2011년 12월 15일 목요일

베셀 함수(Bessel Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "베셀 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 베셀의 미분 방정식
2. 복소 함수론의 이해


[그림 1] 자라 세마리(출처: wikipedia.org)

약간 고난이도 특수 함수에 해당하는 베셀 함수(Bessel function)는 수학에 약한 사람을 놀라게 하는 엄청 큰 솥뚜껑이다. 하지만 자라는 아니니까 너무 놀랄 필요는 없다. 단지 지수 함수(exponential function), 삼각 함수(trigonometric function), 로그 함수(logarithmic function)만 보던 사람에게만 매우 어려워 이해하기 힘든 함수로 보인다. 베셀 함수는 함수값 계산, 미분과 적분, 입력 변수의 분해가 잘 안되어서 난해하게 느껴진다. 하지만 조금만 더 생각해보자. 지수 함수, 삼각 함수, 로그 함수 등을 실제 수치 해석 기법으로 계산해 본 적이 있는가? 대부분 없을 것이다. 초등 함수의 미분과 적분을 세세히 아는가? 대충은 알지만 세밀한 수학적 증명을 한 경우도 드물다. 지수 함수, 삼각 함수, 로그 함수가 쉽게 느껴지는 이유는 우리가 많이 보고 들었기 때문이다. 베셀 함수는 자주 보고 듣던 함수가 아니라서 어렵게 느껴질 뿐이다. 또한 베셀 함수는 식 (1)과 (2)에 있는 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)의 해이므로, 미분 방정식을 이용하여 함수의 특성을 살펴야 한다. 이런 접근법에 대한 훈련이 안되어 있으면, 베셀 함수를 포함한 여러 특수 함수를 이해하기가 무척 어렵다.

                      (1)

                      (2a)

                      (2b)

여기서 $y(\xi x)$는 $y(x)$의 변수 치환이다. 우리가 베셀 함수를 공부하는 이유는 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system) 관련 문제를 풀 때 빠지지 않고 항상 출현하기 때문이다. 즉 물체의 모양이 원통이면 당연히 미분 문제의 좌표계를 원통 좌표계로 택한다. 그러면 이 미분 방정식의 해는 베셀 함수의 선형 결합으로 표현된다.
하지만 베셀 함수를 컴퓨터 코드로 직접 구현하기는 매우 어렵기 때문에, 주로 수치 해석 전문가가 작성한 결과를 이용해서 베셀 함수를 계산한다. 차수(order, $n$ or $\nu$)가 실수이고 입력 변수(argument, $x$ or $z$)는 실수 혹은 복소수인 베셀 함수의 계산은 [5]를 주로 사용한다. 차수가 복소수로 확장된 베셀 함수의 코드는 [6]을 참고할 수 있다. 또한 베셀 함수를 수치 계산하는 알고리즘(algorithm or algorism)은 아주 예전에 만들어졌기 때문에 주로 포트란(Fortran: IBM 수학 공식 번역 체계, The IBM Mathematical Formula Translating System)으로 작성되었다.


   1. 기본(basics)   

[음의 차수]

                      (1.1)

                      (1.2)

[증명]
식 (1.1)을 증명하기 위해 일반화된 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind)를 생각한다.

                      (1.3)

식 (1.3)에 $\nu$ = $-n$을 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.

     (1.4)

여기서 감마 함수(gamma function)의 입력에 음의 정수[$m-n+1 \le 0$]가 들어가면 무한대가 되는 성질을 이용한다.[∵ 감마 함수의 그래프를 보면 음의 정수에서 감마 함수의 크기가 무한대 됨을 볼 수 있다. 혹은 식 (6.4)의 오일러 반사 공식을 봐도 음의 정수에서 감마 함수가 발산함을 증명할 수 있다.] 식 (1.2)는 다음에 제시한 제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind)의 정의를 이용하면 쉽게 증명된다.

                      (1.5)

식 (1.5)에서 $\nu$ = $-n$을 대입하면 다음을 얻을 수 있다.

                   (1.6)
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[음의 입력 변수: 패리티 혹은 동등성(parity)]

                   (1.7)

                   (1.8)

[증명]
베셀 함수를 무한 급수로 표현한 식에 음의 입력 변수를 대입하여 증명한다. 제2종 베셀 함수 경우는 무한 급수 외에  로그 함수가 있으므로, $\log(-|x|)$ = $\log(|x|) + i \pi$로 인해 식 (1.8)과 같은 결과가 나온다.
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[한켈 함수(Hankel function)에 대한 음의 입력 변수: 패리티 혹은 동등성(parity)]

                   (1.9)

                   (1.10a)

                   (1.10b)

[증명]
한켈 함수의 정의에 식 (1.7)과 (1.8)을 대입하여 증명한다. 예를 들면 식 (1.9)의 증명은 다음 절차를 거친다.

                   (1.11)
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[베셀 함수의 관계]

                      (1.12)

                      (1.13)

[증명]
제1종 한켈 함수의 정의제2종 베셀 함수의 정의를 대입해서 정리하면 식 (1.13)의 첫째식을 증명할 수 있다.

                      (1.14)

마찬가지 방법으로 식 (1.13)의 둘째식도 유도한다.
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[일반화된 음의 차수]

                      (1.15)

[증명]
식 (1.13)에서 $\nu$에 $-\nu$를 치환해서 증명한다.
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                      (1.16)

[증명]
식 (1.12)에 식 (1.15)를 대입해서 유도한다.
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만약 식 (1.16)의 차수 $\nu$가 정수라면, 식 (1.16)은 식 (1.1)과 (1.2)로 간략화된다.

                      (1.17)

[증명]
식 (1.16)을 식 (1.17)의 좌변에 대입해서 양의 차수로 바꾸어서 정리한다.
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식 (1.17)은 $d/dx$ 혹은 $d/dy$를 적용해도 성립한다.

[해석적 연속(analytic continuation)]

                      (1.18)

여기서 $m$은 정수, $z$는 복소수이다.

