가우스 함수(Gaussian Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "가우스 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 적분법의 의미

2. 테일러 급수

[그림 1] 가우스 함수의 예(출처: wikipedia.org)

부드러운 종 모양을 가진 가우스 함수(Gaussian function)는 지수 함수(exponential function)를 이용해 다음처럼 정의한다.

                  (1)

여기서 $\mu$는 함수의 중심, $\sigma$는 종 모양이 퍼진 정도 혹은 형상 모수(形狀母數, shape parameter)를 나타낸다. 통계(statistics)에 적용한 가우스 함수는 $\mu$가 평균(mean or average), $\sigma$는 표준 편차(standard deviation)인 정규 분포(normal distribution)와 동일하다. 매개변수 $\mu$ = $0$ 및 $\sigma$ = $1/\sqrt{2}$인 가우스 함수의 전체 실수에 대한 정적분(definite integral)은 다음처럼 증명할 수 있다.

                       (2)

식 (2)를 이용해 식 (1)에 대한 정적분도 다음과 같이 계산한다.

                       (3)

지수 함수의 테일러 급수(Taylor series)를 이용해서 가우스 함수를 구성하는 $e^{-x^2}$을 급수 전개할 수 있다.

                       (4)

[그림 2] 오차 함수의 성질(출처: wikipedia.org)

가우스 함수의 유한 정적분으로 오차 함수(error function) $\operatorname{erf}(x)$를 정의한다.

                       (5)

가우스 함수는 정규 분포에 사용되기 때문에, 측정 오차는 가우스 함수와 깊이 관계된다. 그래서 식 (5)에 오차 함수란 이름이 붙었다. 변수 $x$가 무한대로 가면, 식 (2)에 의해 $\lim_{x \to \infty} \operatorname{erf}(x)$ = $1$이 된다. 오차 함수의 켤레인 상보 오차 함수(complementary error function)는 다음과 같다.

                       (6)

식 (4)를 이용해서 오차 함수에 대한 테일러 급수(Taylor series)를 다음처럼 유도할 수 있다.

                       (7)

삼각 함수의 이상 적분(improper integral)을 이용해서 감쇠 하는 지수 함수를 가우스 함수 형태로 바꿀 수 있다.

[지수 함수와 가우스 함수] [1]

                       (8)

여기서 $k \ge 0$이다.

[증명]
다음에 제시한 삼각 함수의 이상 적분에 $\sigma$ = $1$을 대입한 후, 적분 변수를 무한 적분으로 바꾸는 치환을 수행한다.

                        (9)

                        (10)

______________________________

식 (8)에서 $u$ = $\sqrt{x}$로 치환해서 정리하면, 가우스 함수와 비슷한 새로운 적분을 얻을 수도 있다.

                        (11)

여기서 $k \ge 0$이다. 신기하게도 피적분 함수는 $k$에 따라 변하지만 적분 결과는 $k$에 관계없이 상수가 된다.

[참고문헌]

[1] E. M. Stein and G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971.

[다음 읽을거리]

1. 바이어슈트라스 변환

2. 프레넬 적분