2021년 1월 17일 일요일

등각 사상(等角寫像, Conformal Mapping)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "등각 사상"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 등각 사상의 예시(출처: wikipedia.org)

복소 함수(complex function)가 가진 놀라운 성질 중의 하나는 등각 사상(等角寫像, conformal mapping)이다. 등각 사상은 정의역에 있는 곡선의 국소적인 각도를 보존하면서 치역으로 사상한다. 즉, 등각 사상에서는 곡선의 국소적 각도 분포가 정의역과 치역에서 서로 같다. 다만 정의역에서 치역으로 갈 때, 곡선의 국소적 길이는 변할 수 있다. [그림 1]은 왼쪽에 있는 직선이 오른쪽에 있는 원으로 변환되는 등각 사상을 보여준다. 곡선의 모양이 많이 바뀌지만, 두 곡선이 만나는 각도는 왼쪽과 오른쪽이 90˚로 모두 동일하다. 그래서 [그림 1]은 등각 사상의 실제적인 특성을 잘 보여준다.
등각 사상의 이해에는 해석 함수(解析函數, analytic function)정칙 함수(正則函數, holomorphic function)의 개념이 필요하다. 해석적인 복소 함수(complex analytic function)필연적으로 정칙 함수가 되기 때문에, 어느 방향으로 미분하더라도 복소 함수의 미분은 동일하다. 그래서 $z$ = $z_0$ 근방에서 $z$와 $f(z)$는 다음과 같이 서로 연결되어 있다.

                  (1)

만약 $f'(z_0)$는 $0$이 아니라면, $z - z_0$의 각도가 변하는 특성은 극형식(polar form)에 의해 다음처럼 $f(z) - f(z_0)$의 각도 변화에 정확히 연결된다.

                  (2)

여기서 $z - z_0$ = $|z - z_0|e^{i \phi}$, $f(z) - f(z_0)$ = $|f(z) - f(z_0)|e^{i \varphi}$, $f'(z_0)$ = $|f'(z_0)| e^{i \varphi_0}$이다. 이러한 결과로 인해 해석적인 복소 함수는 국소적인 각도가 보존되는 등각 사상이 된다. 또한 $f'(z_0)$ = $0$이면, $z - z_0$에 관계없이 식 (1)이 성립한다. 그래서 임계점(臨界點, critical point)이라 부르는 $f'(z_0)$ = $0$인 조건에서는 $z - z_0$와 $f(z) - f(z_0)$는 서로 상관 관계가 없어진다. 즉, 임계점에서는 식 (2)와 같은 등각 사상이 성립하지 않는다.
등각 사상인 $f(z)$의 기하학적 특성을 단위 접선 벡터(unit tangential vector)의 사상(寫像, mapping) 관점에서 새롭게 고찰할 수도 있다. 복소 평면 상에 정의한 곡선 $z$의 단위 접선 벡터 $\hat t$은 다음과 같은 미분으로 표현된다.

                  (3)

마찬가지로 곡선 $z$의 등각 사상인 곡선 $f(z)$의 단위 접선 벡터를 $\hat \tau$라 한다.

                  (4)

그러면 임계점이 아닌 위치에서 단위 법선 벡터간의 편각 관계는 다음과 같다.

                  (5)

식 (5)에 의해 $\hat \tau$와 $\hat t$의 변화 특성은 $f'(z)$의 편각만큼만 차이난다. 식 (5)의 결과는 식 (2)와 동일하기 때문에, 등각 사상을 단위 법선 벡터의 변화로 간주할 수도 있다. 
등각 사상은 라플라스 방정식(Laplace's equation)을 푸는 새로운 해법이기도 하다. 등각 사상은 당연히 해석적인 복소 함수이므로, 코쉬–리만 방정식(Cauchy–Riemann equation)이 성립한다. 복소 함수 $f(z)$[= $u(x, y) + i v(x, y)$]의 실수부 $u(x, y)$와 허수부 $v(x, y)$를 따로 편미분하면 다음과 같은 $u(x, y)$에 대한 2차원 라플라스 방정식을 만들 수 있다.

                        (6)

                        (7)

허수부 $v(x, y)$를 기준으로 식 (7)과 동일한 방법을 적용하면 $v(x, y)$에 대한 2차원 라플라스 방정식도 얻는다.

                        (8)

또한 코쉬–리만 방정식에 의해 $u(x, y)$와 $v(x, y)$의 구배(gradient)는 서로 직교한다.