[증명]
제1종 베셀 함수의 무한 급수 표현식에 의하면 $J_\nu (z)/ z^{\nu}$는 $0$을 제외한 모든 복소 평면에서 해석적이다. 따라서 식 (1.18)이 성립한다.
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제1종 베셀 함수 $J_\nu (z)$의 차수 $\nu$가 정수가 아닌 실수라면, $z^\nu$로 인해 음의 실수축에 가지 자름(branch cut)이 생긴다. 우리가 계산할 때는 가지 자름을 피하므로, 음의 실수축은 $J_\nu (z)$의 정의역에서 보통 제외한다. 하지만 식 (1.18)의 $e^{m \pi i}$처럼 원점에 대한 회전 회수를 명확히 하면, $z$ = $0$을 제외한 모든 복소 영역에서 $J_\nu (z)$를 해석적이게 할 수 있다. 즉 $z$가 음의 실수축을 넘어갈 때, 식 (1.18)에 기반해 $J_\nu (z)$를 다음과 같이 바꾸면 함수값은 계속 연속적으로 변하게 된다.

                      (1.19)

여기서 임의로 작은 양수 $\delta$에 대해 $\operatorname{arg}(z)$ = $\pi-\delta$와 $\pi+\delta$는 식 (1.19)의 좌변과 우변으로 각각 계산하며, 식 (1.19)의 우변에서 $z$의 편각이 $\pi$를 초과하면 $z e^{-2 \pi i}$의 편각은 $-\pi$부터 다시 시작한다. 이러한 복소 함수의 체계적인 정의역 확장을 해석적 연속(analytic continuation)이라 한다.

                      (1.20)

[증명]
식 (1.14)처럼 제2종 베셀 함수의 정의에 식 (1.18)을 대입해서 식 (1.20)을 유도한다.
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식 (1.18)과 (1.20)의 차수 $\nu$가 정수, $m$ = $1$이고, $z$가 양의 실수라면, 식 (1.18)과 (1.20)은 각각 식 (1.7)과 (1.8)이 된다.

                      (1.21)

[증명]
식 (1.13)의 첫째식에 식 (1.5)와 (1.18)을 대입해서 정리한다.

             (1.22)

마찬가지 방식으로 식 (1.21)의 둘째식을 증명한다.
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식 (1.21)의 첫째식과 둘째식에 $m$ = $1$과 $-1$을 각각 대입해서 다음처럼 단순화된 관계식을 얻는다.

                      (1.23)

식 (1.23)의 첫째식에서 $\nu$가 정수이고 $z$가 양의 실수인 경우는 식 (1.9)가 된다. 하지만 식 (1.23)의 둘째식은 식 (1.10)이 되지 않는다. 이는 식 (1.23)에 있는 $e^{-\pi i}$ 때문이다. 다시 말해 $e^{-\pi i}$가 의미하는 음의 실수축의 약간 아래에서 계산한 결과는 식 (1.23)의 둘째식이지만, 식 (1.10)은 음의 실수축에서 약간 위인 $e^{\pi i}$에서 정의하기 때문이다.

[켤레 복소수(complex conjugate)]

                      (1.24)

                      (1.25)

[증명]
식 (1.3)에 제시한 제1종 베셀 함수의 무한 급수 표현식을 이용해서 식 (1.24)의 첫째식을 증명한다. 여기서 감마 함수의 켤레 복소수 관계를 이용한다. 식 (5.3)에 있는 제2종 베셀 함수의 정의에 켤레 복소수를 적용해서 식 (1.24)의 둘째식도 증명한다.
식 (1.24)에 의해 식 (1.25)도 자연스럽게 성립한다. 예를 들어, $\left[H_\nu^{(1)}(z) \right ]^*$ = $J_{\nu^*}(z^*) - i N_{\nu^*}(z^*)$ = $H_{\nu^*}^{(2)}(z^*)$처럼 증명이 가능하다
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   2. 함수 표현식(function representation)   

[푸리에 변환]

                      (2.1)

[증명]
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[삼각 함수의 거듭제곱]

                      (2.2)

여기서 $\nu > -1/2$이다.[$\because$ 유도 과정에 베타 함수의 적분 표현식을 사용하기 때문에]  

[증명]
증명을 위해 식 (1.3)을 꼼꼼히 뜯어본다. 르장드르의 2배 공식(Legendre's duplication formula)을 적용하면 다음을 얻는다.

                      (2.3)

                      (2.4)

식 (2.4)를 식 (1.3)에 대입하여 정리해보자[1].

                      (2.5)

또한, 베타 함수(beta function)의 적분 표현식에 의해 다음을 알 수 있다.

                      (2.6)

코사인 함수(cosine function)테일러 급수(Taylor series)는 다음과 같다.

                         (2.7: 삼각 함수의 합차 공식)

식 (2.6)과 (2.7)을 식 (2.5)에 대입하면 다음을 얻는다[1].

                  (2.8)

식 (2.2)처럼 적분 구간을 확장하려면, $\theta$ = $(0, \pi/2)$에 대해 $\phi$ = $\pi - \theta$로 변수 치환하면 된다.
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[베셀의 적분(Bessel's integral)]

   
                      (2.9a)

                      (2.9b)

                      (2.9c)

여기서 $n$은 정수이다. 피적분 함수에 코사인이 들어간 식 (2.9a)의 적분은 식 (5.2)에 제시되어 있다.

[증명]
차수 $n$ = $0$인 경우는 식 (2.2)를 통해 증명 가능하다.

                      (2.10)

차수 $n$ = $1$인 경우는 식 (5.6)을 이용할 수 있다.

                (2.11)

다음으로 식 (2.9a)가 식 (5.1)의 재귀 관계를 만족함을 보인다.

                      (2.12)

식 (2.12)에 식 (2.10)과 (2.11)을 대입하면 모든 $n$에 대해 식 (2.9a)의 첫째식이 성립함을 증명할 수 있다. 식 (2.9a)의 둘째식은 식 (2.9a)의 첫째식에서 적분 구간을 $(-\pi, 0)$, $(0, \pi)$로 나누고 변수 치환하면 쉽게 증명된다.
이번에는 식 (2.9a)로 만든 식 (3.1a)의 야코비–앙어 전개(Jacobi–Anger expansion)에 바탕을 두고, 식 (3.1a)의 둘째식에 푸리에 급수의 직교성을 적용함으로써 식 (2.9b)를 유도한다. 식 (2.9b)의 $n$에 $-n$을 대입한 식과 식 (2.9b)를 더하거나 빼서 식 (2.9c)도 증명한다.
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[생성 함수에 대한 적분]

                      (2.13)

여기서 $n$은 정수이며 폐경로 $c$는 $t$ = $0$을 감싼다.

