2020년 10월 7일 수요일

라플라스 변환의 성질(Properties of Laplace Transform)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "라플라스 변환의 성질"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 교류 회로 해석에 이용된 라플라스 변환(출처: wikipedia.org)

푸리에 변환(Fourier transform)복소 영역(complex domain) 일반화인 라플라스 변환(Laplace transform)의 다양한 성질은 푸리에 변환의 성질을 기반으로 쉽게 유도될 수 있다.

 
   1. 기본(basics)   

[정의]

                  (1.1)

                  (1.2)

[선형 사상(linear mapping or linearity)]

                  (1.3)

여기서 G(s)g(t)의 라플라스 변환이다.

[시간 및 주파수 편이(time and frequency shifting)]

                  (1.3)

[증명]
식 (1.1)에 시간 이동된 함수를 대입한다.

                  (1.4)

주파수 이동도 식 (1.4)와 비슷하게 적분할 수 있다.
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[시간 비율 조정(time scaling)]

                  (1.5)

여기서 a>0이다.

[증명]
변수 tat로 치환하여 적분한다.

                  (1.6)
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[켤레 복소수(complex conjugate)와 대칭성(symmetry)]

                  (1.7: f(t)는 복소수)

                  (1.8: f(t)는 실수)

여기서 ()는 켤레 복소수이다.

[미분(differentiation)]

                  (1.9)

여기서 f(n)(t)f(t)n번 미분, 0는 0보다 작은 위치에서 0으로 한없이 접근한다는 표현이다.

[증명]
라플라스 변환의 정의에 대해 부분 적분(integration by parts)을 적용한다.

                  (1.10)

여기서 s의 실수부는 0보다 크다고 가정하므로 t가 커질 때 est0이 된다. 고계 미분에 대해서는 식 (1.9)의 첫째식을 연속적으로 적용한다. 그러면 식 (1.9)의 둘째식을 얻을 수 있다.
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식 (1.9)에서 특이한 점은 t = 0의 함수값을 f(0)로 정의한 부분이다[1]. 함수 f(t)가 연속인 경우는 f(0+)이든 f(0)이든 같아서 문제가 되지 않는다. 하지만 f(t)t = 0에서 불연속이면 식 (1.9)처럼 f(0)로 정확히 기술해야 한다. 이런 헷갈림을 피하기 위해 t = 0 근방의 불연속 특성까지 고려해서 라플라스 변환을 다음처럼 다시 정의한다[1].

                  (1.11)

예를 들어, 식 (1.1) 대신 식 (1.11)을 사용하면, f(t) = δ(t)의 라플라스 변환은 논란의 여지 없이 1이 될 수 있다. 왜냐하면 t = 0 다음에 t = 0이 나오기 때문이다. 식 (1.1)의 정의를 이용해 δ(t)를 라플라스 변환할 때는 애매한 부분이 있다. 적분의 시작점이 t = 0을 포함하는지 하지 않는지가 불분명해서 라플라스 변환이 1이 될 수도 0이 될 수도 있다.
새로운 정의인 식 (1.11)의 라플라스 변환을 쓰면, 적분은 t = 0에서 시작하기 때문에 식 (1.9)의 첫째식은 당연하다. 혹시라도 우리의 추론에 미심쩍은 부분이 있을 수도 있다. 그래서 단위 계단 함수(unit step function) u(t)를 이용해 t = 0에서 불연속인 함수 f(t)g(t)로 다시 정의한다.   

                  (1.12)

단위 계단 함수의 성질에 의해 u(t)의 미분은 디랙 델타 함수(Dirac delta function) δ(t)이다. 이 결과를 식 (1.11)에 대입해 정리한다.

                  (1.13)

결국 의심스러운 부분 없이 명확하게 식 (1.9)의 첫째식이 불연속의 경우에도 잘 성립함을 알 수 있다.

[적분(integration)]

                  (1.14)

[증명]
식 (1.14)에 나온 적분을 식 (4.1)의 길쌈(convolution)으로 바꾸어서 식 (4.3)과 같은 라플라스 변환을 적용한다.

                  (1.15)

여기서 u(t)단위 계단 함수(unit step function)이다.
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[특수한 변환값]

                  (1.16)

여기서 라플라스 변환은 명확한 식 (1.11)을 사용하며 s의 실수부는 0보다 크다.

[초기값 정리(initial value theorem)]

                  (1.17)

[증명]
식 (1.1)에 s를 곱해서 부분 적분을 한다.

