2023년 4월 23일 일요일

차분 방정식(差分方程式, Difference Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "차분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 함수 f(x)의 차분 모습(출처: wikipedia.org)

임의 수열 fn의 차이를 이용해서 fn = afn1+bfn2+ 등과 같은 형태로 표현한 수식을 차분 방정식(差分方程式, Difference Equation)이라 부른다. 차분 방정식의 대표적인 예는 등비 급수(geometric series)이다.

                  (1)

여기서 f0 = a0은 초기값(initial value), r은 공비(common ratio)이다. 식 (1)은 fn을 기준으로 차분이 하나만 있어서 일계 차분 방정식(the first order difference equation)이 된다. 식 (1)을 확장해서 이계 차분 방정식(the second order difference equation)도 쉽게 생성할 수 있다.

                  (2)

여기서 a,b는 상수, f0,f1은 이미 주어진 초기값이다. 식 (2)를 풀기 위해, 식 (1)처럼 fn = rn이라 가정한다. 그러면 차분 방정식은 통상적인 2차 방정식으로 간략화된다.

                  (3)

식 (2)의 해법인 식 (3)에 나온 오른쪽 식은 차분 방정식을 규정하는 특성 방정식(characteristic equation)이다. 식 (3)에 나온 특성 방정식을 풀어서 나온 공비를 r1, r2라고 하면, 식 (2)의 일반해(general solution)는 미분 방정식처럼 r1nr2n의 선형 결합으로 구한다.

                  (4)

여기서 c1,c2는 초기값으로부터 결정한다.
상미분 방정식(ordinary differential equation)처럼 다음과 같은 형태로 기술된 m계 차분 방정식(mth order difference equation)은 해의 존재성과 유일성이 쉽게 증명된다[1].

                  (5)

여기서 xn1m차원을 가진 수열 벡터(vector), f0,f1,,fm1은 이미 알고 있는 초기값, 초기값 벡터는 xm1 = [f0 f1  fm1]이다. 식 (5)에 초기값 벡터 xm1부터 차례로 xm,xm+1 등을 대입하면, 함수값은 fm, fm+1, fm+2 등으로 유일하게 나온다. 즉, 식 (5)에 xm+k1을 넣으면, fm+k가 출력되고 그 다음 입력 벡터 xm+k도 구성된다. 그러면 n = 0,1,,m+k에 대해 f0,f1,,fm+k를 출력하는 함수 f(x)다항 함수 보간(polynomial interpolation) 등으로 만들 수 있다. 여기서 fn = f(x)|x=n0xm+k에서 성립한다. 그 다음 단계로 x의 범위를 늘리기 위해, 이전에 생성한 f(x)를 식 (5)에 넣어서 m+kxm+k+1에서도 f(x)가 정의되게 한다. 여기서 이전 범위에서 변하는 f(x)xn1의 성분에 대입해 연속으로 바꿈으로써 식 (5)의 좌변은 자동적으로 m+kxm+k+1에서 연속이다. 이 과정은 계속 될 수 있으므로, 식 (5)의 차분 방정식은 항상 해를 가진다. 식 (5)와 같은 차분 방정식의 해가 유일하다는 증명도 쉽다. 만약 n = k부터 f(k)와 함수값이 다른 g(k)가 있다고 가정한다. 그러면 식 (5)에 따라 g(k) = F(xk1) = f(k)가 되므로, g(k)f(k)와 다를 수 없어서 모순이다. 해의 존재성과 유일성으로 인해 차분 방정식을 다양한 방식으로 풀 수 있다. 예를 들어, 식 (2)를 풀 때에 Z 변환(Z-transform)을 써도 된다.

                  (6)

차분 방정식은 미분 방정식(differential equation)을 근사적으로 풀 때 매우 유용하다. 수학적 미분을 수치 미분으로 교체해서 미분 방정식을 차분 방정식으로 바꾸어 푸는 방식은 유한 차분법(finite difference method, FDM)이라 부른다. 유한 차분법에서는 해의 수렴성을 꼭 확인해서 풀어야 한다. 왜냐하면 수치 미분으로 인해 반복적인 연산이 들어가므로, 차분 방정식의 해가 미분 방정식의 해로 수렴한다는 확인이 꼭 필요하기 때문이다.

[참고문헌]
[1] S. Tauber, "Existence and uniqueness theorems for solutions of difference equations," Am. Math. Mon., vol. 71, no. 8, pp. 859–862, Oct. 1964.
[2] S. Elaydi, An Introduction to Difference Equations, 3rd ed., New York, USA: Springer, 2005.

[다음 읽을거리]

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