[증명]
식 (3.7)의 생성 함수(generating function)에 복소 함수론의 유수 정리(留數定理, residue theorem)를 적용하면 증명된다.
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[그림 2.1] 한켈 경로 $\mathcal{H}$의 원점 대칭 경로 $\mathcal{C}$ = $-\mathcal{H}$

[쉴레플리의 적분(Schläfli's integral)]

                      (2.14)

여기서 적분 경로 $\mathcal{C}$ = $-\mathcal{H}$는 [그림 2.1]에 제시된 대로 한켈 경로(Hankel contour) $\mathcal{H}$에 원점 대칭이다.

[증명]
식 (2.14)의 우변에 있는 적분을 다음처럼 변수 치환해서 쉴레플리의 제1 적분(Schläfli's first integral)을 만든다[2].

                      (2.15)

식 (2.15)에 있는 경로 적분(contour integral)테일러 급수 전개(Taylor series expansion)하면, 다음 결과를 얻는다[2].

        (2.16)

여기서 복소 적분의 경로를 $\mathcal{C}$에서 $\mathcal{H}$로 바꾼다. 적분 경로 $\mathcal{H}$는 한켈 경로이다. 식 (2.16)에 있는 $f(w)$를 식 (2.15)에 대입해 식 (1.3)과 비교하면 증명이 끝난다.
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식 (2.13)과 (2.14)를 비교해 보면, 정수 $n$이 실수 $\nu$로 치환된다. 정말 이렇게 단순할까? 우리는 아는 만큼만 볼 수 있다. 이 두 식에서 중요한 차이는 적분 경로 설정이다. 한켈 경로로 적분 경로를 선택하면, 베셀 함수의 정의에 나오는 감마 함수(gamma function)의 역수를 복소 적분으로 쉽게 표현할 수 있다. 즉, 복소 적분이란 새로운 틀로 베셀 함수를 바라보는 방법이 식 (2.14)이다.

[베셀의 적분에 대한 쉴레플리의 일반화(Schläfli's generalization of Bessel's integral)]

   
            (2.17)

[증명]
식 (2.14)와 [그림 2.1]에 있는 적분 경로를 다음과 같이 바꾸어본다.

     (2.18)

식 (2.18)의 마지막 적분은 변수를 치환하여 다음처럼 증명한다.

                      (2.19)
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[그림 2.2] 한켈 경로의 원점 대칭 경로 $\mathcal{C}$와 관련된 사각형 경로 $\mathcal{R}$

[쉴레플리–좀머펠트 적분(Schläfli–Sommerfeld integral)] [4]

                      (2.20)

여기서 사각형 경로 $\mathcal{R}$은 [그림 2.2]와 같다.

[증명]
식 (2.14)에 바탕을 두고 $t$ = $e^w$라고 변수 치환한다. 그러면 [그림 2.1]에 나온 $\mathcal{C}$는 사각형 경로 $\mathcal{R}$로 바뀌고 식 (2.14)도 아래와 같이 변형된다.

                      (2.21)
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식 (2.20)은 쉴레플리Ludwig Schläfli(1814–1895)가 가장 처음에 만든 적분이며, 베셀의 적분을 일반화한 식 (2.17)은 그 다음에 유도되었다. 당연하지만 식 (2.20)의 적분 구간을 [그림 2.2]로 선택해서 식 (2.17)을 쉽게 증명할 수 있다.

                      (2.22)

실수가 정의역인 베셀 함수의 적분 표현식에서 실수 $x$ 대신 복소수인 $z$를 치환해서 정의역을 복소수 영역으로 손쉽게 확장할 수 있다. 다만 적분 자체가 수렴해야 하므로, 식 (2.20)에 의해 $\Re[z] > 0$ 혹은 $|\arg(z)| < \pi/2$인 조건이 반드시 필요하다.

                      (2.23)

                      (2.24)

복소수 $z$에 대한 편각의 절대값이 $\pi/2$가 되면, 새로운 조건이 필요하다. 식 (2.24)에서 $z \sinh t$는 감쇠를 주지 못하므로, $\Re[\nu] > 0$이란 수렴 조건을 추가해야만 적분이 잘 수렴한다. 즉, 순허수 조건인 $\arg(z)$ = $\pm \pi/2$라면, 쉴레플리 적분의 수렴 조건은 $\Re[\nu] > 0$이 된다.

[그림 2.3] 한켈 경로의 원점 대칭 경로 $\mathcal{C}$의 여러 가지 변형

식 (2.15)를 복소수로 확장할 때에 필요한 조건은 무엇일까? 먼저 $u$ = $zt/2$로 변수 치환해서 식 (2.15)를 복소 영역으로 확대한 결과는 다음과 같다.

                      (2.25)

여기서 식 (2.14)에 나온 원래 경로인 $\mathcal{C}$는 원점을 제외하고 $\Re[t] < 0$을 만족하도록 [그림 2.3]처럼 자유롭게 변형할 수 있고, 식 (2.25)의 새로운 $\mathcal{C}$는 $u$ = $zt/2$에 따라 복소 평면 상에서 회전한다. 식 (2.25)의 적분 경로를 이해하기 위해 적분 변수 $u$가 움직이는 특성을 상상한다. 예를 들어, $\arg(z) \approx \pi/2$라면, [그림 2.3]의 왼쪽 경로를 $t$의 $\mathcal{C}$로 택해서 $\Re[u] < 0$이 되도록 할 수 있다. 반대로 $\arg(z) \approx -\pi/2$가 되더라도 [그림 2.3]의 오른쪽 경로에 의해 여전히 $\Re[u] < 0$을 만족한다. 또한 변수 치환해서 만든 식 (2.25)에 등장하는 적분의 수렴성은 $e^u$가 결정하고 $z$와는 상관이 없어진다. 즉, 원점을 제외하고 $\Re[u] < 0$이 되도록 적분 경로 $\mathcal{C}$를 잘 선택하는 한, 식 (2.25)는 $z$의 편각에 관계없이 언제나 수렴한다. 결국 식 (2.25)는 식 (2.23)보다 더 일반화되기 때문에, 여러 가지 베셀 함수의 문제를 풀 때 매우 유용하다. 예를 들어, 변형 베셀 함수(modified Bessel function)의 적분 표현식을 만들 때에 식 (2.25)는 중요한 출발점이 된다.


