무한 급수의 대수(Algebra of Infinite Series)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "무한 급수의 대수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 무한 급수

2. 절대 수렴과 균등 수렴

함수를 정의하기 위해 사용하는 무한 급수(無限級數, infinite series)의 특성을 분석하려면 절대 수렴(absolute convergence), 조건 수렴(conditional convergence), 균등 수렴(uniform convergence) 등의 개념을 이해해야 한다. 실 함수(real function) 혹은 복소 함수(complex function)를 쉽게 다룰려고 무한 급수를 사용하기 때문에, 수렴 종류별로 무한 급수를 구성하는 항에 어떤 연산을 적용할 수 있는지 확인해야 한다. 또한 무한 급수는 우리 상식이 통하는 유한 급수와 매우 달라서 교환 법칙(commutative law), 결합 법칙(associative law), 분배 법칙(distributive law)이 성립하는지 면밀히 확인해야 한다[1]. 수렴하는 무한 급수가 만족하는 대수적 성질을 요약하면 다음과 같다.

• 교환 법칙: 절대 수렴 무한 급수는 항별 교환 법칙이 성립한다. 조건 수렴 무한 급수에 항별 교환을 적용하면 무한대를 포함한 어떤 실수도 생성할 수 있다.
• 결합 법칙: 수렴하는 무한 급수는 항별 결합 법칙이 성립한다. 이 경우 결합 법칙을 의미하는 괄호를 생략할 수 있다.
• 분배 법칙: 두 무한 급수 중 하나는 절대 수렴해야 분배 법칙이 성립해서 항별 곱의 무한 합이 수렴한다.
• 함수의 연속성: 항이 연속 함수인 균등 수렴 무한 급수는 연속이다.
• 함수의 미분: 항의 미분이 연속이고 항별 미분이 균등 수렴하는 무한 급수는 항별 미분할 수 있다.
• 함수의 미분: 항이 연속 함수인 균등 수렴 무한 급수는 항별 적분할 수 있다.

   1. 기본(basics)   

[무한 급수의 항별 결합 법칙]
수렴하는 무한 급수에 항별 결합 법칙을 적용한 무한 급수는 원래 무한 급수와 같은 값으로 수렴한다.

                  (1.1)

여기서 $\{b_k\}$는 $a_n$의 순서를 바꾸지 않고 $\{a_n\}$에 여러 번 덧셈의 결합 법칙을 적용해 생성한 수열이다.

[증명]
결합 법칙을 표현하기 위해 $0$과 자연수로 구성한 수열 $\{n_k\}$를 정의한다. 항을 임의로 결합하기 위해 수열 $\{n_k\}$는 $k$에 대해 임의로 증가한다. 여기서 $k$ = $1,2,\cdots$, $n_k$는 $n_k<n_{k+1}$이 성립하는 $0$ 혹은 자연수이다. 수열 $\{n_k\}$에 따라 $\{a_n\}$에 덧셈의 결합 법칙을 적용해 만든 $b_k$는 다음과 같다.

                  (1.2)

여기서 $b_1$은 $a_0$부터 $a_{n_1}$까지 더한다. 예를 들어 $\{n_k\}$ = $\{2,4,8,\cdots \}$로 정의하면 $b_k$를 다음처럼 생성할 수 있다.

                  (1.3)

식 (1.2)를 적용해 $b_k$로 만든 무한 급수의 부분 합을 계산하면 다음과 같다.

                  (1.4)

부분 합 $B_K$는 $a_n$으로 만든 무한 급수의 부분 합 $A_{n_K}$과 연결된다. 따라서 $K$가 커질 때, $A_{n_K}$가 수렴하므로 $B_K$도 수렴한다.
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식 (1.1)에 의해 수렴하는 무한 급수는 결합 법칙을 어떻게 적용하더라도 동일한 수렴값을 가진다. 즉 수렴하는 무한 급수는 결합 법칙을 표현하기 위해 사용하는 괄호를 없애더라도 문제가 없다. 또한 무한 급수의 항별 결합 법칙을 이용하면, 양수인 항이나 음수인 항을 한꺼번에 결합해서 계산하더라도 무한 급수의 수렴값은 동일함을 알 수 있다. 다시 말해 항별 결합 법칙에 의해 지속적으로 가끔씩 항의 부호가 변하는 무한 급수를 교대 급수(alternating series)로 안전하게 바꿀 수 있다. 다만 이 무한 급수가 수렴해야 식 (1.1)을 적용할 수 있다. 예를 들어 아래처럼 수렴하지 않는 무한 급수에 항별 결합 법칙을 적용하면, 원래 무한 급수와 같은 값으로 수렴하지 않는다.

