조임 정리(Squeeze Theorem)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "조임 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 극한과 연속성의 의미

[그림 1] $x^2\sin (1/x)$의 $x$ = $0$ 근방에서 움직임(출처: wikipedia.org)

극한(limit) 특성을 적용할 때 흔히 쓰이는 조임 정리는 극한의 특성과 밀접한 관계를 가진다. 극한이 존재하려면 좌극한과 우극한이 존재해야 하며 이 값이 서로 같아야 한다고 했다. 좌극한과 우극한 개념과 비슷하게 서로 다른 함수 $g(x),h(x)$에 대한 극한을 상호 비교하여 $f(x)$에 대한 극한값을 결정하는 방식은 조임 정리(혹은 샌드위치 정리)라고 고상하게 표현한다.

[조임 정리]

함수 $f(x),g(x),h(x)$의 극한값이 특정 구간에서 존재하고 이 구간에서 $g(x)\le f(x)\le h(x)$가 성립하여 식 (1)을 만족하면 반드시 식 (2)가 된다.

              (1)

                                 (2)

[증명]

먼저 $g(x)$ = $0$, $L$ = $0$이라 둔다. 그러면 $0\le f(x)\le h(x)$가 성립한다. 극한값 $L$ = $0$이므로 임의의 $ϵ$에 대해 $|x-c|<\delta$인 경우 $|h(x)-0|<ϵ$이 반드시 성립한다. $f(x)$에 대해서도 부등식 관계에 의해 $|x-c|<\delta$인 경우 $|f(x)-0|\le |h(x)-0|<ϵ$이 성립해야 한다. 즉, $f(x)$의 극한값은 당연히 0이 된다. 부등식 관계 $g(x)\le f(x)\le h(x)$에서 $g(x)$를 양변에서 빼주면 $0\le f(x)-g(x)\le h(x)-g(x)$가 되고 극한의 성질에 의해 $h(x)-g(x)$의 극한값은 $L-L$ = $0$이 성립한다. 따라서, $f(x)-g(x)$의 극한값도 반드시 0이 되어야 한다. 이것이 성립하려면 $f(x)$의 극한값도 $L$이 되어야 한다.

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조임 정리는 매우 흔하게 사용되는 극한 정리이다. 예를 들어, 식 (3)의 극한값을 구할 때 조임 정리를 유용하게 쓸 수 있다.

                   (3)

사인 함수(sine function)는 $-1\le \sin (x)\le 1$을 만족하므로 식 (3)의 함수는 $-x^2\le x^2\sin (1/x)\le x^2$이어야 한다. 이 조건에서 조임 정리를 쓰면 식 (3)이 성립한다.[∵ $x\to 0$이면 $-x^2\to 0$이며 $x^2\to 0$이 성립한다.]

[그림 2] 삼각 함수의 정의(출처: wikipedia.org)

삼각 함수 미분에서 중요한 $\sin x/x$의 극한도 조임 정리로 쉽게 증명 가능한다. [그림 2]의 삼각 함수 정의를 이용하면 다음 부등식을 얻을 수 있다.

                     (4)

여기서 $l$은 $\theta$가 정의하는 호의 길이(arc length)이다. 식 (4)를 정리하여 $\theta \to 0$으로 가는 극한을 취하면 다음을 얻는다.

                     (5)

여기서 $\theta$는 절대 0이 될 수 없으며 대신 한없이 0에 가까이 갈 수 있다.

[다음 읽을거리]
1. 적분법의 의미