초구의 성질(Hypersphere)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "초구의 성질"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 원의 방정식

2. 구의 방정식

3. 평면의 방정식

[그림 1] 다차원에서 정의된 초구의 시각적 표현(출처: wikipedia.org)

초구(超球, hypersphere)는 4차원 이상에서 정의되는 구의 일반화된 대상체를 의미한다. 초구의 중심이 원점에 있는 경우, $n$차원에서 초구의 방정식은 다음과 같다.

                  (1)

여기서 $\overline{r}$ = $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$, $r$은 초구의 반지름이다. 식 (1)을 변형해서 중심이 원점에서 $\overline{c}$ = $(c_1,c_2,\cdots ,c_n)$으로 이동된 초구의 방정식도 얻는다.

                  (2)

일반화된 구를 표현하는 말로 초구 대신 $n$차원 구(n-sphere)를 쓸 수도 있다. 예를 들어, 0차원 구는 점, 1차원 구는 지름, 2차원 구는 원(circle), 3차원 구가 흔히 말하는 구, 4차원 이상의 구는 초구이다.

구 좌표계에 나오는 방위각(azimuth) $\varphi$와 극고도각(polar angle) $\theta$의 관계에서 유추하여 $n$차원 구 좌표계의 각도 ${\phi }_n$을 한 단계 낮은 $n-1$차원의 구 반지름 $r_{n-1}$과 각도 ${\phi }_{n-1}$로 표현할 수 있다. 차원을 낮추는 재귀 과정은 다음과 같이 계속 반복된다.

                  (3)

여기서 $x_i$는 $n$차원에서 $i$번째 좌표 성분, $r_i$는 $i$차원의 구 반지름, $0\le {\phi }_i\le \pi$, $(x,y,z)$ = $(x_1,x_2,x_3)$, ${\phi }_1$ = $0$ 혹은 $\pi$, $\varphi$ = $\pi /2-{\phi }_2$, $\theta$ = ${\phi }_3$이다. 1차원 각도 ${\phi }_1$이 전체 각도 범위에서 변하지 못하고 $0$ 혹은 $\pi$만 가능한 이유는 1차원인 경우 $x_1$ = $\pm r$이기 때문이다. 또한 식 (3)에 따라 반지름 $r_i$를 곱 기호로 나타낸다.

                  (4)

여기서 $r_n$ = $r$, $r_i^2+x_{i+1}^2$ = $r_{i+1}^2$이 성립한다. 원의 반지름과 호의 길이에 대한 관계 $l$ = $r\theta$를 일반화해서 $n$차원 구의 표면적 $S_n$을 정의한다.

                  (5)

여기서 $B(x,y)$는 베타 함수(beta function), 삼각 함수 거듭제곱의 적분도 이용한다. 추가적으로 $S_n$을 양파 껍질 적분(onion skin integration)해서 $n$차원 구의 부피 $V_n$도 유도한다.

                  (6)

차원 $n$이 $2$ 혹은 $3$이면, $S_n$과 $V_n$은 각각 통상적인 원과 구의 표면적[원이면 둘레 길이]과 부피[원이면 당연히 면적]가 된다. 식 (5)와 (6)은 하나의 공식이므로, 차원을 더 낮추어 1차원과 0차원이 되게 할 수도 있다. 식 (1)에 의해 $x_1$ = $\pm r$이며 1차원이 변하는 범위는 선이다. 따라서 1차원의 부피 $V_1$은 $x_1$이 변하는 최대 길이인 지름 $2r$이 된다. 부피 $V_1$을 양파 껍질처럼 벗긴[혹은 기울기 역할을 하는] 표면적 $S_1$은 숫자 $2$이다. 또한 식 (3)에 따라 0차원은 반지름 $r_0$ = $0$, $x_0$ = $0$이다. 그래서 0차원 부피는 점이 되므로, 반지름과 상관없이 $V_0$ = $1$이 타당하다. 0차원의 표면적은 당연히 존재하지 않아서 자연스럽게 $S_0$ = $0$이다.

[다음 읽을거리]

1. 단체의 성질