                  (1.5)

식 (1.5)는 결합 법칙 관점으로 봐도 재미있다. 식 (1.5)에서 결합 법칙을 써서 계산한 항은 $(1-1)$ = $0$이 되기 때문에 수렴한다. 하지만 결합 법칙을 없앤 혹은 괄호를 없앤 원래 급수는 수렴하지 않는다. 따라서 무한 급수에서 괄호를 제거할 때는 다음과 같은 조건이 필요하다.

[괄호 없는 무한 급수 표현]
항별 결합 법칙을 적용해서 수렴하는 무한 급수를 표현한 괄호 안에 있는 항의 부호가 동일할 경우는 괄호를 없앨 수 있다.

                  (1.6)

여기서 괄호는 결합 법칙을 의미하며 $b_k$는 식 (1.2)로 정의한다.

[증명]
식 (1.6)의 좌변 부분 합은 식 (1.4)처럼 $B_K$로 정의한다. 마찬가지로 괄호를 제거한 식 (1.6)의 우변 부분 합은 $A_N$이다. 조건에 따라 $n_{k-1}\le N\le n_k$라면 이 범위에서는 항의 부호가 모두 같다. 따라서 식 (1.4)를 이용해 다음 부등식을 만들 수 있다.

                  (1.7)

여기서 $n_k$는 결합 법칙을 위해 사용하는 식 (1.2)의 $n_k$와 동일하다. 조건에 의해 $B_K$는 $B$로 수렴하기 때문에, 식 (1.7)을 적용하면 $A_N$도 $B$에 수렴한다.
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[무한 급수의 합과 차]
수렴하는 급수의 합과 차는 항별로 더하거나 뺄 수 있다.

                  (1.8)

[증명]
식 (1.8)에 있는 두 무한 급수는 수렴하기 때문에, 매우 큰 자연수 $N$에 대해 아래 관계가 성립한다.

                  (1.9)

여기서 $A_N,B_N$은 무한 급수의 부분 합, $A,B$는 무한 급수의 수렴값, $ϵ/2$은 부분 합과 수렴값의 차이 중에서 큰 값으로 선택한다. 부분 합의 합이나 차는 유한 급수이므로 항을 다시 재배치해서 새로운 부분 합을 다음처럼 쓸 수 있다.

                  (1.10)

새로운 부분 합은 식 (1.9)에 의해 수렴하므로 항별로 더하거나 뺄 수 있다.
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   2. 절대 수렴하는 무한 급수의 대수   

[음이 아닌 항을 가진 무한 급수의 항별 교환 법칙]
음이 아닌 항을 가진 수렴하는 무한 급수에 항별 교환 법칙을 적용한 무한 급수는 원래 무한 급수와 같은 값으로 수렴한다.

                  (2.1)

여기서 $n_k$는 0과 자연수 중에서 임의로 뽑은 겹치지 않는 $k$번째 숫자, $k$ = $1,2,\cdots$이다.

[증명]
식 (2.1)에 있는 무한 급수의 부분 합을 다음처럼 정의한다.

                  (2.2)

또한 모든 $n_k$ 중에서 최대값을 $N_{\text{max}}$라 한다. 그러면 이 무한 급수의 항은 음이 아니며 수렴하므로, $B_K\le A_{N_{\text{max}}}$가 된다. 항 $|a_n|$으로 만든 무한 급수의 수렴값을 $A$라 하면, $B_K\le A$도 성립한다. 다음으로 $K$를 증가시켜본다. 비교 판정(comparison test)에 의해 항별 교환 법칙을 적용한 무한 급수는 수렴하며, $B\le A$를 만족한다. 여기서 $B$는 $|a_{n_k}|$로 만든 무한 급수의 수렴값이다. 또한 $n_k$를 중심으로 보면, $|a_n|$은 $|a_{n_k}|$를 항별 교환한 무한 급수의 항으로 볼 수 있다. 그래서 $A\le B$도 성립해야 한다. 이 두 결과를 종합하면 $B$ = $A$가 된다.
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[절대 수렴 무한 급수의 항별 교환 법칙]
절대 수렴하는 무한 급수에 항별 교환 법칙을 적용한 무한 급수는 원래 무한 급수와 같은 값으로 수렴한다.

