조금은 느리게 살자: 차분 방정식(差分方程式, Difference Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "차분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

[그림 1] 함수 $f(x)$의 차분 모습(출처: wikipedia.org)

임의 수열 $f_n$의 차이를 이용해서 $f_n$ = $a f_{n-1} + b f_{n-2} + \cdots$ 등과 같은 형태로 표현한 수식을 차분 방정식(差分方程式, Difference Equation)이라 부른다. 차분 방정식의 대표적인 예는 등비 급수(geometric series)이다.

(1)

여기서 $f_0$ = $a_0$은 초기값(initial value), $r$은 공비(common ratio)이다. 식 (1)은 $f_n$을 기준으로 차분이 하나만 있어서 일계 차분 방정식(the first order difference equation)이 된다. 식 (1)을 확장해서 이계 차분 방정식(the second order difference equation)도 쉽게 생성할 수 있다.

(2)

여기서 $a, b$는 상수, $f_0, f_1$은 이미 주어진 초기값이다. 식 (2)를 풀기 위해, 식 (1)처럼 $f_n$ = $r^n$이라 가정한다. 그러면 차분 방정식은 통상적인 2차 방정식으로 간략화된다.

(3)

식 (2)의 해법인 식 (3)에 나온 오른쪽 식은 차분 방정식을 규정하는 특성 방정식(characteristic equation)이다. 식 (3)에 나온 특성 방정식을 풀어서 나온 공비를 $r_1$, $r_2$라고 하면, 식 (2)의 일반해(general solution)는 미분 방정식처럼 $r_1^n$과 $r_2^n$의 선형 결합으로 구한다.

(4)

여기서 $c_1, c_2$는 초기값으로부터 결정한다.

상미분 방정식(ordinary differential equation)처럼 다음과 같은 형태로 기술된 $m$계 차분 방정식($m$th order difference equation)은 해의 존재성과 유일성이 쉽게 증명된다[1].

(5)

여기서 ${\bf x}_{n-1}$은 $m$차원을 가진 수열 벡터(vector), $f_0, f_1, \cdots, f_{m-1}$은 이미 알고 있는 초기값, 초기값 벡터는 ${\bf x}_{m-1}$ = $[f_0~f_1~\cdots~f_{m-1}]$이다. 식 (5)에 초기값 벡터 ${\bf x}_{m-1}$부터 차례로 ${\bf x}_{m}, {\bf x}_{m+1}$ 등을 대입하면, 함수값은 $f_{m}$, $f_{m+1}$, $f_{m+2}$ 등으로 유일하게 나온다. 즉, 식 (5)에 ${\bf x}_{m+k-1}$을 넣으면, $f_{m+k}$가 출력되고 그 다음 입력 벡터 ${\bf x}_{m+k}$도 구성된다. 그러면 $n$ = $0, 1, \cdots, m+k$에 대해 $f_0, f_1, \cdots, f_{m+k}$를 출력하는 함수 $f(x)$를 다항 함수 보간(polynomial interpolation) 등으로 만들 수 있다. 여기서 $f_n$ = $f(x)|_{x=n}$은 $0 \le x \le m+k$에서 성립한다. 그 다음 단계로 $x$의 범위를 늘리기 위해, 이전에 생성한 $f(x)$를 식 (5)에 넣어서 $m+k \le x \le m+k+1$에서도 $f(x)$가 정의되게 한다. 여기서 이전 범위에서 변하는 $f(x)$를 ${\bf x}_{n-1}$의 성분에 대입해 연속으로 바꿈으로써 식 (5)의 좌변은 자동적으로 $m+k \le x \le m+k+1$에서 연속이다. 이 과정은 계속 될 수 있으므로, 식 (5)의 차분 방정식은 항상 해를 가진다. 식 (5)와 같은 차분 방정식의 해가 유일하다는 증명도 쉽다. 만약 $n$ = $k$부터 $f(k)$와 함수값이 다른 $g(k)$가 있다고 가정한다. 그러면 식 (5)에 따라 $g(k)$ = $F({\bf x}_{k-1})$ = $f(k)$가 되므로, $g(k)$는 $f(k)$와 다를 수 없어서 모순이다. 해의 존재성과 유일성으로 인해 차분 방정식을 다양한 방식으로 풀 수 있다. 예를 들어, 식 (2)를 풀 때에 Z 변환(Z-transform)을 써도 된다.

(6)

차분 방정식은 미분 방정식(differential equation)을 근사적으로 풀 때 매우 유용하다. 수학적 미분을 수치 미분으로 교체해서 미분 방정식을 차분 방정식으로 바꾸어 푸는 방식은 유한 차분법(finite difference method, FDM)이라 부른다. 유한 차분법에서는 해의 수렴성을 꼭 확인해서 풀어야 한다. 왜냐하면 수치 미분으로 인해 반복적인 연산이 들어가므로, 차분 방정식의 해가 미분 방정식의 해로 수렴한다는 확인이 꼭 필요하기 때문이다.

[참고문헌]

[1] S. Tauber, "Existence and uniqueness theorems for solutions of difference equations," Am. Math. Mon., vol. 71, no. 8, pp. 859–862, Oct. 1964.

[2] S. Elaydi, An Introduction to Difference Equations, 3rd ed., New York, USA: Springer, 2005.

[다음 읽을거리]

1. Z 변환

2. 이산 푸리에 변환