2013년 5월 6일 월요일

데카르트 좌표계의 MNL 함수(MNL functions in Cartesian coordinate)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "데카르트 좌표계의 MNL 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 데카르트 좌표계의 전자장 표현식
2. MNL 함수를 이용한 전자장 표현식

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기계적으로 전자장 표현식(electromagnetic field representations)을 만들어 주는 획기적인 도구인 MNL 함수 개념을 이용해서 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)의 MNL 함수 표현식을 만들어 보자.

                      (1)

                       (2)

식 (1)과 (2)에서 MNL 함수의 생성 함수(generating function) $\psi$는 아래 식을 만족한다.

                      (3)

식 (2)에 있는 안내 벡터(piloting vector ) $\bar p$는 다음 관계가 성립해야 한다.

                      (4)

편하게 안내 벡터 $\bar p = \hat z$라고 가정하자. 그러면 $\bar p = \hat z$는 식 (4)를 만족한다. 이 경우 식 (1)은 다음처럼 간략화 될 수 있다.

                      (5)

                      (6)

[그림 1] 구형 도파관의 구조(출처: wikipedia.org)

위 내용을 가지고 구형 도파관(矩形 導波管, rectangular waveguide)의 전자장을 표현해 보자. 먼저 생성 함수는 다음처럼 두 가지로 정의한다.

                      (7)

식 (7)의 첫째식에서 윗첨자 $H$는 자기장 경계 조건을 의미한다. 따라서 생성 함수와 안내 벡터 $\bar p = \hat z$를 동시에 고려하면 윗첨자 $H$는 $z$방향에 대한 TE(Transverse Electric) 모드(mode)를 표현한다. 마찬가지로 윗첨자 $E$는 전기장 경계 조건을 의미하며 $z$방향에 대한 TM(Transverse Magnetic) 모드를 나타낸다.
MNL 함수의 유용성은 구형 도파관 내부의 전자장을 구할 때 나타난다. 식 (7)은 단순한 스칼라 함수를 나타내지만 식 (5)와 (6)에 대입하면 구형 도파관에 존재하는 모든 전자장을 쉽게 나타낼 수 있다.

                      (8)

                      (9)

                      (10)

                      (11)

따라서 구형 도파관의 모든 전기장은 다음처럼 간단히 표현된다.

                      (12)

여기서 $A_{mn}$과 $B_{mn}$은 각각 TE$_{mn}$과 TM$_{mn}$ 모드의 계수이다.
식 (12)에 회전(curl)을 취하고 식 (1)과 (13)을 적용하면 자기장도 식 (14)처럼 얻을 수 있다.

                       (13)

                       (14)

여기서 $\eta$(= $\sqrt{\mu/\epsilon}$)는 고유 임피던스(intrinsic impedance)이다.

MNL 함수에서 $\bar M$과 $\bar N$ 함수는 위에서 사용했지만 $\bar L$ 함수는 쓰지 않았다. $\bar L$ 함수가 없더라도 도파관 내부의 모든 전자장을 표현할 수 있었다. 이건 왜 그런가? 이를 이해하기 위해 $\bar L$ 함수를 다음처럼 구해보자.

        (15)

        (16)

위에 제시한 $\bar L$ 함수에 발산(divergence)을 취하면 다음 관계를 만족한다.

                       (17)

즉, 생성 함수 $\psi$는 0이 아니기 때문에 $\bar L$ 함수의 발산도 0이 아니다. $\bar L$이 식 (12)나 (14)처럼 전기장이나 자기장을 표현한다면 전하(electric charge)나 자하(magnetic charge)가 없는 전기장과 자기장의 발산은 반드시 0이 되어야 하므로 $\bar L$은 구형 도파관의 전자장 표현식에 사용되면 안된다.

식 (5)를 이용하면 함수 $\bar M$과 $\bar L$은 항상 수직인 것을 보일 수 있다.

                      (18)

식 (6)의 마지막식에 $\bar M$의 내적을 취하면  $\bar M$과 $\bar N$도 수직이다.

                      (19)

$\bar N$과 $\bar L$의 내적은 좀 생소하다. 식 (6)을 이용해  $\bar N$과 $\bar L$의 내적을 구해보자.