   3. 야코비–앙어 전개(Jacobi–Anger expansion)   

야코비–앙어 전개(Jacobi–Anger expansion)는 복소 지수 함수와 제1종 베셀 함수를 연결하는 매우 중요한 공식이다. 야코비Carl Gustav Jacob Jacobi(1804–1851)는 타원 함수(elliptic function)야코비 행렬(Jacobian) 등으로 워낙 유명해서 익숙한 이름이지만, 앙어Carl Theodor Anger(1803–1858)는 조금 생소하다. 수학자 겸 천문학자인 앙어는 베셀 함수를 일반화시킨 베셀Friedrich Wilhelm Bessel(1784–1846)의 제자이다. 그는 베셀이 천문대장인 쾨니히스베르크 천문대(Königsberg Observatory)에서 훈련을 받았고, 이후에 스승의 모범을 따라 천문학자로서 천문학과 수학을 잘 발전시켰다.

[야코비–앙어 전개]

                      (3.1a)

                      (3.1b)

[증명]
식 (2.9a)에 있는 베셀의 적분은 푸리에 급수(Fourier series)에서 계수를 구하는 과정과 같다. 따라서, 식 (2.9a)를 푸리에 급수 관점으로 쓰면 식 (3.1a)의 첫째식을 얻을 수 있다. 식 (3.1a)의 첫째식에 있는 사인 함수(sine function)를 코사인 함수(cosine function)로 바꾸면 식 (3.1a)의 둘째식이 얻어진다. 다음 단계로 식 (3.1a)의 둘째식을 $x, \theta$에 대해 각각 편미분해서 식 (3.1b)를 유도한다.
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식 (3.1a)의 둘째식을 활용하면 다음 적분을 얻을 수 있다. 아니면 식 (2.9a)의 첫째식을 변수 치환하면 된다.

                      (3.2)

야코비–앙어 전개와 베셀 함수의 점근식(asymptote of Bessel function)을 이용하면 균일 평면파(uniform plane wave)를 디랙 델타 함수(Dirac delta function)와 연결시킬 수 있다.

          (3.3)

식 (3.3)에서 두 개의 디랙 델타 함수가 출현하는 이유는 균일 평면파의 특징 때문이다. 원점을 기준으로 보면 $\phi$ = $180^\circ$ 방향에서 평면파가 원점으로 들어와서 $\phi$ = $0^\circ$ 방향으로 평면파가 빠져나간다. 이 상황을 수학식으로 표현한 결과가 식 (3.3)이다. 식 (3.3)을 변형하면, 임의각인 $\phi$ = $180^\circ + \phi_0$에서 들어와서 $\phi$ = $\phi_0$로 빠져나가는 평면파는 다음처럼 표현된다.

             (3.4)

식 (3.4)를 한켈 함수(Hankel function)로 다시 표현하면, 평면파와 한켈 함수의 수학적 관계를 증명할 수 있다.

                      (3.5)

반원 상의 푸리에 변환을 사용해서 손실이 있는 균일 평면파의 극한도 유도할 수 있다.

                      (3.6)

여기서 $0 \le \phi \le \pi$이다.

[생성 함수(generating function)]

                      (3.7)

[증명]
오일러의 공식(Euler's formula)을 이용해 식 (3.1)의 사인 함수를 다음처럼 치환하면, 베셀 함수의 생성 함수(generating function)를 만들 수 있다.

                      (3.8)

식 (3.7)에서 $t$의 크기가 $1$이 아닌 경우는 어떻게 증명할까? 증명을 위해서는 복소 함수론의 로랑 급수(Laurent series)를 이용해야 한다. 식 (3.7)의 좌변을 $t$에 대해 로랑 급수 전개해본다. 하지만 실제로 할 필요는 없다. 식 (3.8)이 $|t|$ = $1$인 경우에 성립하기 때문에, 해석 함수의 성질에 의해 $|t| \ne 1$인 영역에서도 식 (3.7)은 타당하다. 물론 특이점 $t$ = $0$은 제외한다.
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   4. 함수 행렬식(Wronskian)   

[아벨의 항등식(Abel's identity)]

                       (4.1)

                       (4.2a)

                       (4.2b)

                       (4.3a)

                       (4.3b)

여기서 함수 행렬식(Wronskian)은 다음과 같이 정의한다.

                       (4.4)

[증명]
베셀 함수의 차수(order)를 고유치(eigenvalue)로 놓고 다음에 제시한 아벨의 항등식을 적용한다.

                       (4.5)

여기서 $p(x)$ = $x$이다. 아벨의 항등식에서 필요한 상수는 보통 $x$ = $0$ 혹은 무한대로로 가는 극한을 택해서 결정한다. 예를 들어, 식 (4.1)의 증명에 필요한 상수는 다음과 같이 계산한다.

                       (4.6)

식 (4.2a)도 식 (4.6)과 비슷하게 상수를 정한다.

                       (4.7)

식 (4.3a)는 $W[J_\nu(x), J_\nu(x)]$ = $0$과 식 (4.1)로 유도한다. 식 (4.3a)와 식 (4.1)을 조합해서 식 (4.2b)도 증명한다.
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식 (4.1)–(4.3)을 종합해서 더욱 일반화한 함수 행렬식을 도출할 수 있다.

                       (4.8a)

             (4.8b)

여기서 $a,b,c,d$는 마음대로 선택하는 상수, $Z_\nu(\cdot), B_\nu(\cdot)$는 임의의 제$\nu$차 베셀 함수이다. 식 (4.8)은 선형 결합된 베셀 함수의 함수 행렬식은 단독 함수간 함수 행렬식의 상수배임을 보여준다.


   5. 재귀 관계(recurrence relation)   

[베셀 함수의 합]

                      (5.1)

여기서 $Z_\nu (x)$는 임의의 베셀 함수[$J, N, H$]이다.

