐야 할거 같네요.
      그런데 아직 이해가 안되는게 있는데 (물론 억지주장같지만 어디가 아닌건지 잘 모르겠어요)
      위 댓글에서 제가 dx=2dx가 될 수 있다는 말은 dx가 0이라는 주장이 아니었습니다.
      제 생각은 dx와 2dx 모두가 0으로 근사하는데 2dx와 dx 둘의 차이 또한 0으로 가는 극한이기 때문에 dx=2dx라고 해도 모순이 없는것이 아닌가 하는 이야기입니다.
      번거롭게 죄송합니다.

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    6. 말씀하신 모순은 적분을 해보면 압니다. $\int_0^1 dx = 1$, $\int_0^1 2dx = 2$.
      아래 적분법 내용 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/integration.html

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  2. 식 15에서 dx^2=(ydy/x)^2 과 어떻게 루트 안에 식이 dy/x가 되는지 설명해주시면 감사하겠습니다.

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    1. 제곱근 안을 보면 $(dy/x)^2 \cdot (x^2 + y^2) = (dy/x)^2$가 됩니다. 여기서 $(x, y)$는 원이므로 $x^2 + y^2 = 1$입니다.

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    2. 답변 감사합니다.

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  3. limit x to 0, sin(x)/x의 증명의 경우, 교과서나 다른 책들에 보면 squeeze theorem을 이용해서 시각적인 이해와 함께 내용을 풀어나가는데 본문 내용처럼 설명하신 이유가 있는지 궁금합니다. 솔직히 말씀드리면 본문의 증명 내용이 명확하게 와닿지는 않아서요.

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    1. Peter Ross님, 조언 감사합니다.
      조임 정리를 쓰지 않고 직관적으로 보려고 다른 설명을 제시한 것입니다. ^^
      조임 정리에 대한 부분도 본문에 추가했습니다.

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  4. 식 (8)번을 이해하는데 매우 힘들었습니다. 식 (8)에서 중간에 sinX와 cosX로 묶어서 식을 정리한 다음에 sinX로 묶여진 항들을 로피탈 정리를 이용해서 0이 되는것을 보여주고 이때 로피탈 정리를 이용할때 lim h->0 cosh/h 식의 미분도 필요하게 되는데 cosh의 미분은 아직 증명되지 않은 부분이여서 이해하는게 힘들었습니다. http://blog.naver.com/mondvopel/220302229851 제가 (8)식을 이해하기위해 참고한 주소인데...이곳을 참고하셔서 좀더 자세히 설명해주시면 이해하는데 큰 도움이 될것 같습니다.

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    1. 미분 공식을 증명하고 있는 중이므로, 원칙적으로는 로피탈의 정리를 쓰면 안됩니다. 그래서 식 (10)의 증명이 매우 중요합니다. 조임 정리로 이걸 증명할 수 있지만, 본문에서는 기하학적 접근을 소개했습니다.

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  5. 네.. 제가 밑에글은 아직 이해를 못하고 있어서 완벽히 이해하고 다시 생각해 보겠습니다. 친절한 답변 감사합니다 ^^;

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  6. 중요한건 아닌것 같은데.. 수식 14번에 y+Δy가 맞나요?? y+Δt 가 아닐까라는 생각이 들어서요.... 지금 이해하는중인데 헷갈리네요..

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    1. 애고, 틀렸네요. ^^ 지적 정말 감사해요, Woonghee님.
      빠른 시일 내에 수정하겠습니다.

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