베르누이 다항식(Bernoulli Polynomial)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "베르누이 다항식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 베르누이 수

성공적인 베르누이 수(Bernoulli number) $B_m$을 함수로까지 확장할 수 있을까? 베르누이 수는 숫자이기 때문에, 베르누이 수의 번호 $m$이 정해지면 베르누이 수 자체는 고정된다. 하지만 매우 성공적인 베르누이 수를 단순한 숫자로 그냥 놓아둘 수는 없다.

[그림 1] 베르누이 다항식의 모습(출처: wikipedia.org)

베르누이 수를 함수 형태로 만들기 위해 다음과 같은 베르누이 수의 생성 함수(generating function)를 생각하자.

                  (1)

식 (1)을 변형하면 다음과 같은 베르누이 다항식(Bernoulli polynomial)을 만들 수 있다. [그림 1]처럼 모든 베르누이 다항식은 정의역에서 항상 연속이다.

                  (2)

여기서 제$m$차 베르누이 다항식 $B_m(x)$는 기존 생성 함수에 추가적인 매개변수 $x$를 넣어서 베르누이 수 $B_m$을 함수로까지 확장한다. 식 (2)에 베르누이 수의 생성 함수인 식 (1)을 넣어서 정리하자.

                  (3)

여기서 $B_m$ = $B_m^{-}$ = $B_m^{+}-{\delta }_{m1}$, ${\delta }_{mn}$은 크로네커 델타(Kronecker delta)이다. 식 (2)와 (3)을 비교해보면, 베르누이 다항식은 다음처럼 베르누이 수의 유한 합(finite sum)으로 구성된다.

                  (4)

이와 같이 베르누이 다항식은 숫자로 된 베르누이 수를 함수로 확장시켜서 큰 의미가 있다. 하지만 베르누이 다항식은 함수화라는 의미를 넘어서는 더 큰 개념을 가지고 있다. 적분(integration)과 유한 합을 정확하게 연결하는 매개체가 바로 베르누이 다항식이다. 베르누이 다항식을 잘 적분하면, 오일러–매클로린 공식(Euler–Maclaurin formula)이란 새로운 세계를 만들 수 있다.

   1. 기본(basics)   

[$B(1-x)$의 표현식]

                  (1.1)

[증명]
베르누이 다항식의 여러 성질은 식 (2)에 제시한 생성 함수로부터 쉽게 유도할 수 있다. 예를 들어, 식 (2)에 $1-x$를 대입하면 식 (1.1)이 유도된다.

                  (1.2)
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[$B_m(x)$의 차]

                   (1.2)

[증명]
식 (2)에 $x+1$과 $x$를 대입해서 서로 뺀 후 정리한다.

                  (1.3)
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   2. 특정값(specific value)과 극한(limit)   

                  (2.1)

[증명]
식 (2)에 $x$ = $0$ 혹은 $x$ = $1$을 대입해서 베르누이 수의 생성 함수와 비교한다.
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   3. 미분(differentiation)   

[$B_m(x)$의 미분]

                  (3.1)

[증명]
식 (2)를 $x$에 대해 미분해서 정리한다.

                  (3.2)
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식 (3.1)을 이용하면 베르누이 다항식의 적분도 쉽게 구할 수 있다.

                  (3.3)

여기서 $C$는 적분 상수이다.

   4. 정적분(definite integral)   

[$B_m(x)$의 정적분(definite integral)]

                  (4.1)

[증명]
식 (3.3)에서 얻은 적분 결과에 식 (2.1)의 넷째식을 대입한다.

                  (4.2)
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[참고문헌]

[1] N. Larson, The Bernoulli Numbers: a Brief Primer, Whitman College, 2019. (방문일 2020-07-07)

[다음 읽을거리]
1. 오일러–매클로린 공식