전송선의 입력 임피던스(Input Impedance of Transmission Line)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "입력 임피던스"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전송선 이론
2. 전압파와 전류파
3. 전압해와 전류해의 유일성
4. 특성 임피던스의 이해
5. 전압파의 반사 계수

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[그림 1] 전원과 부하가 있는 전송선 회로

전송선 이론(transmission line theory)에서 매우 중요한 지표인 반사 계수(reflection coefficient)를 이용하면 임의 위치에서의 입력 임피던스(input impedance)를 쉽게 정의할 수 있다. 전송선의 손실이 없을 때 임의 위치에서의 반사 계수 $\Gamma_{\rm in}$는 다음처럼 정의할 수 있다.

                       (1)

                        (2)

그러면 식 (1)에 의해 입력 임피던스 $Z_{\rm in}$은 아래와 같다.

                        (3)

식 (3)을 $Z_{\rm in}$에 대해 정리하고 식 (2)를 대입하면 부하(load)와 특성 임피던스(characteristic impedance)로 표현한 입력 임피던스 식을 얻을 수 있다.

                        (4)

식 (4)에서 정의한 입력 임피던스는 반사 계수가 들어가 있어 무언가 새로울 것 같지만, 회로 이론의 입력 임피던스와 동일한 정의를 사용한다. 즉, 아래처럼 특정 위치[$z = -l$]의 총전류[$I_{\rm in}$]와 총전압[$V_{\rm in}$]의 비율을 입력 임피던스로 정의하면 식 (4)와 동일하다.

                        (5)

여기서 아래 첨자 $i$는 입사파, $r$은 반사파를 의미한다. VSWR(Voltage Standing Wave Ratio) 개념으로 보면 정재파가 최대 혹은 최소가 되는 지점에서 입사파와 반사파의 상대 위상은 각각 $0^\circ$ 혹은 $180^\circ$가 되므로, 이 지점에서 측정한 입력 임피던스는 항상 실수가 된다. 또한 식 (4)를 바탕으로 다양한 부하 조건에 대한 입력 임피던스를 계산할 수 있다.

[표 1] 부하 조건에 대한 입력 임피던스

[표 1]을 보면 반사가 없는 경우, 즉 부하가 특성 임피던스에 정합(matching: $Z_L = Z_0$)되면 항상 $Z_{\rm in} = Z_0$이다. 부하가 단락(short)이나 개방(open)된 경우는 길이에 따라 $Z_{\rm in}$이 변한다. 전송선의 길이가 짧은 경우[$l \approx 0$]는 단락 부하(short load)는 인덕턴스(inductance) $L$을 가진다. 반대로 개방 부하(open load)는 전기 용량(capacitance) $C$를 나타낸다. 손실 없는 전송선 조건을 이용하면 $l$이 매우 짧은 경우의 입력 임피던스를 다음처럼 전송선 관점으로 표현할 수 있다.

                       (6)

                    (7)

여기서 $L_{\rm ckt}$, $C_{\rm ckt}$는 회로 이론의 L, C를 의미한다. 전송선 길이가 1/4파장(quarter-wave)인 경우는 부하가 극적으로 변화한다. 여기서 $\lambda_g$는 관내 파장(guided wavelength: 전송선 내부에 존재하는 등가적인 파장)이다. $l = \lambda_g/4$를 식 (4)에 대입하면 매우 재미있는 관계식을 다음과 같이 얻는다.

                        (8)

즉, 1/4파장을 움직이면 입력 임피던스는 부하 임피던스(load impedance)의 역수 혹은 부하 어드미턴스(load admittance)에 비례한다.

[다음 읽을거리]

1. 안테나의 입력 임피던스