삼각 함수 보간(Trigonometric Interpolation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "삼각 함수 보간"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 다항 함수 보간

2. 푸리에 급수의 시작

3. 이산 푸리에 변환

[그림 1] 복소 평면에서 보간의 예(출처: wikipedia.org)

다항 함수 보간(polynomial interpolation)은 고차 다항식의 계수를 바꾸어서 함수값을 정확히 아는 점 혹은 표본점(sampling point) $(x_0,y_0)$, $(x_1,y_1)$, $\cdots$, $(x_n,y_n)$ 사이의 중간값을 채운다. 다항 함수 보간을 사용하는 대표적인 예는 라그랑주 보간(Lagrange interpolation)이다.

                 (1)

식 (1)이 좋은 보간법이기는 하지만, $x$가 커지면 $L_n(x)$의 함수값이 급격히 커질 수 있다. 그래서 큰 $x$에 대해서도 보간한 함수값이 커지지 않는 새로운 보간법이 필요하다. 보간에 사용하는 기저 함수(basis function)를 1차 함수 대신 삼각 함수(trigonometric function)를 쓰면, 보간 영역의 바깥[외삽(extrapolation)]에서 보간한 함수값이 매우 커지는 현상을 완화시킬 수 있다. 이와 같이 삼각 함수를 이용해서 함수를 보간하는 방법은 삼각 함수 보간(trigonometric interpolation)이라 한다[1]. 삼각 함수 보간에는 오일러의 공식(Euler's formula)을 적극적으로 사용한다.

                 (2)

오일러 공식을 이용해 $z$ = $e^{ix}$라 두면, 1차 함수 관계를 삼각 함수 관계로 손쉽게 바꿀 수 있다. 또한 우리가 고려하는 정의역은 실수에서 [그림 1]과 같은 복소 평면(complex plane)으로 확대된다. 더 구체적으로 알아보기 위해 먼저 실수 영역에서 삼각 함수 보간을 표현한다[1].

                 (3)

여기서 $0\le x<2\pi$, $a_k,b_k$는 알고 있는 함수값으로 결정하는 계수이다. 식 (2)를 이용해 식 (3)의 삼각 함수를 복소 지수 함수(complex exponential function)로 바꾸어본다.

                 (4)

여기서 $a_0$ = $c_0$, $a_k$ = $c_k+c_{-k}$, $b_k=i(c_k-c_{-k})$이다. 복소수 $z$ = $e^{ix}$로 정하면, 식 (4)는 복소 평면에서 정의되는 다항식이 될 수 있다.

                 (5)

정의역이 복소수로 확대되기는 했지만, 식 (5)의 우변은 분명 다항식이다. 만약 식 (1)에 제시한 라그랑주 보간을 사용하면, 삼각 함수 보간에 대한 공식을 쉽게 유도할 수 있다. 알고 있는 함수값의 개수[= $2n+1$]가 홀수인 경우는 다음과 같은 삼각 함수 보간으로 표현된다.

                 (6)

여기서 $0\le x<2\pi$이다. 라그랑주 보간의 기저 함수를 참고해서, 식 (6)의 삼각 함수 보간을 이루는 기저 함수 $t_k(x)$를 다음처럼 얻는다.

                 (7)

여기서 유한번 곱한 $e^{ix}$의 최대 차수가 $n$이 되도록 $e^{in(x_k-x)}$를 맨앞에 곱한다. 식 (7)의 우변에 의해 $t_k(x_m)$ = ${\delta }_{km}$이 성립한다. 여기서 ${\delta }_{km}$은 크로네커 델타(Kronecker delta)이다. 식 (7)에 복소 지수 함수의 항등식을 적용한다.

                 (8)

그러면 식 (7)은 매우 간단한 삼각 함수 관계식으로 바뀐다[1].

                 (9)

여기서 $t_k(x+2\pi )$ = $t_k(x)$이므로 $t_k(x)$는 주기가 $2\pi$인 주기 함수(periodic function)이다. 아는 함수값의 개수[= $2n$]가 짝수인 경우도 홀수와 비슷하게 $F_n(x)$와 $t_k(x)$를 정의한다.

                 (10)

                 (11)

여기서 $t_k(x_m)$ = ${\delta }_{km}$이다. 다만 식 (11)에서 $t_k(x)$를 구성하는 $e^{ix}$의 최대 차수는 $n-0.5$가 되어서 정수가 아니다. 추가적으로 식 (11)은 식 (9)처럼 사인 함수만으로 표현될 수 있다.

                 (12)

여기서 $t_k(x+2\pi )$ = -$t_k(x)$이다. 기저 함수 $t_k(x)$는 주기가 $4\pi$이지만, $x$가 $2\pi$만 바뀌어도 원래 함수값과 부호만 다를 뿐 종속성이 나타난다. 그래서 식 (12)의 $x$도 $0\le x<2\pi$로 제한되어야 한다.

이상을 종합해서 식 (6)과 (10)의 결과에서 $2n\to N$ 및 $2n-1\to N$으로 각각 바꾸면, 아는 함수값의 개수가 홀수든 짝수든 같은 공식으로 삼각 함수 보간을 할 수 있다. 하지만 짝수인 경우는 아쉽게도 $t_k(x)$에 나오는 $e^{ix}$의 최대 차수는 분수가 된다.

식 (4)는 푸리에 급수와 비슷한 유한 급수이므로, $c_k$를 다음처럼 구할 수 있다. 

                 (13)

만약 $x_m$이 균등하게 분포되면, $x_m$ = $2\pi m/(2n+1)$[$m$ = $0,1,\cdots ,2n$]이라 정할 수 있다. 그러면 이산 푸리에 변환(discrete Fourier transform, DFT) 개념을 도입해서 편하게 $c_k$를 구한다.

                 (14)

여기서 $l$ = $-n,-n+1,\cdots ,n-1,n$이다. DFT의 푸리에 계수는 $(2n+1)c_k$이므로, DFT로 계산해 $c_k$를 정할 수도 있다.

두 표본점 $x_0,x_1$이 매우 가까운 경우도 삼각 함수 보간이 가능할까? 두 표본점의 차이 $x_1-x_0$이 분모에 있기 때문에 기저 함수 $t_k(x)$의 크기가 매우 커질 수도 있다. 두 표본점이 매우 근접한 경우의 보간 특성을 파악하기 위해 식 (9) 혹은 (12)를 다음처럼 변형한다.

                 (15)

                 (16)

                 (17)

식 (16)에 정의한 두 함수값의 차이 평균 $y_d$는 다음처럼 함수의 미분 $y^{\prime }$와 연결된다.

                 (18)

평균값의 정리(mean value theorem)에 의해, 구간 $[x_0,x_1]$ 사이에 있는 적당한 $x_d$에 대해 $y^{\prime }$ = $y^{\prime }(x_d)$ = $\mathrm{\Delta }y/\mathrm{\Delta }x$가 성립하는 미분이 존재한다. 식 (18)을 식 (17)에 대입해서 깔끔하게 정리한다.

                 (19)

여기서 $\mathrm{Sa}(x)$ = $\sin x/x$이다. 따라서 $x_0,x_1$이 아무리 근접하더라도 함수의 미분이 존재하면, 삼각 함수 보간은 절대 발산하지 않는다. 

[참고문헌]

[1] G. E. O. Giacaglia, "Trigonometric interpolation," Celestial Mechanics, vol. 1, pp. 360–367, Sep. 1970.