2021년 1월 17일 일요일

등각 사상(等角寫像, Conformal Mapping)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "등각 사상"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 등각 사상의 예시(출처: wikipedia.org)

복소 함수(complex function)가 가진 놀라운 성질 중의 하나는 등각 사상(等角寫像, conformal mapping)이다. 등각 사상은 정의역에 있는 국소적인 각도를 보존하면서 치역으로 사상한다. 각도는 등각 사상에 따라 보존되지만 길이는 변할 수 있다. [그림 1]은 왼쪽에 있는 직선이 오른쪽에 있는 원으로 변환되는 등각 사상을 보여준다. 모양이 많이 바뀌기는 하지만, 두 직선이 만나는 각도는 왼쪽과 오른쪽이 모두 90˚로 동일하다. 그래서 [그림 1]은 등각 사상의 실제적인 특성을 잘 보여준다.
해석적인 복소 함수(complex analytic function)필연적으로 정칙 함수(正則函數, holomorphic function)가 되기 때문에, 어느 방향으로 미분하더라도 복소 함수의 미분은 동일하다. 그래서 $z$ = $z_0$ 근방에서 $z$와 $f(z)$는 다음과 같이 서로 연결되어 있다.

                  (1)

만약 $f'(z_0)$가 $0$이 아니라면, $z - z_0$의 각도가 변하는 특성은 극형식(polar form)에 의해 다음처럼 $f(z) - f(z_0)$의 각도 변화에 정확히 연결된다.

                  (2)

여기서 $z - z_0$ = $|z - z_0|e^{i \phi}$, $f(z) - f(z_0)$ = $|f(z) - f(z_0)|e^{i \varphi}$, $f'(z_0)$ = $|f'(z_0)| e^{i \varphi_0}$이다. 복소수의 특성을 이러한 결과로 인해 해석적인 복소 함수는 국소적인 각도가 보존되는 등각 사상이 된다.
등각 사상은 라플라스 방정식(Laplace's equation)을 푸는 새로운 해법이기도 하다. 등각 사상은 당연히 해석적인 복소 함수이므로, 코쉬–리만 방정식(Cauchy–Riemann equation)이 성립한다. 복소 함수 $f(z)$[= $u(x, y) + i v(x, y)$]의 실수부 $u(x, y)$와 허수부 $v(x, y)$를 따로 편미분하면 다음과 같은 $u(x, y)$에 대한 2차원 라플라스 방정식을 만들 수 있다.

                        (3)

                        (4)

허수부 $v(x, y)$를 기준으로 식 (4)와 동일한 방법을 적용하면 $v(x, y)$에 대한 2차원 라플라스 방정식도 얻는다.

                        (6)

또한 코쉬–리만 방정식에 의해 $u(x, y)$와 $v(x, y)$의 구배(gradient)는 서로 직교한다.

                        (7)

따라서 2차원 라플라스 방정식을 풀 때는 보통 등각 사상으로 경계 조건을 본다. 그러면 굉장히 쉽게 원하는 해를 찾을 수 있다.
해석적인 복소 함수는 자유롭게 구성할 수 있기 때문에, 복소 함수론에 나오는 등각 사상은 무한개가 존재한다. 여러 종류의 등각 사상 중에서 간단하면서도 정말 중요한 예시는 [그림 1]에 나오는 뫼비우스 변환(Möbius transformation)이다. [그림 1]과 같은 뫼비우스 변환[= $(z-1)/(z+1)$]은 무한 반평면을 작은 원 내부로 사상한다. 따라서 뫼비우스 변환은 상상하기 힘든 무한대 범위를 유한한 원 내부로 바꾸어준다. 간단하지만 강력한 뫼비우스 변환의 일반형은 다음과 같다.

                  (3)

뫼비우스 변환이 유리 함수 형태로 남으려면 약분이 되어서는 안된다. 다음과 같은 과정을 거치면, 뫼비우스 변환이 존재하지 않는 조건은 $ad - bc$ = $0$이다.

                  (4)

여기서 $p$는 복소수인 상수이다. 거꾸로 뫼비우스 변환이 성립하는 조건은 $ad - bc$ $\ne$ $0$이다. 이 조건은 직선 $az + b$와 $cz + d$가 평행이 되지 않는 조건과 등가이다.

[그림 2] 슈바르츠–크리스토펠 사상의 예시(출처: wikipedia.org)

등각 사상의 또 다른 재미난 결과는 [그림 2]에 나타낸 슈바르츠–크리스토펠 사상(Schwarz–Christoffel mapping)이다. 다음과 같은 슈바르츠–크리스토펠 사상은 허수부가 $0$보다 항상 큰 상반평면(上半平面, upper half-plane) 전체를 볼록 다각형의 내부로 변환한다.

                  (5)

여기서 $C, K$는 상수, $a < b < c < \cdots$는 정의역 $z$의 실수축에 있는 점, 실수인 $\alpha, \beta, \gamma, \cdots$는 치역 $f(z)$에 만들어진 볼록 다각형의 각도이다. 슈바르츠–크리스토펠 사상에서 실수 점 $a, b, c, \cdots$는 볼록 다각형의 꼭지점으로 사상되며, 이 꼭지점에 있는 각도는 $\alpha, \beta, \gamma, \cdots$가 된다.

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