                      (20)

식 (20)이 0이 되어 $\bar N$과 $\bar L$이 수직이 되는 경우를 찾아보자. 예를 들면 다음 관계식이 가능하다.

                      (21)

전자파가 어떤 경우일 때 식 (21)이 나올까? 우리가 잘 아는 균일 평면파(uniform plane wave)일 때 식 (21)이 성립한다.

[다음 읽을거리]
1. 원통 좌표계의 MNL 함수
2. 구 좌표계의 MNL 함수
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댓글 6개 :

  1. 빛에 대해 이해가 안되는게 있는데요;;;;;

    자연 빛은 te파와 tm파로만 이루어져 있는 건 가요?

    아니면 te파와 tm파는 편광의 두종류이고 te파와 tm파 사이로도 무수히 많은 편광들이 존재하는건가요?

    브루스터 각에의한 반사때문에 이해가 잘 안되서요ㅜㅜ

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    답글
    1. Unknown님, 반갑습니다.

      1. TE, TM으로 나눈 것은 편의에 의한 것입니다. 어떤 연구자는 LSE(Longitudinal Section Electric), LSM으로 분류하기도 합니다.

      2. TE, TM 이외의 다른 특성으로 구분하여 계산할 수 있지만, 그 결과는 분류 종류에 관계없이 동일합니다, 유일성 정리에 의해서요.

      3. 또한, TE, TM은 완전한 전자장 전개 방법이기 때문에 다른 정의는 필요없습니다. (할 수도 있겠지만, 같은 결과가 나옵니다.)

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  2. 성의껏 답글 남겨주셔서 너무 감사합니다

    광학공부하다가 여기저기 찾아봤지만 도저히 마땅한 답을 찾지 못해 여쭤보게됬는데

    자연광이 브루스터 각으로 입사하였을 때 교재에서는 p편광은 전부 투과하고 거의 대부분의 s편광은 반사된다고 하더라구요

    근데 학교에서 교수님께서 이것을 자연광이 반사되면 반사광에서는 s편광만 존재하고 투과광에서는 p편광만 존재한다고 말씀해주시더라구요

    제 생각에는 빛은 사방으로 편광축이 존재하는 것이기 때문에

    반사광에는 s편광이 존재하고 p편광은 존재하진 않지만 그외에 수많은 편광축이 있을 것이고

    투과파에는 반대로 p편광이 존재하고 s편광은 없는 상태로 수많은 편광축이 존재할 것 같거든요

    제가 무엇을 착각하고 있는것일까요?


    면식도 없는 사람이 마구 물어봐서 죄송합니다ㅜㅜ

    가끔 블로그 봤었는데 성의껏 알려주시는 모습보고서 저도 모르게 의지해버리네요

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  3. 답변하는게 어려운 건 아니라 부담 가지실 필요는 없습니다, 박세훈님. ^^

    질문하신 부분의 핵심은 "브루스터 각도"와 "표면 특성"이라 생각합니다. 모든 빛이 특정 각도(브루스터 각도)로 입사하고 반사면이 평면이라면 특정 편파만 존재하겠지만, 현실은 입사각과 표면이 제각각이라 수많은 편파가 존재합니다.
    다만 이 모든 특성은 크게 TE와 TM 파동(혹은 p, s)으로 나눌 수 있어, 그렇게까지 복잡하지는 않아요.

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  4. 안녕하세요 수학관련 글들 재밌게 보고있습니다. 궁금한게 한가지 있는데요
    글 작성하시면서 TeX 을 사용하시는건가요? 어떻게 작성하고 계신지 어느정도 시간을 할애하시는지 개인적일 수있는 질문인데 가능하시면 답변부탁드립니다. 저도 공부를 하는입장에서 아카이빙에 관심을 가지는 중이라서요:)
    아무튼 글 잘 보고 갑니다

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    답글
    1. 수식만 레이텍(LaTex)을 이용해 작성하고 있습니다. 본문은 MathJax 기반으로 쓰고, 수식은 그림으로 만들어 넣고 있어요. 수식 그림 만들 때는 아래 링크 이용했습니다.

      http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

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