반사 전력과 투과 전력(Reflected and Transmitted Powers)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "반사 전력과 투과 전력"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전송선 이론
2. 전압파와 전류파
3. 전압해와 전류해의 유일성
4. 특성 임피던스의 이해
5. 전압파의 반사 계수
6. 전송선의 입력 임피던스

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[그림 1] 전원과 부하가 있는 전송선 회로

[그림 1]과 같은 전송선 회로를 생각하자. 전압원에 쏜 전력이 부하로 넘어가는 비율은 어떻게 될까? 사실 전송선 회로의 설계는 부하로 보내는 투과 전력(transmitted power)을 최대로 하는 과정이다. 먼저 페이저(phasor) 기반의 평균 전력(average power) 관점으로 입사 전력(incident power)과 반사 전력(reflected power)을 정의한다.

                        (1)

부하(load)에 걸리는 전압과 전류를 이용하면, 부하로 투과되는 전력(transmitted power)을 식 (4)처럼 구할 수 있다.

                        (2)

                       (3)

                        (4)

여기서 선로의 손실이 없는 경우에 전파 상수(propagation constant)는 $\gamma$ = $j\beta$이다. 식 (4)에서 투과 전력은 입사 전력 $-$ 반사 전력[$P_t=P_i-P_r$]이다. 식 (4)를 다른 말로 하면, 시스템에 들어가는 입사 전력은 반사 전력 $+$ 투과 전력[$P_i=P_r+P_t$]이 되어 전력 보존 법칙(conservation of power)이 성립한다는 뜻이다.

부하뿐만 아니라 전원에서도 반사가 생기면, 선로에 존재하는 전압파와 전류파는 다음과 같이 매우 복잡해진다.

                        (5)

여기서 $\gamma$ = $j\beta$이다. 전압파와 전류파는 복잡해지더라도, 손실 없는 선로를 통과해 부하쪽으로 향하는 투과 전력 $P_t$는 식 (4)처럼 $z$에 관계없이 일정하다.

                        (6)

여기서 선로에 걸리는 최초 입사 전압은 $V_i^{+}$ = $Z_0{V}_S/(Z_S+Z_0)$이다. 비슷한 방법에 따라 투과 전력과 반대 방향으로[전원쪽으로] 전달되는 반사 전력 $P_r$도 얻는다.

                        (7)

식 (6)과 (7)을 합쳐서 반사와 투과 전력의 합을 입사 전력 $P_i$로 정의한다.

                        (8)

최초 입사 전력 $|V_i^{+}{|}^2/(2Z_0)$와 비교하면서 입사 전력 $P_i$의 개념을 정립한다. 반사도 ${\mathrm{\Gamma }}_L$과 함께 전원 임피던스에 의한 반사도 ${\mathrm{\Gamma }}_S$도 존재하면, 부하 혹은 전원으로 향하는 파동은 공진 항 $1-{\mathrm{\Gamma }}_S{\mathrm{\Gamma }}_L{e}^{-j2\beta l}$에 따라 전원과 부하에서 계속 반사된다. 전원만 집중해서 보면, 전압 $V_S$는 고정되지만 다중 반사로 인해 전원에서 바라본 입력 임피던스(input impedance) $Z_{\mathrm{i}\mathrm{n}}$은 계속 흔들리고 $V_S$가 공급하는 전류도 같은 비율로 바뀐다. 따라서 전압 $V_S$가 공급하는 입사 전력 $P_i$는 최초 입사 전력과 다중 반사를 포함해 식 (8)처럼 표현된다.