2011년 9월 4일 일요일

전송선의 입력 임피던스(input impedance of transmission line)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "입력 임피던스"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전송선 이론
2. 전압파와 전류파
3. 전압해와 전류해의 유일성
4. 특성 임피던스의 이해
5. 전압파의 반사 계수

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[그림 1] 전원과 부하가 있는 전송선 회로

전송선 이론(transmission line theory)에서 매우 중요한 지표인 반사 계수(reflection coefficient)를 이용하면 임의 위치에서의 입력 임피던스(input impedance)를 쉽게 정의할 수 있다. 전송선의 손실이 없을 때 임의 위치에서의 반사 계수 $\Gamma_{\rm in}$는 다음처럼 정의할 수 있다.

                       (1)

                        (2)

그러면 식 (1)에 의해 입력 임피던스 $Z_{\rm in}$은 아래와 같다.

                        (3)

식 (3)을 $Z_{\rm in}$에 대해 정리하고 식 (2)를 대입하면 부하(load)와 특성 임피던스(characteristic impedance)로 표현한 입력 임피던스 식을 얻을 수 있다.

                        (4)

식 (4)에서 정의한 입력 임피던스는 반사 계수가 들어가 있어 무언가 새로울 것 같지만 회로 이론의 입력 임피던스와 동일한 정의를 사용한다. 즉, 아래처럼 특정 위치($z = -l$)의 총전류($I_{\rm in}$)와 총전압($V_{\rm in}$)의 비율을 입력 임피던스로 정의한 것이 식 (4)이다.

                        (5)

여기서 아랫첨자 $i$는 입사파, $r$은 반사파를 의미한다.
또한 식 (4)를 바탕으로 다양한 부하 조건에 대한 입력 임피던스를 계산할 수 있다.

[표 1] 부하 조건에 대한 입력 임피던스

[표 1]을 보면 반사가 없는 경우, 즉 부하가 특성 임피던스에 정합(matching: $Z_L = Z_0$)되면 항상 $Z_{\rm in} = Z_0$이다. 부하가 단락(short)이나 개방(open)된 경우는 길이에 따라 $Z_{\rm in}$이 변한다. 전송선의 길이가 짧은 경우($l \approx 0$)는 단락 부하(short load)는 인덕턴스(inductance) $L$을 가진다. 반대로 개방 부하(open load)는 정전 용량(capacitance) $C$를 나타낸다. 손실없는 전송선 조건을 이용하면 $l$이 매우 짧은 경우의 입력 임피던스를 다음처럼 전송선 관점으로 표현할 수 있다.

                       (6)

                    (7)

여기서 $L_{\rm ckt}$, $C_{\rm ckt}$는 회로 이론의 L, C를 의미한다.
 1/4파장(quarter-wave)인 경우는 부하가 극적으로 변화한다. 여기서 $\lambda_g$는 관내 파장(guided wavelength: 전송선 내부에 존재하는 등가적인 파장(wavelength))이다. $l = \lambda_g/4$를 식 (4)에 대입하면 매우 재미있는 관계식을 다음과 같이 얻는다.

                        (8)

즉, 1/4파장을 움직이면 입력 임피던스는 부하 임피던스(load impedance)의 역수 혹은 부하 어드미턴스(load admittance)에 비례한다.

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댓글 31개 :

  1. 좋은 글 잘 보고 있습니다. 그런데 헷갈리는게 전송선에서 line이 2개인데 부하에서 반사가 된다는 것이 위쪽 선에서 반사가 된다는 것인지 아래쪽에서 반사가 된다는 것인지 잘 모르겠습니다. 부하임피던스가 0과 무한대일 때 반사계수가 각각 -1과 1인데 그러면 short일때는 파가 다 아래쪽으로 전파되고 open일때는 위쪽에서 다 반사된다는 것인지? 잘 이해가 안됩니다. ㅠㅠ

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  2. 그렇게 보시면 안되고 위쪽 (+)선과 아래쪽 (-)선이 만드는 전기장과 자기장이 반사된다고 봐야합니다. 전기장이란 개념이 어려워서 전압파를 정의한 것이고요. 물론 전기장으로 전압파를 정의합니다.