                  (1.18)

식 (1.18)의 최종 결과에 s를 적용하면, 적분 항은 0이 되므로 남는 항은 f(0)이다. 따라서 연속 함수인 경우는 식 (1.17)이 잘 성립한다. 만약 t = 0이라면 결과는 어떻게 될까? 함수 f(t)를 식 (1.12)에 있는 g(t)로 바꾸고 식 (1.11)을 이용해 라플라스 변환한다.

                  (1.19)

따라서 불연속 함수의 경우에도 식 (1.17)이 잘 성립한다.
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미분의 라플라스 변환인 식 (1.9)의 첫째식과 식 (1.17)을 비교하면 t = 0에서 접근하는 f(t)의 극한이 좌극한 f(0)와 우극한 f(0+)로 서로 다르다. 이런 애매한 부분의 해결책은 명확한 라플라스 변환인 식 (1.11)이다.

[최종값 정리(final value theorem)]

                  (1.20)

여기서 F(s)의 모든 극점(pole)은 실수부가 0보다 작은 조건[혹은 좌반면(左半面, left half-plane) 조건]을 만족해야 한다.

[증명]
식 (1.19)의 마지막식에 s0 조건을 적용해서 정리해본다.

                  (1.21)

그러면 식 (1.21)이 쉽게 증명되지만 조심할 부분도 있다. 극한 s0 조건에서 식 (1.21)의 결과가 sF(s)라는 보장이 있는가? 즉 s0일 때, f(t)F(s)는 라플라스 변환 관계를 가지고 있을까? 이를 위해 식 (1.2)에 쓴 라플라스 역변환을 고려한다.

[그림 1.1] 라플라스 역변환을 위한 닫힌 경로

라플라스 변환 F(s)가 함수 f(t)로 연결되려면 [그림 1.1]에 있는 닫힌 경로 상의 복소 적분(complex integral)이 잘 정의되어야 한다. 시간 t인 경우는 복소 적분의 수렴을 위해 닫힌 경로로 c1+c2를 택한다. 여기서 c1 상의 [s] = σ이며 식 (1.2)에 의해 s0일 때 σ0이 된다. 그러면 닫힌 경로 안에 F(s)의 모든 극점이 존재해야 f(t)가 라플라스 역변환이 된다. 하지만 s0인 조건에서는 F(s)의 극점이 닫힌 경로 안에 없을 수도 있다. 따라서 식 (1.20)이 성립하기 위해 F(s)의 모든 극점은 반드시 실수부가 음수인 위치에 있어야 한다.
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최종값 정리와 다르게 식 (1.17)에 있는 초기값 정리는 s로 간다. 그래서 F(s)의 극점은 어디에 있든지 관계가 없다.

[주기 함수(periodic function)]

                  (1.22)

여기서 [s]>0, f(t)는 주기 T를 가진 주기 함수이다.

[증명]
주기 함수의 특성인 f(t) = f(t+T)를 이용해 적분을 T로 나누어 다시 적분한다.

                  (1.23)

여기서 공비 esT의 크기가 1보다 작기 때문에 무한 등비 급수는 수렴한다.
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[거듭제곱 함수(power function)]

                  (1.24)

여기서 n은 0 혹은 자연수이다.

[증명]
라플라스 함수의 정의인 식 (1.1)을 s에 대해 미분해서 유도한다.
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단순한 거듭제곱 함수 tn의 라플라스 변환은 식 (2.1)에 따라 1/sn번 미분하고 부호를 (1)n으로 결정하면 된다. 이 결과는 ν = n인 식 (2.4)와 동일하다.


   2. 초등 함수의 변환(transform of elementary functions)   

[단위 계단 함수(unit step function)]

                  (2.1)

여기서 [s]>0이다. 라플라스 변환 F(s)의 극점이 s = 0에 있지만, 예외적으로 식 (1.20)의 최종값 정리가 성립한다. 즉 lims0sF(s) = 1u(t)의 최종값이다.

[지수 함수(exponential function)]

                  (2.2)

여기서 [s]>a이다. 만약 a>0이면, F(s)의 극점이 좌반면[[s]<0]에 있어서 eat의 최종값은 0이 된다. 하지만 a<0이라면, 우반면[[s]>0]F(s)의 극점이 있어서 최종값 정리가 성립하지 않는다.

[삼각 함수(trigonometric function)]

                  (2.3)

여기서 [s]>0이다. 라플라스 변환 F(s)의 극점이 허수축에 있어서 최종값 정리가 성립하지 않는다.

[거듭제곱 함수(power function)]

                  (2.4)

여기서 [s]>0이다.

[증명]
감마 함수(gamma function)의 정의를 이용하여 식 (1.1)의 적분을 정리한다.
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   3. 특수 함수의 변환(transform of special functions)   

[베셀 함수(Bessel function)] [2]

                  (3.1)

여기서 [ν]>1이다.