[증명]
먼저 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind)에 대해 다음을 증명한다.

                      (5.2)

또한 제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind)는 다음으로 정의된다.

                      (5.3)

식 (5.3)을 이용해 식 (5.1)의 관계식에 적용한다.

             (5.4)

한켈 함수(Hankel function)는 다음처럼 정의되므로, 식 (5.2)와 (5.4)를 아래식에 대입하면 식 (5.1)이 성립함을 알 수 있다.

                      (5.5)
______________________________

[베셀 함수의 미분]

                      (5.6)

여기서 $Z_\nu (x)$는 임의의 베셀 함수[$J, N, H$]이다.

[증명]
증명 방법은 식 (5.1)과 동일하다. 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind)에 대해 식 (5.6)을 적용하면 다음과 같다.

                      (5.7)

제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind)와 한켈 함수(Hankel function)에 대해서도 식 (5.4)와 유사하게 증명할 수 있다.
______________________________

                      (5.8)

[증명]
식 (5.6)에 식 (5.1)을 대입해서 증명한다.
______________________________

                      (5.9)

[증명]
조건 $Z_\nu (x)$ = $0$을 식 (5.1)에 대입해서 $Z_{\nu-1}(x)$ = $-Z_{\nu+1}(x)$를 얻는다. 이 결과를 다시 식 (5.6)에 넣으면 식 (5.9)가 유도된다.
______________________________

식 (5.9)에 따라 베셀 함수의 미분은 차수가 바뀐 베셀 함수로 쉽게 계산된다. 하지만 베셀 함수의 함수값 $Z_\nu (x)$는 꼭 0이란 조건이 필요하다.


   6. 특정값(specific value)과 극한(limit)   

[점 $x$ = $0$의 극한]

                      (6.1)

                      (6.2)

[증명]
식 (1.3)에서 $m$ = $0$만 택하면 식 (6.1)이 증명된다. 식 (6.2)의 첫째식은 차수가 0인 제2종 베셀 함수의 $x$ = $0$에 대한 극한을 취해서 유도한다. 식 (6.2)의 둘째식 증명을 위해서는 식 (5.3)을 이용해야 한다. 차수가 $\nu > 0$인 경우의 극한은 다음과 같다.

                      (6.3)

식 (6.3) 증명에 아래에 있는 오일러의 반사 공식(Euler's reflection formula)을 이용한다.

                      (6.4)
______________________________


   7. 미분(differentiation)   

[음의 차수 미분]

                       (7.1)

                       (7.2)

[증명]
식 (1.16)과 (1.15)를 각각 $\nu$에 대해 미분한 후, $\nu$ = $n$을 대입해서 식 (7.1)과 (7.2)를 각각 증명한다.
______________________________

음의 차수 미분이 가진 재미있는 성질은 제1종과 제2종 베셀 함수가 함께 나오는 점이다. 예를 들어, $J_{-n}(x)$를 미분하면 특성이 다른 $N_n(x)$가 섞여서 나온다. 식 (7.1)의 첫째식은 식 (1.5)와도 연결된다. 또한 베셀 함수의 차수가 식 (1.1)이나 (1.2)의 성질이 있다고 해서 양과 음의 차수 미분도 $(-1)^n$이 곱해지는 단순 관계라고 오해하면 안된다. 식 (7.1)에서 보듯이 양과 음의 차수 미분 사이의 관계는 제1종과 제2종 베셀 함수를 추가로 가져야 한다. 예시로 보면, 제1종 베셀 함수에 대한 양과 음의 차수 미분은 다음처럼 연결된다.

                       (7.3)

이와 같이 베셀 함수의 차수 미분은 쉽사리 정복하기 어려운 개념이다. 현재까지도 차수 미분은 닫힌 형태나 깔끔한 급수해 등이 알려지지 않고 있다. 다만 $n$ = $0$인 특별한 경우에는 차수 미분이 베셀 함수 형태로 매우 쉽게 표현된다.

                       (7.4)

                       (7.5)

[증명]
차수 $n$ = $0$ 근방에서는 양이든 음이든 차수 미분은 동일하다. 차수 미분의 동일 조건을 식 (7.1)에 대입해서 식 (7.4)를 유도한다.

                       (7.6)

식 (7.5)는 식 (7.4)를 조합해서 간단하게 증명할 수 있다.
______________________________

식 (7.1)과 거의 동일하게 식 (7.4)처럼 차수 미분을 하면, 제1종과 제2종 베셀 함수가 서로 교환된 공식이 깔끔하게 얻어진다.


   8. 부정적분(indefinite integral)   

[베셀 함수의 곱]

                  (8.1)

여기서 $Z_m (\cdot)$과 $B_n(\cdot)$는 각각 임의의 제$m$차 및 제$n$차 베셀 함수[$J, N, H$], $(\cdot)'$는 입력 변수(argument)에 대한 미분, $C$는 적분 상수, $W(f, g)$는 함수 행렬식(Wronskian)이다.

[증명]
베셀 함수 $Z_m(x)$를 만드는 식 (2a)에 $B_n(x)$를 곱한 미분 방정식을 하나 만든다. 베셀 함수 $Z_m(x)$와 $B_n(x)$를 서로 바꾼 미분 방정식도 만든다. 이 두 식을 서로 빼주어 적분하면 식 (8.1)이 증명된다.
______________________________

식 (8.1)에서 $n$ = $\pm m$인 경우는 로피탈의 정리(L'Hopital's rule)를 써서 다음처럼 정리한다.

                      (8.2)

여기서 $dZ_m(x)/dm$은 차수에 대한 베셀 함수의 미분이다.

[제1 롬멜 적분(the first Lommel integral)]

                      (8.3)

여기서 $Z_m (\cdot)$과 $B_m(\cdot)$은 서로 다른 임의의 제$m$차 베셀 함수[$J, N, H$], $(\cdot)'$는 입력 변수(argument)에 대한 미분이다.

