2020년 7월 12일 일요일

오일러–매클로린 공식(Euler–Maclaurin Formula)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "오일러–매클로린 공식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 베르누이 다항식
2. 테일러 급수


적분(integration)급수(series)를 공부할 때 크게 착각하는 점 중의 하나가 적분은 어렵고 급수는 쉽다는 생각이다. 적분은 피적분 함수의 원시 함수(primitive function)를 찾는 복잡한 과정이 있기 때문에 분명 어렵다. 반면에 급수는 단순하고 반복적인 합이므로, 덧셈만 계속 해가면 결과를 쉽게 얻을 수 있다. 하지만 유한이 아닌 무한한 급수(infinite series)에서는 항을 끝없이 더해가는 무한 급수의 연산 과정이 상상할 수 없을 정도로 복잡하다. 왜냐하면 무한 급수의 수렴과 발산 특성은 직관적으로 알 수 없고, 무한 급수를 구성하는 수열(sequence)의 특성을 사용해 수렴 판정을 하기 때문이다. 따라서 공부를 조금 더 하면 급수보다는 적분이 편하다고 느낀다. 그렇다면 근사 없이 적분과 급수를 서로 이어주는 정확한 관계식은 없을까? 아래에 제시한 리만 적분(Riemann integral)은 무한 급수와 적분의 관계를 설명하는 중요한 개념이다.

             (1)

하지만 식 (1)은 구간을 계속 줄여가는 무한 급수이므로, 우리가 고민하는 부분과는 약간 거리가 있다. 구간이 고정된 유한 급수(finite series) 혹은 유한 합(finite sum)을 적분과 정확하게 연결해주는 도구는 리만 적분이 아니고 오일러–매클로린 공식(Euler–Maclaurin formula)이다. 예를 들어 [그림 1]에 제시한 유한 합과 적분의 관계를 보자. 피적분 함수 $f(x) = x^3$은 구간 $0 \le x \le 2$ 사이에서 연속적으로 변하며, 항이 $f(n)$인 유한 합은 이산적으로 합해진다. 그래서 직관적으로 보면 적분과 유한 합은 같아질 수가 없다. 그래서 [그림 1]에 보이는 유한 합과 적분의 오차를 원하는 만큼 정확히 표현해서 적분값을 보상해주면, 유한 합을 적분으로 정확히 표현할 수 있다. 유한 합과 적분의 오차를 표현하는 함수로 베르누이 다항식(Bernoulli polynomial)을 사용하는 기법이 오일러–매클로린 공식이다. 이 공식은 오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 1735년오일러 28세, 조선 영조 시절에 느리게 수렴하는 무한 급수를 계산하기 위해 제안했다[1]. 오일러와는 독립적으로 매클로린Colin Maclaurin(1698–1746)은 1745년매클로린 47세, 조선 영조 시절에 이 공식을 재발견했다[2]. 매클로린은 여러 적분을 효과적으로 계산하기 위해 이 공식을 열렬히 사용했다. 매클로린이란 이름은 테일러 급수(Taylor series)의 특수한 경우인 매클로린 급수(Maclaurin series)에도 남아 있다.

[그림 1] $f(x) = x^3$에 대한 유한 합과 적분(출처: wikipedia.org)

베르누이 수(Bernoulli number)의 확장인 베르누이 다항식의 성질을 적극 활용해서 유한 합과 적분에 대한 오일러–매클로린 공식을 증명한다.

[오일러–매클로린 공식]

                  (2)

여기서 $B_m$은 제$m$번 베르누이 수, $(\cdot)!$는 계승(factorial), $f^{(n)}(x)$는 $x$에 대한 $n$번 미분, $R_m(n)$은 제$m$차 잉여항(remainder term), $b_m(x)$ = $B_m(x - \lfloor x \rfloor)$, $B_m (x)$는 제$m$차 베르누이 다항식, $\lfloor x \rfloor$는 바닥 함수(floor function), $f(x)$는 $2M$번 미분 가능하다.

[증명]
아래에 제시한 베르누이 다항식의 미분을 이용해서 정적분을 다음처럼 바꿀 수 있다.