[증명]
제1종 베셀 함수를 일반적으로 정의하는 쉴레플리–좀머펠트 적분(Schläfli–Sommerfeld integral)부터 출발한다.

                      (3.2)

여기서 R은 복소 평면에 정의된 사각형 경로이다. 식 (3.2)의 우변에 라플라스 변환을 적용해서 정리한다.

                      (3.3)

여기서 사각형 경로상에서 sinhu의 실수부는 항상 음수, 무한대에서 발산하지 않도록 e(ν+1)u의 지수는 [ν]>1인 조건을 가져야 한다. 식 (3.3)의 피적분 함수의 유수(residue)u = sinh1s이므로, 식 (3.3)은 유수 정리(residue theorem)를 이용해 계산한다.

                      (3.4)

식 (3.4)에 역쌍곡 사인 함수(inverse hyperbolic sine function)의 로그 함수 표현식 sinh1s = log(s2+1+s)를 대입해서 예쁘게 만든다.

                      (3.5)

식 (3.5)에 다시 식 (1.5)를 사용해서 증명을 완성한다.
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식 (3.5)에서 s = 0으로 놓으면 베셀 함수의 적분은 항상 1로 수렴한다.

                  (3.6)

통상적으로 베셀 함수의 정적분은 구하기 어렵지만, 라플라스 변환 관점의 적분은 조금 수월하다.


   4. 길쌈(convolution)   

[그림 4.1] 감쇠 지수 함수의 길쌈 예(출처: wikipedia.org)

[정의]

                  (4.1)

길쌈(convolution)은 [그림 4.1]처럼 한 신호를 뒤집어서 다른 신호와 곱하기 때문에, 신호의 응답(response)을 모형화할 때 매우 유용하게 사용된다.

[대수적 성질(algebraic properties)]

                  (4.2)

[길쌈 정리(convolution theorem)]

                  (4.3)

여기서 둘째식에 나오는 적분은 [s]>2σ, σF(s)G(s)의 모든 극점을 포함하도록 정하며, u의 적분 경로 상에서 F(s)G(s)는 잘 정의되며, 복소 영역으로 확장한 u의 적분 경로는 반시계 방향으로 설정한다.

[증명]
길쌈인 식 (4.1)의 둘째 줄을 식 (1.1)에 대입해서 차례로 정리한다.

                  (4.4)

그러면 식 (4.3)의 첫째식이 증명된다. 식 (4.3)의 둘째식을 위해서는 식 (1.2)를 이용해 f(t),g(t)를 바꾸어 쓰면 된다.

                  (4.5)

여기서 지수 함수의 수렴을 위해 [s]>2σ로 선택하며, t0이라서 u,v의 적분 경로는 반시계 방향으로 돈다. 라플라스 변환의 수렴 조건에 의해 다음 관계도 성립한다.

                  (4.6)

식 (4.6)을 이용해 식 (4.5)를 정리하면, u에 대한 피적분 함수는 F(u)G(su)가 된다.
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[파르세발의 정리(Parseval's theorem)]

                  (4.7)

[증명]
식 (1.7)을 식 (4.3)의 둘째식에 넣고 s = 0으로 고정해서 정리하면 식 (4.7)을 유도할 수 있다.
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식 (4.7)을 더 간단히 하기 위해 g(t) = f(t)로 가정하면, 새로운 파르세발의 정리가 나온다.

                  (4.8)

함수 f(t)가 실수인 경우는 다음처럼 더 간략화할 수도 있다.

                  (4.9)

예를 들어, f(t) = u(t), g(t) = eat로 가정해서 파르세발의 정리를 적용한다. 먼저 식 (4.7)의 좌변은 간단히 계산된다.

                  (4.10)

여기서 a>0이다.

[그림 4.2] 파르세발의 정리를 적용하기 위한 닫힌 경로

라플라스 변환인 F(s) = 1/s, G(s) = 1/(s+a)를 식 (4.7)의 우변에 대입해서 [그림 4.2]와 같은 복소 영역에서 적분을 한다.

                  (4.11)

여기서 극점(pole)s = 0a, 적분 경로 c1+c2에 포함되는 극점은 s = 0이다.


[참고문헌]
[1] K. H. Lundberg, H. R. Miller, and D. L. Trumper, "Initial conditions, generalized functions, and the Laplace transform troubles at the origin," IEEE Control Systems Magazine, vol. 27, no. 1, pp. 22–35, Feb. 2007. (방문일 2020-10-09)
[2] "Laplace transform of Bessel function of the first kind," ProofWiki. (방문일 2023-11-12)

[다음 읽을거리]

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