                        (9)

따라서 2차원 라플라스 방정식을 풀 때는 보통 등각 사상의 개념으로 경계 조건을 다룬다. 그러면 굉장히 쉽게 원하는 해를 찾을 수 있다.
해석적인 복소 함수는 자유롭게 구성할 수 있기 때문에, 복소 함수론에 나오는 등각 사상은 무한개가 존재한다. 여러 종류의 등각 사상 중에서 간단하면서도 정말 중요한 예시는 [그림 1]에 나오는 뫼비우스 변환(Möbius transformation) 혹은 쌍일차 변환(bilinear transform)이다. [그림 1]과 같은 뫼비우스 변환[= $(z-1)/(z+1)$]은 무한 반평면을 작은 원 내부로 사상한다. 따라서 뫼비우스 변환은 상상하기 힘든 무한대 범위를 유한한 원 내부로 바꾸어준다. 간단하지만 강력한 뫼비우스 변환의 일반형은 다음과 같다.

                  (10)

뫼비우스 변환이 유리 함수 형태로 남으려면 약분이 되어서는 안된다. 다음과 같은 과정에 따라, 뫼비우스 변환이 존재하지 않는 조건은 $ad - bc$ = $0$이 된다.

                  (11)

여기서 $p$는 복소수인 상수이다. 거꾸로 뫼비우스 변환이 성립하는 조건은 $ad - bc$ $\ne$ $0$이다. 이 조건은 직선 $az + b$와 $cz + d$가 평행이 되지 않는 조건과 등가이다.

[그림 2] 슈바르츠–크리스토펠 사상의 예시(출처: wikipedia.org)

등각 사상의 또 다른 재미난 결과는 [그림 2]에 예시로 나타낸 슈바르츠–크리스토펠 사상(Schwarz–Christoffel mapping)이다. 다음과 같은 슈바르츠–크리스토펠 사상은 허수부가 $0$보다 항상 큰 상반평면(上半平面, upper half-plane) 전체를 볼록 다각형의 내부로 변환한다.

[그림 3] 슈바르츠–크리스토펠 사상과 영역 변환

[슈바르츠–크리스토펠 사상]

                  (12)

여기서 $C, K$는 상수, $f(0)$ = $C$, $a < b < c < \cdots$는 정의역 $z$의 실수축에 있는 점, 실수인 $\alpha, \beta, \gamma, \cdots$는 치역 $f(z)$에 만들어진 볼록 다각형의 끼인 각도이다. 슈바르츠–크리스토펠 사상에서 실수 점 $a, b, c, \cdots$는 볼록 다각형의 꼭지점으로 사상되며, 이 꼭지점에 있는 각도는 $\alpha, \beta, \gamma, \cdots$가 된다.

[증명]
식 (12)의 증명을 간략화하기 위해서 [그림 3]의 왼쪽처럼 실수축 위에 있는 3개의 점만 고려한다. 그러면 다음 복소 함수를 정의할 수 있다.

                  (13)

식 (13)을 이용해 복소 함수 $f'(\zeta)$의 편각을 식 (2)처럼 기술한다.

                  (14)

실수축 위에 있는 $\zeta$가 $a$보다 작으면, $f'(\zeta)$의 편각은 항상 다음과 같은 상수가 된다.

                  (15)

여기서 ${\rm arg}(\zeta - a)$ = ${\rm arg}(\zeta - b)$ = ${\rm arg}(\zeta - c)$ = $\pi$이다. 식 (13)을 실수축 위에서 움직이는 $\zeta$에 대해 적분해서 복소 함수 $f(z)$의 변화도 관찰한다.

                  (16)

여기서 $z_0 < z < a$, ${\rm arg}[f'(\zeta)]$ = $\varphi_0$이다. 식 (16)의 마지막식에 나타난 적분은 실수이므로, $f(z)$의 편각은 변하지 않는다. 즉, 실수축 위에서 변하는 $a$보다 작은 $z$에 대해, [그림 3]의 오른쪽처럼 $f(z)$는 복소 평면 상에서 직선처럼 움직인다. 실수 $\zeta$가 $a$를 지나서 $a < \zeta < b$라면, 식 (15)의 편각은 다음처럼 $\pi - \alpha$만큼 증가한다.

                  (17)