    반사계수가 -1과 1인 경우는 반사되는 위상을 봐야합니다. 반사계수 = 1이면 입사 전압파와 동일한 위상으로 반사 전압파(같은 모양)가 생깁니다. 반사계수 = -1이면 입사 전압파와는 180도 다른 반사 전압파(뒤집어진 모양)가 생깁니다.

    감사합니다.

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    1. 아.. 그렇다면 전압파라는것이 위쪽 +선과 아래쪽 -선이 같이 만들어내는 것이라는 말씀이십니까?

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    2. 맞습니다. 이름은 전압파지만 전기장으로 생각해야 합니다.

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  3. 안녕하세요 궁금한 점이 있어

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  4. Thanks for the lesson. btw, would you let me know the definition of input impedance in this case(transmission line)? (of course in Korean?) and sorry for my english typing becaouse of special circumstances.

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    1. Thank you for your visit, Mx. Anonymous.
      The definition of input impedance ($Z_{\rm in}$) in the transmission line theory is the same as that in the circuit theory ($Z_{\rm in} = V_{\rm in}/I_{\rm in}$). But you need to remember that $Z_{\rm in}$ should be defined via the reflection coefficient as depicted in Eqn. (4).

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  5. 1. 식(1)에서 Z_L을 볼때의 반사계수가 식(1)이므로,
    z=-l인 지점에서의 반사계수는 식(3)처럼 될 수 있다고 보는 건가요?

    식(4)유도 한참 해매다가, 오일러공식으로 tan항을 표현하게 하니 되대요.
    그리고 식(4)자체가 z=-l인 조건이므로, [표1]의 2열까지는 이해가 갔는데요.
    3열부터가 이해가 안가서요.
    3열에서 구조적으는 아주적은 L성분과 C성분이 생긴다는 것은 감으로 오는데요.
    계산을 어떻게 하는지 모르겠습니다.
    Z_L=0일때, l=0으로 해서 계산을 해버리면, jZ_0가 나와 버리는데요.

    2. [표1]에서 l≒0 일때, l이 0과 거의 같을때, tan(βl)=βl이 되는거 같은데요. 어떻게 되는지 모르겠습니다.
    2-1. Z_0 βl = ωL, Z_0 /(βl)= 1/(ωC) 이게 어떻게 되는지 모르겠습니다.

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    1. 1. 예 맞습니다.

      탄젠트 함수의 테일러 급수를 고려하면 유도할 수 있습니다. ($x$가 작을 때 $\tan x \approx x$)

      L, C를 넣은 것은 등가적으로 보기 때문입니다.
      임피던스가 나왔는데 순허수면 L 혹은 C가 있다고 등가적으로 생각하면 편합니다. L, C만 있다면 회로 이론 적용이 가능하니까요.
      전문가들도 전송선 이론은 복잡하게 생각합니다.

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    2. 감사드립니다.
      과거에 인두기 잡고, NA 앞에서 삽질을 많이 해서 인지, 전자기학 보다는 쉽게 늦겨 지네요.

      환상적인 밤과 좋은 주말~~~

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    3. 한가지 궁금한게요. l=0일때가 아닌, l≒0 일때를 고려한다는 것은 먼가 중요하다는 거 같은데요.
      왜 l≒0때를 고려 하는 것인가요?

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    4. $l = 0$이면 $Z_{\rm in} = Z_L$이 되어 큰 의미가 없습니다.
      $l$을 약간 증가시키면 L, C가 나타난다는 것을 보이는 게 [표 1]의 목적입니다.

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    5. l≒0 관련하여, Z_0=root(L/C)와 β=ω root(LC) 하면, L와 C 형태로 나오는데요. l이 없어지지가 않아서요.

      혹시
      http://ghebook.blogspot.kr/2011/07/voltage-and-current-waves.html의 식(17)과 관련이 되는건가요?
      (식(17) 관련하여서는 이해 안하고 넘어 갔었는데요.)

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    6. $Z_0, \beta$ 정의에 쓰인 L, C는 단위가 [H/m], [F/m]입니다.

      말씀하신 문서의 식 (17)과는 관계 없습니다.