[증명]
식 (8.3)의 둘째 줄은 식 (8.1)과 비슷하게 증명한다. 식 (8.3)의 셋째 줄은 둘째 줄에 식 (5.8)을 대입해서 유도한다.
______________________________

[제2 롬멜 적분(the second Lommel integral)]

                      (8.4a)

             (8.4b)

[증명]
식 (8.2)처럼 식 (8.3)의 둘째 줄에 대해 로피탈의 정리를 적용해서 식 (8.4a)를 얻는다.

                      (8.5)

비슷한 방식으로 식 (8.3)의 셋째 줄에 로피탈의 정리를 써서 식 (8.4b)도 유도한다.
______________________________

식 (8.1)과 (8.3)은 아래에 소개한 스튀름–리우빌 미분 방정식(Sturm–Liouville differential equation)에서 $r(x)$를 각각 $1/x$과 $x$로 둔 경우로 생각하고 적분하면 더 쉽게 결과를 유도할 수 있다.

                       (8.6a)

                       (8.6b)

여기서 $\lambda$는 적절한 고유치(eigenvalue)이다. 각 미분 방정식에 자기 수반성(自己隨伴性, self-adjointness) 연산을 적용해서 정리한다. 그러면 식 (8.1)과 (8.3)이 간단하게 도출된다.

                       (8.7)

                       (8.8a)

                       (8.8b)

여기서 $W(u, v)$는 함수 행렬식(Wronskian), 식 (8.8a)와 (8.8b)를 위한 $y_1, y_2$는 각각 $Z_m(x), B_n(x)$와 $Z_m(\zeta \rho), B_m(\beta \rho)$이다.

[도함수의 제1 롬멜 적분(the first Lommel integral of derivatives)]

                      (8.9)

[증명]
도함수의 적분에 부분 적분(integration by parts)을 적용해서 아래와 같이 정리한다.

                       (8.10)
______________________________

만약 $m$ = $0$이거나 $\zeta$ = $\beta$라면, 식 (8.2)와 (8.3)을 사용해서 식 (8.9)를 닫힌 형태로 표현할 수 있다. 하지만 그외 나머지 경우는 식 (8.9)의 마지막에 나타난 적분으로 인해 수치 적분을 피할 수 없다.


   9. 정적분(definite integral)   

[베셀 함수의 직교성]

                  (9.1)

여기서 $j_{\nu, m}$은 제$\nu$차 제1종 베셀 함수의 제$m$번 영점(zero), $J_\nu (j_{\nu, m})$ = $0$이다.

[증명]
조건 $J_\nu (j_{\nu, m})$ = $0$을 고려해서 식 (8.4a)를 정리하면 식 (9.1)의 둘째식을 얻는다. 이 둘째식에 식 (3.9)를 대입해서 다시 셋째식도 유도한다.
______________________________

식 (9.1)은 제1종 베셀 함수의 직교성(直交性, orthogonality)이라 부른다.

[제곱근 함수의 푸리에 변환]

                  (9.2)

[증명]
식 (3.2)에 $n$ = $0$을 대입해서 적분 구간을 $[0, \pi]$로 바꾼다.

                       (9.3a)

피적분 함수 $\sin(x cos \theta)$는 구간 $[0, \pi]$에서 기함수이므로 적분값은 0이 되므로, 식 (9.2)와 같은 형태로 바꾸고 $t$ = $\cos \theta$로 변수 치환한다.

                       (9.3b)
______________________________

식 (9.2)의 피적분 함수는 $x$ = $\pm 1$에서 특이점을 가지지만, 적분값은 깔끔하게 계산된다.


   10. 영점(zero or root)   

[제1종 베셀 함수의 영점]

[표 10.1] 제1종 베셀 함수의 영점 특정값: $J_\nu (j_{\nu, s})$ = $0$
$j_{\nu, s}$$J_0(x)$: $\nu$ = 0$J_1(x)$: 1$J_2(x)$: 2$J_3(x)$: 3$J_4(x)$: 4$J_5(x)$: 5
$s$ = 12.40483.83175.13566.38027.58838.7715
25.52017.01568.41729.761011.064712.3386
38.653710.173511.619813.015214.372515.7002

여기서 $\nu \ne 0$인 경우는 자명해인 $j_{\nu, 0}$ = $0$이 존재한다. 위 표보다 더 정확한 영점을 구하고 싶으면 울프럼 알파(Wolfram Alpha)가 제공하는 BesselJZero$[\nu, s]$ 함수를 쓰면 된다.

[표 10.2] 제1종 베셀 함수 미분의 영점 특정값: $J_\nu' (j_{\nu, s}')$ = $0$
$j_{\nu, s}'$$J_0'(x)$: $\nu$ = 0$J_1'(x)$: 1$J_2'(x)$: 2$J_3'(x)$: 3$J_4'(x)$: 4$J_5'(x)$: 5
$s$ = 13.83171.84123.05424.20125.31756.4156
27.01565.33146.70618.01529.282410.5199
310.17358.53639.969511.345912.681913.9872

여기서 $J_0'(0)$ = $0$이라서 위 표에 자명해(trivial solution)인 $j_{0, 0}'$ = $0$을 추가한다. 식 (5.6)에 의해 $J_0'(x)$ = $-J_1(x)$이므로, 항상 $j_{0,s}'$ = $j_{1,s}$를 만족한다.

[영점 공식: $Z_\nu(x)$와 $Z_\nu'(x)$]

                      (10.1)

[증명]
식 (5.8)을 변형해서 식 (10.1)의 좌변처럼 만든다.
______________________________

제2종 베셀 함수는 $x$ = $0$에서 발산하지만, 식 (10.1)의 좌변 조건에서는 $x$ = $0$도 근이 될 수 있다. 


[참고문헌]
[1] S. S. Phull, "A definite integral for Bessel's function," American Mathematical Monthly, vol. 76, no. 5, pp. 549–551, May, 1969.
[3] M. E. García, Bessel Functions and Equations of Mathematical Physics, Final Degree Dissertation, Universidad del País Vasco (University of the Basque Country), Spain, 2015. (방문일 2020-11-26)
[4] G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1922.
[5] D. E. Amos, "Algorithm 644: a portable package for Bessel functions of a complex argument and nonnegative order," ACM Trans. Math. Softw., vol. 12, no. 3, pp. 265–273, Sep. 1986.
[6] I. J. Thompson and A. R. Barnett, "COULCC: a continued-fraction algorithm for Coulomb functions of complex order with complex arguments," Comput. Phys. Commun., vol. 36, no. 4, pp. 363–372, Jun. 1985. 