                  (2.3)

[증명]
식 (2.1)과는 다르게 식 (2.3)의 항은 음수도 될 수 있다. 절대값을 취한 $|a_n|$으로 만든 무한 급수의 항은 음이 아니므로, 이 무한 급수에 식 (2.1)과 같은 항별 교환 법칙을 적용할 수 있다. 따라서 식 (2.3)의 좌변을 양수와 음수인 항을 가진 무한 급수로 다음처럼 나눌 수 있다.

                  (2.4)

여기서 $p_n$은 $a_n$ 중에서 양수인 항, $q_n$은 음수인 항이다. 그러면 식 (2.4)의 수렴값은 $A$ = $P-Q$가 된다. 식 (2.3)의 우변도 양수와 음수인 항으로 나누어 수렴값을 구하면, $B$ = $P-Q$가 된다. 여기서 $B$는 식 (2.3)의 우변 수렴값이다. 따라서 $A$ = $B$가 반드시 성립한다.
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항별 교환 법칙이 성립하는 조건이 절대 수렴임은 매우 중요하다. 단순한 숫자라면 당연히 교환해서 계산하더라도 결과가 동일하다. 하지만 우리 사고의 범위를 유한에서 무한으로 확장하면 우리의 직관을 벗어나는 받아들이기 어려운 결과가 나온다. 이 경우에는 우리의 중심이 직관이 아닌 논리에 있어야 한다. 교환 가능성(commutability)의 중요성을 이해하기 위해 다음과 같은 교대 조화 급수(alternating harmonic series)를 생각한다.

                          (2.5)

교대 조화 급수는 당연히 수렴하지만, 절대 수렴이 아닌 조건 수렴을 한다. 그래서 항별 교환을 통해 양수를 앞으로 계속 보내면 수렴값을 한없이 키울 수 있다. 따라서 조건 수렴하는 무한 급수의 교환 혹은 재정렬을 할 때는 많은 고민이 필요하다. 이 고민의 결과가 식 (3.16)에 제시한 리만 급수 정리(Riemann series theorem) 혹은 리만 재정렬 정리(Riemann rearrangement theorem)이다.

[코쉬 곱(Cauchy product)에 대한 메르텐스의 정리(Mertens' theorem)]
수렴하는 두 무한 급수 중에서 적어도 한 급수가 절대 수렴하면, 항별로 곱해서 더한 이중 무한 급수는 두 무한 급수에 대한 개별 수렴값의 곱으로 수렴한다. 

                  (2.6)

여기서 $a_n$을 가진 무한 급수가 절대 수렴한다고 가정한다.

[증명]
식 (2.6)에 제시한 무한 급수가 수렴함을 보이기 위해, 부분 합 관점으로 식 (2.6)의 첫째식과 셋째식의 차이 $D_N$을 구한다.

             (2.7)

여기서 식 (2.6)의 첫째식에 있는 부분 합을 모두 포함하도록 식 (2.6)의 셋째식에 있는 $n$은 $0$에서 $2N$까지 변한다. 항 $b_n$을 가진 무한 급수는 수렴하기 때문에 매우 큰 $N$에 대해 다음 부등식이 성립한다.

                  (2.8)

식 (2.8)을 식 (2.7)에 적용해서 $D_N$의 크기를 보면 다음과 같다.

                  (2.9)

여기서 $a_n$을 가진 무한 급수는 절대 수렴하기 때문에 다음 관계가 성립한다.

                  (2.10)

식 (2.9)에 의해 두 무한 급수의 곱은 항별로 곱한 이중 무한 급수의 수렴값과 같다.
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[그림 2.1] 대각선 따라 모으기 혹은 코쉬 곱(출처: wikipedia.org)

식 (2.6)의 셋째식은 무한 급수를 $a_0{b}_0$, $a_0{b}_1$, $a_1{b}_0$, $a_0{b}_2$ 등의 순서로 더함을 뜻한다. 혹은 대각선을 따라 급수의 합 구하기 혹은 대각선 따라 모으기(summation through diagonal) 볼 수도 있다. 대각선 순서를 따라 두 급수 곱의 합을  계산하는 방식은 코쉬 곱(Cauchy product)이라 부른다. 코쉬 곱은 두 급수의 이산적인 길쌈(discrete convolution)이라 볼 수 있다. 또한 식 (2.6)을 단순하게 보면 무한 급수의 곱이지만, 사실은 무한 급수의 항별 분배 법칙에 대한 조건을 표현한다.