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    7. 추가된 내용을 보면, 관련이 있는 듯한데요. T.T

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  6. 안녕하세요 전송선 이론을 공부하면서 질문이 생겼습니다! Quarter wave section 이나 Half-wave section과 같이 특수한 경우는 실제 전송선을 이용할 때 주파수를 맞추는 것인가요? 아니면 전송선의 길이를 조정하는 것인가요? 또한 부하 임피던스를 실험적으로 측정하고 싶을때(전압계로) 어떻게 측정할 수 있나요? 고맙습니다

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    1. 1. 선택 사항입니다. 주파수를 맞출 수도 있고, 길이를 맞출 수도 있어요. 필요한 응용에 맞게 정하면 됩니다.

      2. 전송선 이론이 필요한 경우라면, 회로망 분석기(network analyzer)를 사용해서 반사도를 측정해야 합니다. 그 후 식 (3)과 (4)를 이용해 부하 임피던스를 환산하면 됩니다.

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  7. 질문이 있습니다. 회로이론 상에서는 쇼트회로를 부하임피던스자리에 넣어주면 과도한 전류가 걸리기 때문에 잘못된 회로로 판단하는데 전자기학 측면에서 보면 닫힌회로를 넣어주어도 정상적인 회로로 보는데 이게 전자기학측에서는 고주파수대역을 다뤄서 가능하고 회로이론 측은 저주파수를 다뤄서 그렇다고 하는데 이유를 알 수 있을까요

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    1. 1. 부하가 단락이면 전반사가 일어납니다. 즉, 반사도를 통해 부하 특성을 추적합니다.

      2. 회로 이론과 전송선 이론의 차이는 아래 링크 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.com/2011/07/transmission-line-theory.html

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  8. 특성임피던스는 Z_0 이라고 하면 R+jX 로 정리되어 나타나는게 이게 squre[(R+jwl)/(G+jwc)]를 간단히 바꾼 값이잖아요 그런데 여기서 R값은 왜항상 0보다 같거나 커야하나요 음수가 될수 없는 이유는 뭐가 있나요. 직감적인 설명외에 확실한 설명방법은 없나요?

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    1. 파동적 관점은 아래 댓글에도 설명했습니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/08/characteristic-impedance.html

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  9. 질문이 있습니다.
    부하저항(ZL)이 저항(R)일 때, 커패시터(C)일 때, 인덕터(L)일 때 각각의 경우에 전압파의 상태는 어떻게 달라지나요?

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    1. 아래 반사도 부분을 보세요, 익명님. ^^

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/09/reflection-coefficient-of-voltage-wave.html

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  10. 항상 좋은 자료 감사히 보고 있습니다!
    이번 전송선 관련해서 질문이 있습니다. Ansoft란 프로그램으로 Wilkinson Divider를 설계중인데
    가장 기본형태인 입력선로의 임피던스 Zo=50옴, 사이에 선로 root2*Zo, 선로간 저항 2Zo 값으로 시뮬레이션 때는 이상적인 분배기로 동작하는 것을 확인하였습니다. 그런데 Zo값을 100옴으로 2배 올리자 분배가 거의 이루어지지 않고 대부분의 전압이 반사되어 나오는데... 값 자체로는 정합에 문제가 없어야 하는데 이유를 모르겠습니다.

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    1. 특성 임피던스가 50 옴이든 100 옴이든 모두 다 잘 설계되어야 합니다. (100 옴에 맞게 모든 수치를 조정하셨겠지요?) 전력 분배기 전체의 설계 수치를 잘 살펴보시면 틀린 부분이 있을 것입니다.

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    2. 다 같이 변화시킨다고 했는데 빠트린 부분이 있나 다시 확인해봐야 할 것 같습니다 감사합니다^^

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  11. 무손실선에서, 부하가 단락된 상태에서는 V(z') = i sin(z')꼴로 나오니 순시값이 0이 되는것이 맞는건가요?

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    1. 정재파에서 |V(z')|는 실수지만 V(z')의 값은 허수이니 정재파는 실제 측정하면 모든 지점에서 0으로 나와야 하지않을까요?

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    2. 아! exp(jwt)를 곱하면 실수가 나오는군요...

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    3. 혼자 답을 잘 구하셨네요, 경윤님. ^^ 맞습니다, 뒤쪽에 위상 항이 있어서 페이저는 허수더라도 실수 부분이 생깁니다.

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