                  (3)

                  (4)

식 (4)를 유한 합 형태로 정리하면 다음과 같다.

                  (5)

식 (5)의 마지막 항인 잉여항에 대해 식 (3)을 다시 적용한다.

                  (6)

식 (6)과 같은 과정을 계속 반복해서 다음을 얻는다.

                  (7)

잉여항 정의에 사용한 $b_m(x)$는 주기가 $1$인 주기 함수(periodic function)이다. 따라서 식 (7)을 이용해 적분 구간을 $n$까지 확장하면 식 (2)를 얻을 수 있다.
______________________________

식 (2)에 도입한 잉여항 $R_m(n)$은 오일러나 매클로린이 만든 공식에는 없었던 성분이다. 하지만 오일러–매클로린 공식의 정확성을 평가할 때 필수적인 요소이다. 오일러–매클로린 공식을 실제적으로 완성한 잉여항은 푸아송Siméon Denis Poisson(1781–1840)에 의해 제안되었다.

[그림 2] $f(x) = x^3$에 대한 적분의 사다리꼴 근사(출처: wikipedia.org)

오일러–매클로린 공식이 아름답기는 하지만, 식 (2)의 좌변에 있는 $1/2$ 성분이 눈에 거슬린다. 하지만 적분에 대한 정확한 계산을 하려면 이 성분이 꼭 필요하다. 예를 들어 [그림 2]를 보자. 리만 합(Riemann sum) 관점에서 적분에 대한 근사는 [그림 1]과 같은 직사각형도 가능하다. 하지만 더 정확한 근사는 [그림 2]와 같은 사다리꼴 형태이다. 사다리꼴 면적을 이용해 [그림 2]에 있는 사다리꼴의 면적을 계산한다.

                  (8)

그러면 양 끝점에 해당하는 $f(0)$과 $f(2)$에는 $1/2$가 곱해져야 한다. 따라서 식 (2)의 좌변에도 $1/2$ 성분이 있다.
식 (2)에서 유한 합의 시작이 $1$에서 $l+1$로 바뀐다면, 다음 식과 같이 오일러–매클로린 공식을 변경할 수 있다.

                  (9)

식 (9)의 관점으로 식 (2)를 보면, 식 (2)는 $l = 0$인 특별한 경우이다.
오일러–매클로린 공식을 적용하는 정말 좋은 예는 다음과 같은 자연수 거듭제곱의 합(sum of powers)이다.

                  (10)

식 (10)은 베르누이 수(Bernoulli number)를 만들어낸 유명하지만 간단한 계산식이다. 거듭제곱의 합 공식을 만들기 위한 처음 단계로 $f(x) = x^p$를 식 (2)에 대입한다.

                  (11)

여기서 $2M > p$, $f(x)$의 미분은 다음과 같다.

                  (12)

식 (11)을 정리하면 베르누이 수로 표현한 거듭제곱의 합 공식을 얻을 수 있다.

                  (13)

식 (2)에 증명한 오일러–매클로린 공식이 어렵다면 더 쉬운 해결책을 사용할 수도 있다. 식 (5)에서 출발해서 $n$번 항까지 합하면 다음과 같다.

                  (14)

식 (14)에 있는 베르누이 다항식까지 1차 함수로 바꾸어서 1차 미분만 가진 매우 간단한 오일러–매클로린 공식을 만든다.

                  (15)

함수 $f(x)$가 $x = 0$에서 정의되지 않으면, 식 (5)를 $2$부터 $n$까지 합하고 마지막에 $f(1)$을 더해서 식 (15)와 다른 오일러–매클로린 공식을 유도할 수도 있다.

                  (16a)

                  (16b)

식 (15)와 (16)에 나오는 정적분은 리만–스틸체스 적분(Riemann–Stieltjes integral)으로 표현하기도 한다.

[참고문헌]
[1] L. Euler, "Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (Finding the sum of any series from a given general term)," Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (Commentary of the St. Petersburg Scientist Academy), vol. 8, pp. 9–22, Oct. 1735.
[2] C. Maclaurin, A Treatise on Fluxions, Edinburgh: T. W. and T. Ruddimans, 1742.

[다음 읽을거리]

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