식 (2.6)이 가진 $m^{\prime }$ = $n-m$ 구조는 서로 다른 방식으로 자유롭게 표현될 수 있다. 예를 들어, $m^{\prime }$ = $n-2(m/2)$ = $n-2m^{″}$를 선택한다. 여기서 $m^{″}$은 0에서 $n/2$까지 변한다. 그러면 식 (2.6)에 쓴 이중 무한 급수의 표현식이 변경된다[3].

                  (2.11)

여기서 $[x]$ = $\lfloor x\rfloor$은 최대 정수 함수(greatest integer function) 혹은 바닥 함수(floor function)이다. 식 (2.11)에 대한 세밀한 증명을 위해, 식 (2.7)과 비슷하게 부분 합의 차이 $D_N$을 사용한다.

             (2.12)

식 (2.9)와 동일한 이유로 식 (2.11)은 잘 수렴해서 이중 무한 급수는 다음처럼 공식화된다.

                  (2.13)

[그림 2.1]에 보인 대각선 따라 모으기 관점으로 식 (2.11)을 보면, 새로운 공식은 대각선의 기울기를 $-1$에서 $-2$로 바꾼 꼴이다. 그래서 $m$이 커질 때에 $m^{\prime }$은 기울기 $-2$를 가지고 줄어든다.

   3. 균등 수렴의 연산   

[연속 함수와 균등 수렴]
무한 급수를 구성하는 항 $a_n(x)$가 연속이면, 균등 수렴하는 무한 급수 $S(x)$도 연속이다.

                  (3.1)

[증명]
점 $x$ = $c$에서 무한 급수 $S(x)$의 연속성을 확인하기 위해 다음 관계식을 고려한다.

                 (3.2)

무한 급수 $S(x)$는 균등 수렴하므로 적당한 $n$에 대해 다음 부등식이 성립한다.

                 (3.3)

여기서 ${ϵ}_1$은 균등 수렴을 위한 매우 작은 양의 실수이다. 또한 항 $a_n(x)$가 연속이기 때문에 부분 합 $S_n(x)$도 연속이다. 따라서 $x$ = $c$ 근방에서도 $S_n(x)$는 다음처럼 연속이다.

                 (3.4)

식 (3.4)를 식 (3.3)에 대입해서 정리하면 균등 수렴하는 $S(x)$가 연속임을 증명할 수 있다.

                 (3.5)

여기서 $n$은 $x$ = $c$와 그 근방에서 균등 수렴하도록 충분히 큰 수로 선택한다.
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[균등 수렴 무한 급수의 항별 적분]
무한 급수를 구성하는 항 $a_n(x)$가 연속이면, 균등 수렴하는 무한 급수 $S(x)$의 적분과 항별 적분은 동일하다.

                 (3.6)

[증명]
식 (3.1)에 의해 $S(x)$는 구간 $a\le x\le b$에서 연속이다. 그러면 $S(x)$와 부분 합 $S_n(x)$의 적분은 리만 적분 가능(Riemann integrable)하므로, 두 적분의 차이 $D_N$은 다음과 같이 표현된다.

                 (3.7)

다음으로 $D_N$은 다음 부등식을 만족한다.

                 (3.8)

여기서 $ϵ$은 균등 수렴을 위한 매우 작은 양의 실수이다. 따라서 $S(x)$를 적분한 값과 항별 적분값은 동일하다.
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균등 수렴하는 함수열(function sequence)의 적분과 극한을 고려해서도 식 (3.6)을 증명할 수 있다. 또한 식 (3.6)을 다음처럼 함수 관계로 만들어본다.

                 (3.9)

새로운 함수 $T(x)$와 $b_n(x)$ 관점으로 보면, 항 $b_n(x)$로 만든 무한 급수 $T(x)$는 균등 수렴한다. 즉, 균등 수렴하는 무한 급수를 항별로 적분해 만든 무한 급수도 균등 수렴한다. 식 (3.9) 관계를 적분 대신 미분 관계로 만들 수도 있다. 예를 들어, 항별로 미분해 만든 무한 급수가 균등 수렴하면, 원래 무한 급수도 아래처럼 균등 수렴한다.