[다음 읽을거리]
1. 베셀 함수의 점근식

댓글 54개 :

  1. 언빌리버블!! 블로그에 처음 왔는데.. 이 많은걸 혼자 작성하신건가요? 내용을 책보다도 훨씬 잘 정리해서 설명해주셨네요! 특히 각개념이전에 어떠한 개념이 선행되어야 되는지 안내와 링크가 너무나도 인상적이네요! 공대생인데 공업수학을 제대로 이수 못해서 참고자료를 찾고 있었는데요 굉장하네요! 여유로울때 부족한 수학개념을 익힐수 있을것같군요 자주방문해야겠습니다.^^

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  2. ^^ 감사합니다. 괜히 기분이 좋아지네요. 자주 놀러오세요.

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  3. 식 (2-11) 마지막 두번째에서 마지막으로 가는거랑 식 (2-12) 마지막 세번째에서 마지막 두번째 가는거 어떻게 된건지 설명 부탁드립니다.

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  4. 정말 볼때마다 감탄스럽습니다. 감사합니다. 이렇게 좋은 정보덕에 인터넷이 아름다워 지는것 같습니다. 훌륭하신 정보덕에 오늘도 감사히 공부 합니다.

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  5. 미분방정식 공부하는 학생인데 많은 도움 받고 가네요^^ 감사합니다
    근데 (1-4)에서 두번째줄부터 식 전개할때 앞부분의 시그마가 왜 없어지는지 설명 해주실수 있으신가요? 자세히 설명해주셨는데도 아직은 모르는 부분이 많네요;;;

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    1. '감마 함수(gamma function)의 입력에 음의 정수(m-n+1 ≤ 0)가 들어가면 무한대가 되는 성질을 이용하였다' 이부분이 이해가 안가서;;;

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    2. 방문 감사합니다. ^^

      아래 감마 함수 들어가서 그래프를 한 번 보세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/gamma-function.html

      감마 함수는 정의에 의해 음의 정수에서 함수의 크기가 무한대입니다.

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  6. 정의부터 꼼꼼히 정리되고 먼저 읽어야 할 항목을 정리해주신 덕분에 너무 큰 도움받고 갑니다 ^_^

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  7. 이렇게 쉬운 설명이 가능하다니 전파거북이님 대단하십니다.
    저 같은 돌머리에게도 희망이!

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    1. Keyon Oh님, 베셀 함수의 세부 내용를 보고 이해할 정도면 굉장히 똑똑한 분입니다. ^^

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  8. 전에 Math Processing error 어쩌구 떴다고 했는데 크롬으로 보니까 제대로 보이네요~ㅎ

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    1. 곽동현님, 크롬이라서 괜찮은 것은 아니고요, 가끔씩 안 나올 때가 있습니다. F5를 다시 누르면 잘 표시됩니다.

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  9. 자세한 설명과 선행과정 링크가 참 인상적입니다. 앞으로 이곳에서 많은 도움을 얻을 수 있겠네요.

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    답글
    1. 네, 익명님, 방문 감사합니다. ^^ 자주 오세요.

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    2. 저도 많이 도움 받고 있습니다. 인터넷에서 웬만하면 이 정도 상세하고 체계적인 자료 찾기 힘든데, 증명 과정 조금 더 친절히 실어주시고 연습문제만 달면 책으로 내도 기존 전공서적들보다 나을 거 같네요. 상당한 애정과 노력 투여가 보입니다.

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  10. 다음에 시간나면 읽어보려고 제 블로그에 링크를 남겼습니다.
    http://blog.naver.com/fordicus/220326236062

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    1. 네, 출처만 밝히시면 본문도 마음껏 퍼가실 수 있습니다. ^^

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  11. 베셀함수 관련 문제 풀다가 검색해서 이곳에 왔는데 질문하나 해도될까요..? X가 무한대로 갈때 Jn (x)가 왜 0이되는지 어떻게 알 수 있나요 수렴하는건 알겠는데..

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    답글
    1. 아래 베셀 함수의 점근식 확인하세요.

      http://ghebook.blogspot.com/2011/12/asymptote-of-bessel-function.html

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  12. 식1-4에서 앞에 식에서 감마함수가 왜 무한대로 가는지 잘 모르겠습니다.... 괄호안에 그래프를 보던가 오일러 반사공식 보면 된다 하셨는데 그래도 이해가 안갑니다...

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    1. 먼저 감마 함수의 그래프를 보세요. $x$가 음의 정수이면 무한대가 나옵니다. 무한대가 나오는 이유는 식 (4-4)에 있는 오일러의 반사 공식 때문입니다.

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  13. 대전분이시군요 ㅎ
    반갑습니다~
    많은 글을 작성하셨네요. 저도 요즘 수학에 관심이 생겨 열심히 공부중입니다.
    개발자구요 ㅎ
    베셀함수는 어느책에 나오는지 여쭤봐도 될까요~?
    좋은하루 되세요~

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    답글
    1. 반갑습니다, 김동은님. ^^
      베셀 함수의 기초적인 내용은 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/bessels-differential-equation.html

      삭제
    2. 전자파 분야에 쓰이는 예는 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2013/02/electromagnetic-field-representations.html

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  14. struve function 도 대문자 H로 표기하던데 한켈함수와 차이가 뭔지 찾아봐도 잘 안보이네요. 어떻게 다른가요??

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    답글
    1. 베셀과 슈트루베(Struve) 함수는 동일한 미분 방정식을 따르지만, 슈트루베 함수는 일반해(베셀 함수는 일반해)가 아닌 특수해입니다. 관련 미분 방정식을 찾아보세요.

      삭제
  15. 혹시 2종베셀함수를 왜 저렇게 정의하는지 그 과정을 알수있을까요??

