라플라스 방정식용 등각 사상(Conformal Mapping for Laplace's Equation)

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1. 등각 사상

2. 완전 미분

3. 전압

4. 정전장과 정자장

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전기 스칼라 포텐셜(electric scalar potential) $\varphi$에 대한 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)은 다음과 같은 형태를 가진다.

              (1)

식 (1)에 등장한 라플라시안(Laplacian) ${\mathrm{\nabla }}^2$의 한 성분이 일정하면[$\partial /\partial n$ = $0$이면], 식 (1)은 3차원이 아닌 2차원의 헬름홀츠 방정식으로 간략화된다.

              (2)

여기서 $\partial \varphi /\partial n$ = $0$, $(u,v,n)$은 직교하는 좌표(coordinates)이다. 좌표 $(u,v,n)$을 새로운 좌표 $(\alpha ,\beta ,n)$으로 바꿈으로써 2차원 헬름홀츠 방정식을 새로운 좌표계인 $(\alpha ,\beta )$에서 표현할 수 있다. 이를 위해 2차원 라플라시안을 연산자 관점에서 인수 분해한다.

              (3)

완전 미분(exact differential)에 따라 식 (3)의 우변에 나온 인수를 $(\alpha ,\beta )$ 좌표계의 편미분으로 바꾼다.

              (4)

여기서 $\alpha$ = $\alpha (u,v)$, $\beta$ = $\beta (u,v)$, 복소 함수 $\gamma$ = $\alpha +i\beta$는 $w$ = $u+iv$에 대한 해석 함수여서 코쉬–리만 방정식(Cauchy–Riemann equation)인 $\partial \alpha /\partial u$ = $\partial \beta /\partial v$, $\partial \beta /\partial u$ = $-\partial \alpha /\partial v$를 만족한다. 식 (4)를 식 (3)의 우변에 대입한 후 정리해서 두 좌표계에 대한 2차원 라플라시안의 관계식을 도출한다.

              (5)

              (6)

식 (6)을 식 (2)에 넣어서 좌표 변환한 2차원 헬름홀츠 방정식을 구한다.

              (7)

원래 문제인 식 (2)를 있는 그대로 풀지 않고, 계산이 더 쉬운 $(\alpha ,\beta )$ 좌표계로 문제 영역을 옮겨서 해결할 수 있는 방안이 바로 식 (7)이다. 3차원인 경우는 더욱 어려워서 보통 텐서 미적분학(tensor calculus)을 사용해서 문제 영역을 옮긴다.

또한 좌표 변환을 하면 매질 특성이 $k$에서 $k/|d\gamma /dw|$로 바뀌는 어려움이 생겨서, 등각 사상을 쓸 때는 $f$ = $0$인 정전장(electrostatics)과 $\rho$ = $0$인 원천이 없는 조건을 적용한 2차원 라플라스 방정식(Laplace's equation)을 유도해 푼다.

              (8)

식 (8)과 같은 라플라스 방정식은 다양한 커패시터(capacitor)의 전기 용량(capacitance)을 구할 때 빈번하게 사용된다[1].

[참고문헌]

[1] P. K. Kythe, Handbook of Conformal Mappings and Applications, New York: CRC Press, 2019.

[2] R. Herman, 8.6: Laplace’s Equation in 2D, Revisited, Introduction to Partial Differential Equations, The LibreTexts, CA, USA.