2021년 11월 24일 수요일

단체의 성질(Simplex)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "단체의 성질"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 다양한 차원에 형성한 단체(출처: wikipedia.org)

3차원 (球, sphere)를 일반화한 초구(超球, hypersphere)는 그리거나 시각적으로 상상할 수 없기 때문에 수학적 논리와 유추로 탐구한다. 초구와 비슷한 방식으로 삼각형 혹은 사면체(四面體, tetrahedron)를 임의 차원으로 확장한 다면체는 단체(單體, simplex)라고 부른다. 예를 들어, $n$차원 단체(n-simplex)는 $n$차원에 만든 사면체의 일반화이다. 여러 차원에서 정의한 단체의 모습은 [그림 1]에 그려져 있다. 이름이 풍기는 의미처럼 단체는 간단함에서 나온 말이지만[단체보다는 간단체가 더 직관적인 번역], 단체를 다루기는 결코 쉽지 않다.

   
[그림 2] 직각 삼각형과 삼직각 사면체(출처: wikipedia.org)

우리가 $n$차원 단체를 상상할 때는 [그림 2]와 같은 직각 삼각형(right triangle)이나 삼직각 사면체(trirectangular tetrahedron)가 출발점이다. [그림 2]를 잘 관찰하면, 도형 그리기의 출발 위치는 다른 선과 직각이 형성되는 점인 단체의 기준점이 된다. 단체의 기준점에서 각 좌표축으로 그린 선분은 항상 서로 다른 선분에 수직이 된다. 이 개념은 다차원으로 쉽게 확장된다. 다차원 공간에서 기준점을 $\bar s$ = $(s_1, s_2, \cdots, s_n)$로 놓는다. 단체의 기준점 $\bar s$에서 출발하여 서로 수직이 되는 선분을 변으로 가진 다면체가 바로 $n$차원 단체이다. 보통은 간단하게 변 길이를 $|\bar x_i - \bar s|$ = $a$로 둔다. 여기서 $\bar x_i$는 단체를 구성하는 $i$번째 꼭지점, $\bar s$는 단체의 꼭지점이면서 기준점, $i$ = $1, 2, \cdots, n$이다. 기준점에서 다른 꼭지점까지 각도는 항상 직각이므로, $n$차원에 정의한 단체의 부피 $V_n$은 정적분으로 쉽게 표현된다.

                  (1)

여기서 $a$는 기준점에서 다른 꼭지점까지 길이이다. 예를 들어, 1차원 단체는 부피[혹은 길이] $a$ = $|\bar x_1 - \bar s|$를 가진다. 2차원 단체의 부피[혹은 면적]는 $\bar x_1, \bar x_2, \bar s$가 만드는 직각 삼각형의 면적이다. 즉, $\bar x_1 - \bar s$인 벡터에 수직인 방향[$\bar x_2 - \bar s$에 평행인 방향]으로 쌓아올린 면적이 단체의 부피 $V_2$이다. 마찬가지로 2차원 단체가 만드는 평면에 수직인 $\bar x_3$를 새로 정의해서 $\bar x_3 - \bar s$인 방향으로 만든 면적의 합을 $V_3$으로 정의한다. 또한 식 (1)에 등장한 계승(factorial) $n!$은 $n$차원에서 직육면체가 아닌 사면체 기준의 일반화를 뜻한다. 왜냐하면 직육면체의 일반화한 부피는 $a^n$이기 때문에 $n!$은 단체의 공간적 특성을 나타낸다. 꼭지점별로 변의 길이가 바뀔 때는 일차 함수 $y$ = $ax + b$에 따라 기준점에 대한 각 방향의 높이 변화를 $y$ = $m_i x$로 정한다. 그러면 식 (1)은 서로 다른 높이를 가진 단체의 부피로 변형된다.

                  (2)

여기서 $h_i$는 기준점 $\bar s$에 대한 꼭지점 $\bar x_i$의 높이인 $m_i a$이다.
[그림 3] 정사면체의 회전 모습(출처: wikipedia.org)

정삼각형(regular triangle)이나 정사면체(regular tetrahedron)를 일반화한 정칙 단체(regular simplex)도 존재한다. 정삼각형처럼 정칙 단체는 $n$차원에서 모든 꼭지점 사이의 거리가 일정하다. 또한 정칙 단체를 구성하는 꼭지점은 $n+1$개이다. 꼭지점중에서 $n$개를 뽑아 $\mathbb{R}^n$에서 초평면 $H$(hyperplane)을 만들 수 있다. 꼭지점 집합 $X$ = $\{\bar x_1, \bar x_2, \cdots, \bar x_n \}$으로 만드는 초평면 $H$는 $\mathbb{R}^{n-1}$ 공간을 만든다. 여기서 정칙 단체의 성질에 따라 $|\bar x_i - \bar x_j|$ = $1$로 설정한다. 초평면에 수직인 벡터를 만들기 위해 중심점 $\bar c$를 먼저 정의한다. 정사면체의 높이도 아래면 삼각형의 중심에 수직인 방향으로 만들어지므로, 정칙 단체의 높이 방향도 초평면의 중심에 수직하다고 가정한다[1].

                  (3)

중심점 $\bar c$에서 각 꼭지점 $\bar x_i$까지 가는 벡터를 $\bar a_i$ = $\bar x_i - \bar c$로 두면, 다음 벡터 관계식이 성립한다.

                  (4)

식 (4)의 셋째식을 제곱하고 각 식을 $j$에 대해 더해서 $|\bar a_i|^2$을 새롭게 정한다[1].

                  (5)

식 (5)에서 유도한 최종식의 우변은 $i$에 관계가 없기 때문에 $|\bar a_i|^2$은 $i$에 대해 상수이다. 따라서 $|\bar a_i|$는 다음과 같이 간략화된다.

                  (6)

마지막으로 초평면에 수직인 점 $\bar a_{n+1}$ = $\lambda \hat n$을 구한다. 여기서 $\lambda > 0$, $\hat n$은 초평면에 수직인 단위 벡터 혹은 평면의 법선 벡터이다. 정칙 단체의 정의에 의해 $|\bar a_{n+1} - \bar a_i|$ = $1$, $\bar a_{n+1} \cdot \bar a_i$ = $0$이 성립한다. 여기서 $i$ = $1, 2, \cdots, n$이다. 따라서 $\bar a_{n+1}$의 크기 $\lambda$가 다음과 같이 구해진다.

                  (7)

식 (7)에 의해 정칙 단체 구성에 필요한 마지막 점인 $\bar x_{n+1}$이 간단하게 유도된다.

                  (8)

식 (6)은 $n$차원 정칙 단체의 높이 $h_n$에 해당하므로, $n$차원 정칙 단체의 부피 $V_n$은 $V_{n-1}$과 $h_n$의 곱에 비례하고 식 (2)에 의해 $n$으로 나누어진다.

                  (9)

여기서 $n!$은 식 (1)과 (2)처럼 다차원 사면체의 성질을 나타낸다. 만약 변의 길이가 $a$라면, 식 (9)는 다음과 같이 변형된다.

                  (10)

식 (10)은 정삼각형의 면적과 정사면체의 부피가 서로 연관되는 특성을 보여준다. 또한 정사면체 부피의 성질을 확장해서 우리가 상상하기 어려운 다차원 정칙 단체의 부피까지도 식 (10)은 잘 보여주고 있다.

[참고문헌]
[1] F. Lazebnik, "On a regular simplex in $\mathbb{R}^n$," University of Delaware, USA, 2001. (방문일 2021-11-05)

[다음 읽을거리]

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