여기서 ${\rm arg}(\zeta - a)$ = $0$이다. 따라서 실수축을 따라 변하는 $z$가 $a$를 지나면, 직선 $f(z)$의 편각은 [그림 3]의 오른쪽처럼 $\pi - \alpha$만큼 커진다. 이러한 기하학적 관계로 인해, $\alpha$는 편각이 식 (15)와 (17)인 두 직선 사이의 끼인 각이다. 혹은 등각 사상에 대한 단위 법선 벡터의 관계인 식 (5)를 이용할 수도 있다. 입력 변수 $z$는 실수축에만 있으므로, 단위 법선 벡터 $\hat t$는 항상 $1$이며 편각은 $0$이다. 그래서 식 (5)에 의해 $f(z)$의 단위 법선 벡터인 $\hat \tau$의 편각은 ${\rm arg}[f'(z)]$와 같다. 비슷한 논증을 $z$ = $b$와 $c$에 대해서도 실행하면, 실수축에서 변하는 $z$의 사상 $f(z)$의 궤적은 사각형을 이룬다. 복소 평면에 형성된 사각형의 세 꼭지점은 $f(a)$, $f(b)$, $f(c)$이다. 나머지 한 꼭지점은 $\lim_{z \to \pm \infty}f(z)$이다. 또한 사각형은 볼록 다각형이므로 항상 $1 - \alpha / \pi > 0$, $1 - \beta / \pi > 0$, $1 - \gamma / \pi > 0$, $\alpha + \beta + \gamma$ $<$ $2 \pi$가 성립한다.
실수에서 복소수로 $z$를 확장하려면, 식 (12)의 분모에 있는 멱함수(power function)를 해석적으로 만들기 위한 가지 자름(branch cut)이 필요하다. 예를 들어, $z$ = $a$ 근방에서 멱함수는 다음처럼 표현된다.

                  (17)

여기서 $\phi$ = ${\rm arg}(\zeta - a)$이다. 식 (15)와 (17)을 유도할 때, $\phi$는 $0$에서 $\phi$까지 변한다고 자연스럽게 가정한다. 그러면 $z$의 편각은 $0$에서 $\pi$까지 연속적으로 변해야 한다. 이를 위해 $z$ = $a$ 근방의 멱함수가 해석적이기 위한 가지 자름을 [그림 4]처럼 정의한다. 여기서 $-\pi/2 < \phi < 3 \pi/2$를 만족한다.

[그림 4] 점 $z$ = $a$의 근방을 표현하기 위한 가지 자름

[그림 4]와 같은 가지 자름은 $z$ = $b$와 $c$에도 나타나므로, [그림 3]의 왼쪽에서 해석적인 영역은 당연히 $\Im[z] > 0$이다. 또한 $|z|$이 매우 커지는 영역에서 $f(z)$의 수렴을 확인한다. 먼저 $a, b, c$의 절대값보다 매우 큰 값을 $R$이라 한다. 그러면 $|z| > R$에 대해 다음 부등식이 성립한다.

                  (18)

여기서 $|a| \ll R$이다. 다른 점 $b, c$에 대해서도 식 (18)이 성립하므로, $f'(z)$의 크기는 다음과 같이 제한된다.

                  (19)

여기서 $M$은 적당히 큰 양의 실수이다. 다음 단계로 식 (19)를 이용해 식 (12)의 크기를 구한다.

                  (20)

여기서 $\alpha, \beta, \gamma$는 볼록 다각형의 끼인 각이라서 $\alpha + \beta + \gamma$ $<$ $2 \pi$이다. 따라서 $R$이 계속 커지더라도 $f(z)$는 잘 수렴한다. 이의 결과로써 식 (12)는 $\Im[z] > 0$인 영역에서 해석적으로 잘 정의된다.
지금까지 실수축 위의 3개의 점만 고려했지만, [그림 3]처럼 실수인 점이 3개를 초과하더라도 위와 동일한 증명 방식을 이용해 실수축 위의 점이 볼록 다각형으로 사상됨을 쉽게 증명할 수 있다.
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식 (12)를 이용해서 [그림 2]를 위한 슈바르츠–크리스토펠 사상의 관계식을 쉽게 유도할 수 있다. 실수축 위의 점은 2개이며 $a$ = $-1$, $b$ = $1$이라 한다. 또한 끼인 각 $\alpha, \beta$는 서로 같으므로 $\alpha$ = $\beta$ = $\pi/2$가 된다. 이 결과를 식 (12)에 대입해서 정리한다.

                  (21)

만약 $f(1)$ = $0$, $f(-1)$ = $\pi i$라면, $K$ = $1$, $C$ = $0$이 되어야 한다. 즉, [그림 2]와 같은 등각 사상은 매우 간단하게 $f(z)$ = $\cosh^{-1} z$로 표현된다.

[참고문헌]
[1] J. W. Brown and R. V. Churchill, Complex Variables and Applications, 8th ed., New York, USA: McGraw-Hill, 2004.
[2] C. K. Koc and P. F. Ordung, "Schwarz-Christoffel transformation for the simulation of two-dimensional capacitance," IEEE Trans. Comput.-Aided Design Integr. Circuits Syst., vol. 8, no. 9, pp. 1025–1027, Sept. 1989.
[3] W. P. Calixto, B. Alvarenga, J. C. da Mota, L. d. C. Brito, M. Wu, A. J. Alves, L. M. Neto, and C. F. R. L. Antunes, "Electromagnetic problems solving by  conformal mapping: a mathematical operator for optimization," Math. Probl. Eng., 2010, Art. ID 742039.

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