성공적인 베르누이 수(Bernoulli number) $B_m$을 함수로까지 확장할 수 있을까? 베르누이 수는 숫자이기 때문에, 베르누이 수의 번호 $m$이 정해지면 베르누이 수 자체는 고정된다. 하지만 매우 성공적인 베르누이 수를 단순한 숫자로 그냥 놓아둘 수는 없다.
[그림 1] 베르누이 다항식의 모습(출처: wikipedia.org)
베르누이 수를 함수 형태로 만들기 위해 다음과 같은 베르누이 수의 생성 함수(generating function)를 생각하자.
(1)
식 (1)을 변형하면 다음과 같은 베르누이 다항식(Bernoulli polynomial)을 만들 수 있다. [그림 1]처럼 모든 베르누이 다항식은 정의역에서 항상 연속이다.
(2)
여기서 제$m$차 베르누이 다항식 $B_m(x)$는 기존 생성 함수에 추가적인 매개변수 $x$를 넣어서 베르누이 수 $B_m$을 함수로까지 확장한다. 식 (2)에 베르누이 수의 생성 함수인 식 (1)을 넣어서 정리하자.
(3)여기서 $B_m$ = $B_m^-$ = $B_m^+ - \delta_{m1}$, $\delta_{mn}$은 크로네커 델타(Kronecker delta)이다. 식 (2)와 (3)을 비교해보면, 베르누이 다항식은 다음처럼 베르누이 수의 유한 합(finite sum)으로 구성된다.
(4)이와 같이 베르누이 다항식은 숫자로 된 베르누이 수를 함수로 확장시켜서 큰 의미가 있다. 하지만 베르누이 다항식은 함수화라는 의미를 넘어서는 더 큰 개념을 가지고 있다. 적분(integration)과 유한 합을 정확하게 연결하는 매개체가 바로 베르누이 다항식이다. 베르누이 다항식을 잘 적분하면, 오일러–매클로린 공식(Euler–Maclaurin formula)이란 새로운 세계를 만들 수 있다.
1. 기본(basics)
(1.1)
[증명]
베르누이 다항식의 여러 성질은 식 (2)에 제시한 생성 함수로부터 쉽게 유도할 수 있다. 예를 들어, 식 (2)에 $1-x$를 대입하면 식 (1.1)이 유도된다.
(1.2)
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베르누이 다항식의 여러 성질은 식 (2)에 제시한 생성 함수로부터 쉽게 유도할 수 있다. 예를 들어, 식 (2)에 $1-x$를 대입하면 식 (1.1)이 유도된다.
(1.2)______________________________
[$B_m(x)$의 차]
(1.2)[증명]
식 (2)에 $x+1$과 $x$를 대입해서 서로 뺀 후 정리한다.
(1.3)______________________________
2. 특정값(specific value)과 극한(limit)
(2.1)식 (2)에 $x$ = $0$ 혹은 $x$ = $1$을 대입해서 베르누이 수의 생성 함수와 비교한다.
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3. 미분(differentiation)
(3.1)[증명]
식 (2)를 $x$에 대해 미분해서 정리한다.
(3.2)______________________________
식 (3.1)을 이용하면 베르누이 다항식의 적분도 쉽게 구할 수 있다.
(3.3)여기서 $C$는 적분 상수이다.
4. 정적분(definite integral)
(4.1)[증명]
식 (3.3)에서 얻은 적분 결과에 식 (2.1)의 넷째식을 대입한다.
(4.2)______________________________
[참고문헌]
[1] N. Larson, The Bernoulli Numbers: a Brief Primer, Whitman College, 2019. (방문일 2020-07-07)
[다음 읽을거리]
1. 오일러–매클로린 공식
[다음 읽을거리]
1. 오일러–매클로린 공식
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