                 (3.10)

여기서 $da(x)/dx$는 연속이다.

[균등 수렴 무한 급수의 항별 미분]
항 $d{a}_n(x)/dx$가 연속이고 이 항으로 만든 무한 급수가 균등 수렴하면, 무한 급수 $S(x)$의 미분과 항별 미분은 동일하다.

[증명]
항 $d{a}_n(x)/dx$로 만든 무한 급수가 균등 수렴하기 때문에 식 (3.10)을 적용할 수 있다.
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무한 급수에 대한 항별 미분과 적분 조건을 서로 비교한다. 항별 적분은 무한 급수의 균등 수렴만 조건으로 걸고 있지만, 항별 미분은 매우 엄격하게 미분한 무한 급수의 균등 수렴이 조건이다. 이러한 차이는 적분과 미분의 특성에서 기인한다. 적분은 함수값을 쌓아가기 때문에 작은 값을 더하면 작고 큰 값을 더하면 크다. 하지만 미분은 비율이라서 함수값이 아무리 작더라도 미분값은 매우 커질 수 있다. 그래서 미분한 항으로 만든 무한 급수가 균등 수렴해야 한다는 조건이 항별 미분에 꼭 필요하다. 항별 미분의 균등 수렴 조건을 피하고 싶으면 미분법의 정의를 이용할 수 있다. 무한 급수 $S(x)$가 특정 구간에서 수렴하므로, 식 (1.8)에 의해  $S(x)$의 기울기를 정의할 수 있다.

                 (3.11)

식 (3.11)에서 $h\to 0$으로 보내면 다음 미분 관계가 성립한다.

                 (3.12)

여기서 ${ϵ}_n(h)$는 미분 연산에서 얻어지는 차분소[극한을 취하면 미분소가 되는 성분]이다. 따라서 항별 미분이 성립하려면, 식 (3.12)에 나온 차분소의 무한 합이 $0$에 수렴해야 한다. 

   4. 조건 수렴의 대수   

조건 수렴하는 무한 급수는 합을 계산할 때 주의를 기울여야 한다. 특히 식 (2.3)에 의해 조건 수렴 무한 급수는 항별로 교환할 경우 수렴값이 달라질 수 있다. 예를 들어, 식 (2.5)에 있는 교대 조화 급수를 본다. 항별로 교환하지 않고 라이프니츠 기준(Leibniz criterion)을 적용해 계산하면 수렴값은 $1$보다 항상 작다.[테일러 급수(Taylor series)를 이용하면 식 (3.11)의 수렴값은 $\log 2$이다.]

                 (4.1)

식 (2.5)의 항을 다음처럼 교환해서 수렴값을 $1.5$로 만들 수도 있다[3].

                 (4.2)

식 (4.2)처럼 임의의 수렴값을 만들 수 있는 이유는 조화 급수를 구성하는 짝수 급수와 홀수 급수가 다음처럼 각각 발산하기 때문이다. 그래서 우리가 원하는 만큼 짝수나 홀수의 역수를 더하면 어떤 숫자라도 항상 만들 수 있다.

                 (4.3)

조건 수렴하는 무한 급수는 항별로 교환할 때 수렴값이 달라지는 현상이 있으므로 사용할 때 주의를 기울여야 한다. 절대 수렴하는 무한 급수는 항별로 교환할 수 있어서 편하게 수렴하는 합을 계산할 수 있다. 이와 같은 개념을 종합해서 조건 수렴하는 무한 급수의 수렴과 발산 특성을 찾는다.

[조건 수렴 무한 급수의 수렴과 발산]
조건 수렴하는 무한 급수의 양인 부분 합과 음인 부분 합은 각각 발산한다.

[증명]
항이 $a_n$인 무한 급수를 식 (2.4)처럼 양인 부분 합과 음인 부분 합으로 나눈다. 이를 위해 $p_n$과 $q_n$을 다음처럼 정의한다.

                 (4.4)

여기서 $p_n$과 $q_n$은 각각 양 혹은 음인 항이다. 그러면 항이 $a_n$인 무한 급수의 부분 합을 $A_N$ = $P_K-Q_L$처럼 정의할 수 있다.

