편각 원리(偏角原理, Argument Principle)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "편각 원리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 복소 함수론의 쉬운 이해

2. 오일러–매클로린 공식

[그림 1] 복소 함수의 영점[파랑]과 극점[빨강] 표현(출처: wikipedia.org)

복소 함수(complex function)의 편각 원리(偏角原理, argument principle)는 [그림 1]처럼 닫힌 경로 내부에 존재하는 유리형 함수(meromorphic function)의 영점(zero)과 극점(pole)을 판별할 때 유용하다. 편각 원리는 구체적으로 코쉬의 편각 원리(Cauchy's argument principle)라고도 한다. 로그 함수(logarithmic function)의 미분에 바탕을 두고 편각 원리를 표현하면 다음과 같다.

[편각 원리]

                  (1)

여기서 $f'(z)$는 $f(z)$의 미분인 $df(z)/dz$, $c$는 반시계 방향으로 도는 닫힌 경로, $Z$와 $P$는 각각 닫힌 경로 $c$ 안에 존재하는 영점과 극점 차수(order)의 총합이다.

[증명]

복소 함수 $f(z)$의 제$m$번째 영점 $z_m$에 대해 $f(z)$ = $(z-z_m)^{Z_m} g(z)$를 정의한다. 여기서 $Z_m$은 영점의 차수, $g(z_m)$ $\ne$ $0$이다. 이 경우 식 (1)의 피적분 함수처럼 로그 함수 $\log f(z)$의 미분을 계산한다.

                  (2)

점 $z$ = $z_m$이 중심인 닫힌 경로 $c_m$에 대해 식 (2)를 복소 적분한 후 유수 정리(residue theorem)를 적용한다.

                  (3)

여기서 $g'(z)/g(z)$는 $z$ = $z_m$에서 해석적이어서 유수가 없다. 모든 영점에 대해 식 (3)을 연속적으로 적용해서 정리한다.

                  (4)

여기서 $M$은 $c$ 안에 있는 영점의 개수, $Z$는 영점 차수의 총합이다. 식 (2)와 비슷하게 제$n$번째 극점 $z$ = $p_n$ 근방에서 $f(z)$ = $h(z)/(z - p_n)^{P_n}$이라 둔다. 여기서 영점처럼 $h(p_n)$ $\ne$ $0$이다. 그러면 극점에 대해서도 다음 관계가 성립한다.

                  (5)

따라서 모든 극점에 대해 극점 차수의 총합 $P$를 다음처럼 구한다.

                  (6)

여기서 $N$은 $c$ 내부에 존재하는 극점의 개수, $d_n$은 제$n$번째 극점 $z$ = $p_n$ 주변을 도는 닫힌 경로이다. 최종적으로 식 (4)와 (5)를 합쳐서 식 (1)을 증명한다.

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닫힌 경로 $c$ 내부에 단순 영점(simple zero)[차수가 $1$인 $z - z_m$ 형태의 영점]과 단순 극점(simple pole)[차수가 $1$인 $1/(z - z_n)$ 형태의 극점]만 있다면, $Z$와 $P$는 각각 영점과 극점의 개수인 $M$과 $N$이 된다. 식 (1)이 편각 원리인 이유는 로그 함수의 성질에 의해 $f(z)$의 편각(argument)만 적분에 남기 때문이다.

                  (7)

여기서 $|f(z)|$의 적분은 한 바퀴를 돌 경우 크기가 같아서 항상 $0$이 된다. 식 (1)에 있는 편각의 원리를 조금 더 일반화해서 해석 함수 $g(z)$의 복소 적분을 급수 형태로 쉽게 전환할 수 있다.

                  (8)

식 (8)을 이용하면 복소 적분에 바탕을 두고 무한 급수를 적분으로 바꾸는 아벨–플라나 공식(Abel–Plana formula)을 증명할 수 있다[1].

[그림 2] 아벨–플라나 공식을 위한 적분 경로(출처: wikipedia.org)

[아벨–플라나 공식]

                  (9)

여기서 $f(z)$는 경로 $c$와 $c$의 내부에서 해석적이며, 양의 실수인 적절한 $M$과 $\epsilon$에 대해 $\lim_{R \to \infty} f(z)$ $\sim$ $M/|z|^{1+\epsilon}$이 성립한다.

[증명]

식 (8)에 필요한 닫힌 적분 경로 $c$를 [그림 2]와 같이 선택해서 복소 적분을 정의한다.

                  (10)

여기서 $\sin (\pi z)$는 $z$ = $0, 1, \cdots$에서 단순 영점(simple zero)을 가진다. 식 (10)에 나온 코탄젠트 함수는 적분 경로에 따라 다르게 표현한다.

                  (11)

식 (11)을 식 (10)에 대입해서 각 경로에 대해 복소 적분을 한다.

                  (12)

                  (13)

여기서 $R \to \infty$, $r$은 임의로 작은 양의 실수, $c_1$과 $c_5$ 상의 경로 적분은 조르당의 보조 정리(Jordan's lemma)에 의해 $0$이다. 양의 실수 $r$을 $0$으로 보내면서 경로 $c_3$에 대한 복소 적분도 한다.

                  (14)

식 (14)와 비슷하게 식 (12), (13)에 있는 $r$도 $0$으로 가는 극한을 취한다. 마지막으로 식 (12)–(14)를 모두 합치면 식 (9)가 증명된다.

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아벨–플라나 공식의 기본 개념은 오일러–매클로린 공식(Euler–Maclaurin formula)과 동일하다. 다만 아벨–플라나 공식은 복소 함수에 대한 복소 적분이 바탕이고, 오일러–매클로린 공식은 기초적인 실수 함수를 사용한다.

[참고문헌]

[1] N. H. Abel, "Opløsning af et Par Opgaver ved Hjælp af bestemte Integraler (Solving a few tasks using specific integrals)," Magazin for Naturvidenskaberne (Magazine for the Natural Sciences), vol. 2, pp. 55–68, 1823. (방문일 2021-01-17)