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  16. 윗글 게시자 인데요 궁금한 이유가 있다면 사실 1종베셀의 -v와 +v 경우는 v가 정수가 아닌 한에서는 독립이나까 2종베셀도 해가될수있다 인건 알겠는데, v가 정수 그러니까 v=n일때 극한을 노이만함수에 취하더라구요 그런데 그게 어떻게 베셀방정식의 2번째 해가 되는건가요?
    식을 가정하고 보니 결과가 1종베셀함수와 독립이었다 뭐 이런건가요??? 궁금하네요

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    답글
    1. 아래 링크에 증명 있습니다.

      https://ghebook.blogspot.kr/2011/12/bessels-differential-equation.html

      삭제
    2. 걸어주신 링크에
      "식 (16)처럼 제 2종 베셀함수를 지저분하게 정의하는 이유는 v=n 인 경우에도 써먹기 위해서다"
      라고 작성하셨는데,

      즉, 식 (16)은 유도된 식이 아니라 편의를 위해 인위적으로 만들어낸 식(정의식)이라고 이해하면 될까요?

      그래서 운이좋게 식 (16)이 베셀함수의 해가 되는 것으로 이해하는게 맞나요?

      삭제
    3. 1. 맞습니다. 유도된다기보다 인위적으로 만든 식입니다.

      2. 운이 좋다고 생각하지 않고요, 어떤 방식으로든 $J_\nu(x)$와 $J_{-\nu}(x)$를 선형 결합하면 해가 됩니다. 다만 링크에 있는 식 (16)처럼 만들어야 최종 결과식이 깨끗해집니다.

      삭제
    4. 답변주셔서 정말 감사합니다.
      그렇다면 식 (16)처럼 인위적으로 만들어졌다라는 건
      식 (16)이 일반해라는 것이 아직 증명되지 않았다라고 이해해도 될까요?

      삭제
    5. 아닙니다. 서로 다른 두 해를 선형 결합하면 당연히 일반해가 됩니다.
      식 (16)은 선형 결합한 결과에서 계수를 특별히 선택했을 뿐입니다.

      삭제
  17. 선생님 식 (2-8) 같은경우는 (베타함수의 정의에 따라) 뉴(nu) 값이 -1/2 보다 큰 영역에만 식이 성립되는 건가요?

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    답글
    1. 먹자찜닭님, 전파거북이라 불러주세요. ^^
      식 (2-8)은 $\nu$가 어느 영역에 있든 성립해요.

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    2. 전파거북이님 베타함수가 두 변수값이 0보다 커야지만 성립하는거 아닌가요? 부분적분 해보면 발산을 할텐데...왜 그런건가요?

      삭제
    3. 착각했네요. 오류 지적 정말 감사드립니다. 으TL
      먹자찜닭님 지적대로 $\nu$ 한계가 있어야 합니다. 본문 수정했으니 다시 한 번 보세요.

      삭제
  18. 전파거북이님
    블로그 글을 처음부터 보려고 하는데 번거롭게 이전글보기 버튼을 눌러서 가야되네요.
    바꿔주실 의향있으신가요?

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    답글
    1. Chanho님, 블로그 관련 기능은 구글 블로거를 그대로 사용할 수 있어서 제가 바꾸기가 어려워요. 혹시 목차가 필요하시면 아래 링크 참고하시면 됩니다.

      https://m.blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=ghebook&logNo=30113491161&proxyReferer=https%3A%2F%2Fwww.google.co.kr%2F

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  19. Yo’(x)=-Y1(x) 는 어떻게 증명해야하나요?

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    답글
    1. 식 (3-6)을 이용하면 됩니다. $\nu = 0$을 대입하면 바로 나옵니다. ^^

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  20. 식 (3.4)에서 2종 베셀 함수가 점화식을 만족하는지 확인하는 부분에서 2종 베셀 함수를 대입할때 정의와는 다르게 J-v항(계수가 cos이 아닌 항)의 부호를 마이너스가 아닌 플러스로 해서 대입한 이유가 무엇인가요?

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    답글
    1. 사인과 코사인 함수를 보세요. 인수에 위상 $\pi$가 들어가기 때문에 부호가 바뀌어야 합니다.

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  21. 혹시 식 (2-12)에서 끝에서 세 번째 식이 끝에서 두 번째 식으로 어떻게 가는지 알 수 있을까요 ㅜㅜ

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    답글
    1. 특별한 건 없어요. 오일러의 공식(Euler's formula)을 보세요.

      삭제
  22. Bessel function은 평행이동 개념이 없나요? Addition theorem이라는게 있던데, 주어진 원점좌표계가 아닌 다른 국부좌표계에서 구한 값을 다시 원점좌표계로 가져올 때 사용할 수 있다고 이해를 했지만, 다소 복잡하고 엄청난(?) 시리즈 계산을 통해서 구하더라구요. Cartesian 좌표계에서는 x축을 a만큼 이동한 것이라면, x-> x-a로 치환해주면 간편하게 해결 되잖아요. Bessel function을 이용하는 극좌표계에서도 그런게 없을까요?

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    1. 쉬운 방식은 없습니다. 원통 좌표계는 좌표축이 둥글게 생겨서 평행 이동이 어렵습니다.
      그나마 그라프의 덧셈 정리(Graf's addition theorem)가 있어서 좌표축을 이동할 수 있어요. 다만 이 방식으로 좌표축을 이동시킬 수 없는 영역도 있어요.

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  23. 늘 유용한 포스팅 감사합니다.
    이번 벹셇은 특히 좀 어려운 느낌이네요 ㅎㅎ..

    (8.1)은 금방 증명했는데, 이와 "비슷"한 방법을 쓰면 되는 (8.3)은 연신 계산이 막히네요 ㅋㅋ
    조금 더 디테일한 힌트가 있을까요?

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    1. 방금 해결했습니다 ㅎㅎ... 증명 과정은 (8.1)과 유사하나 미분방정식은 (2b)를 사용하되, 두 벹쓰엘 뻥션의 n을 같게 하고 ξ을 달리 하여 (8.1)의 증명 과정에서 나오는 것과 비슷한 식 두 개를 세운 뒤, n이 소거되도록 뺄셈을 해주니 스무th하게 풀렸습니다.

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    2. 방문 감사합니다, Great Kali님 ^^
      혼자 해결하신 것도 축하드립니다.

      다른 분들을 위해 식 (8.6)부터 내용을 조금 추가했습니다.

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