                 (4.5)

여기서 부분 합을 구성하는 $p_n$과 $q_n$의 순서는 원래 $a_n$의 순서에서 바꾸지 않는다. 만약 $N$이 매우 커진다면, 식 (4.5)에 있는 부분 합은 조건 수렴에 의해 $A$ = $P-Q$가 된다. 여기서 $A,P,Q$는 부분 합 $A_N,P_K,Q_L$의 극한값이다. 또한 항 $a_n$에 절대값을 적용한 부분 합은 $A_N$ = $P_K+Q_L$이 된다. 조건 수렴의 정의에 의해, 항에 절대값을 적용한 무한 급수는 발산해야 한다. 따라서 $K$ 혹은 $L$이 커질 때, $P_K$ 혹은 $Q_L$이 발산해야 한다. 결국 $A$ = $P-Q$는 수렴하기 때문에, $K$와 $L$이 커질 때 $P_K$와 $Q_L$은 모두 발산해야 한다.
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[리만 급수 정리(Riemann series theorem)]
조건 수렴하는 무한 급수는 항별 교환을 통해 수렴값을 임의의 실수로 만들 수 있다. 또한 항별 교환을 이용하면 이 무한 급수를 발산시킬 수도 있다.

                  (4.6)

여기서 $A$는 임의의 실수(real number)이다.

[증명]
항별 교환을 하지 않고 식 (4.4)를 이용해 양인 항과 음인 항을 가진 부분 합 $b_k$와 $c_l$을 식 (1.2)처럼 각각 생성한다.

                 (4.7)

여기서 수열 $\{n_k\}$는 $k$에 대해 임의로 증가하는 0과 자연수로 구성한 수열, $k$ = $1,2,\cdots$, $\{m_l\}$도 $\{n_k\}$와 유사하게 구성한다. 다음으로 우리가 수렴시키고자 하는 실수는 양수 $A$라 한다. 실수 $A$는 음수가 될 수도 있지만 편의상 양수로 가정한다. 항 $p_n$을 계속 더해 가다가 $p_{n_1}$을 더하면 가까스로 $b_1>A$가 되게 한다. 다음으로 앞의 결과에 $|q_n|$을 빼갈 때는 $A$보다 크다가 $|q_{m_1}|$을 빼면 가까스로 $b_1-c_1<A$가 되게 한다. 이런 관계를 부등식으로 표현하면 다음과 같다.

                 (4.8)

식 (4.8)과 같은 과정을 $N$번 반복하면 다음과 같다.

                 (4.9)

식 (4.6)에 있는 무한 급수는 조건 수렴하므로, $N$이 커질 때 항 $p_{n_N}$과 $q_{m_N}$은 $0$으로 수렴한다. 따라서 식 (4.9)에 의해 다음 무한 급수는 실수 $A$로 수렴한다.

                 (4.10)

식 (4.10)에서 항별로 식 (4.7)에 있는 $a_n$의 부호가 같기 때문에, 식 (1.6)에 의해 괄호를 없애서 다음처럼 새로운 무한 급수로 정의할 수 있다.

                 (4.11)

수렴 증명에 이어서 식 (4.6)의 좌변을 무한대로 발산시킨다. 식 (4.8)처럼 $p_n$을 계속 더해서 $p_{n_k}$를 더하기 전에는 $k$보다 작다가 $p_{n_k}$를 더하면 가까스로 $k$보다 크게 한다.

                 (4.12)

식 (4.12)를 이용해서 만든 새로운 무한 급수는 다음처럼 발산한다.

                 (4.13)

여기서 충분히 큰 $k$에 대해 $|q_k|$는 거의 0에 가까우므로 무한 급수의 합은 계속 증가한다. 식 (4.12)와 비슷한 방식을 $c_k$에 적용하면 무한 급수를 $-\mathrm{\infty }$로 발산시킬 수도 있다.
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[참고문헌]
[1] M. Flygare, Some Properties of Infinite Series, Dissertation, Karlstad University, Sweden, 2012.
[2] H. S. Carslaw, "Term-by-term integration of infinite series," The Mathematical Gazette, vol. 13, no. 191, pp. 437–441, Dec. 1927.
[3] G. B. Arfken, H. J. Weber, and F. E. Harris, Mathematical Methods for Physicists, 7th ed., Academic Press, 2013.

[다음 읽을거리]

1. 시컨트 수와 오일러 수