라그랑주 반전 정리(Lagrange Inversion Theorem)

[경고]아래 글을 읽지 않고 "라그랑주 반전 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 테일러 급수

2. 복소 함수론의 쉬운 이해

[그림 1] 2차 함수의 역함수 예시(출처: wikipedia.org)

역함수(inverse function)를 구할 때는 [그림 1]처럼 $x, y$를 서로 교환해서 $y$에 대해 정리하면 된다. 하지만 $y$ = $f(x)$처럼 $f(x)$를 위한 함수 표현식이 없을 때는 손으로 풀어서 역함수를 구할 수 없고, 역함수를 구하는 표준 방법론을 써야 한다. 함수가 복소 영역에서 해석적인 경우는 라그랑주 반전 정리(Lagrange Inversion Theorem)가 역함수 유도의 특효약이다. 라그랑주 반전 정리는 역함수를 테일러 급수(Taylor series)로 공식화하는 획기적 기법이다. 라그랑주 반전 정리가 존재하기 전에는 역함수를 구할 때에 멱급수의 반전(inversion of power series)[1]이나 테일러 급수를 많이 사용했다. 멱급수 반전은 고등 수학 지식이 필요없다. 인내심만 있으면 누구나 쉽게 유도할 수 있다. 공식을 만들기 위해 함수 $y$ = $f(x)$를 표현하는 멱급수를 정의한다.

                  (1)

여기서 $f(0)$ = $0$이며, 0이 아닐 때는 $y$ 대신 $y-y_0$으로 교체한다. 식 (1)을 참고해서 역함수 $f^{-1}(y)$의 멱급수를 $x$ = $b_1 y + b_2 y^2 + b_3 y^3 + \cdots$로 둔다. 이 역함수를 다시 식 (1)에 넣어서 $y$의 거듭제곱에 대해 정리하고 항별로 비교해 $b_n$을 차례로 구한다.

                  (2a)

                          (2b)

뉴턴Isaac Newton(1643–1727)은 자신이 찾은 로그 함수에 대한 급수 전개를 이용해서 로그의 역함수인 지수 함수(exponential function)를 탐구한 적이 있었다.

                        (3a: 뉴턴–메르카토르 급수)

여기서 무한 급수의 수렴 구간은 $|x| < 1$이다. 식 (3a)의 좌변을 $y$, 우변을 멱급수로 생각해서 식 (2b)를 적용한다.

                  (3b)

식 (3b)의 둘째식은 분명히 지수 함수 $e^y$가 된다. 그래서 로그 함수의 역함수로서 지수 함수를 유도할 수 있다. 다만 로그 함수와 지수 함수의 정확한 개념은 후세 수학자인 오일러Leonhard Euler(1707–1783)에 와서야 확립된다. 멱함수의 반전 공식은 테일러 급수를 써도 증명된다. 식 (1)의 역함수를 $x$ = $f^{-1}(y)$라 두고 테일러 급수의 계수 $b_n$을 $f(x)$의 미분으로부터 얻는다.

                  (4)

여기서 미분 계수는 모두 $x$ = $0$에서 계산한다. 견디는 힘만 있으면 이 과정을 계속 반복해서 원하는 차수까지 $b_n$을 계산할 수 있다. 그러나 너무 귀찮고 반복적이다. 이런 번거로움을 확실해 해결해주는 고급 개념은 유명한 라그랑주 반전 정리이다. 하지만 라그랑주 반전 정리는 테일러 급수를 실수 넘어 복소 영역까지 확장해서 사용한다.

[라그랑주 반전 정리]

복소 함수 $w$ = $f(z)$의 역함수 $g(w)$ = $f^{-1}(w)$는 $z$ = $a$ 근방에서 아래 무한 급수로 표현된다.

                          (5a)

                          (5b)

여기서 $\text{Res}[\cdot]$는 유수(residue), $f(z)$는 $z$ = $a$ 근방에서 해석적(analytic)이다.

[증명]

복소수 $w$가 만드는 복소 평면에 대해 코쉬의 적분 공식(Cauchy's integral formula)을 적용한다.

                  (6a)

여기서 $c$는 $z$의 복소 평면에 정의한 닫힌 경로이다. 식 (6a)에 나온 역함수를 제거하기 위해 복소 함수 관계인 $w$ = $f(z)$, $\eta$ = $f(\zeta)$, $d\eta$ = $f'(\zeta) \, d\zeta$를 대입한다.

                  (6b)

피적분 함수에 위치한 유리 함수를 $z$ = $a$에서 테일러 급수로 전개한다.

                  (6c)

식 (6c)를 식 (6b)에 넣고 무한 급수 기준으로 정리한다.

                  (7a)

식 (7a)에 있는 복소 적분을 부분 적분으로 해결한다.

                  (7b)

여기서 닫힌 경로 $c$로 인해 시작점 $\zeta_1$과 끝점 $\zeta_0$은 동일, $\text{Res}[\cdot]$는 유수(residue)이다. 식 (7b)에서 얻은 유수는 다중극(multiple pole)을 가져서 미분을 통해 계산한다.

                  (7c)

식 (7b)와 (7c)를 식 (7a)에 바꾸어 넣어서 식 (5)의 계수 $g_n$을 결정한다. 식 (7a)에서 $n$ = $0$ 항은 식 (7c)를 쓸 수 없고, 식 (7b)의 적분을 그대로 남겨두고[적분 변수 $\xi$ = $f(\zeta)$에 대한 피적분 함수는 $f^{-1}(\xi) \mathbin{/} [\xi - f(a)]$] 식 (6a)에 도입한 코쉬의 적분 공식을 쓴다. 그러면 최종 결과는 식 (5)처럼 $a$가 된다.

______________________________

람베르트Johann Heinrich Lambert(1728–1777)가 1758년람베르트 30세, 조선 영조 시절에 풀었던 고차 방정식의 해를 라그랑주 반전 정리로 쉽게 유도할 수 있다. 람베르트가 고민한 방정식은 $x^m - x + q$ = $0$이다. 여기서 $m$은 2이상인 자연수, $q$는 상수이다. 역함수 관점에서 보면, $q$ = $f(x)$ = $x - x^m$의 해는 $q$의 역함수인 $x$ = $g(q)$ = $f^{-1}(q)$이다. 이 관계식을 식 (5a)에 적용해서 계산하면 답이 그대로 나온다.

                  (8a)

여기서 $f(0)$ = $0$이다. 변수 $x$의 범위를 $|x| < 1$로 제한한 후 뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem)를 이용해 무한 급수를 만든다.

                  (8b)

여기서 $(-n)_k$는 포흐하머 기호(Pochhammer symbol)이다. 다시 식 (8b)를 $n-1$번 미분한다.

                  (8c)

식 (8c)에서 $x$는 0으로 접근하기 때문에, 식 (8c)에서 유일하게 살아남는 항은 $k$ = $(n-1) \mathbin{/}(m-1)$이다. 이 결과를 식 (8a)의 둘째식에 대입한다.

                  (8d)

여기서 $n$은 $(m-1)k + 1$만 유지된다. 그러면 차수가 1보다 큰 고차 방정식의 해는 무한 급수로 정확히 공식화된다.

                          (9)

여기서 $|x| < 1$, $m \ge 2$이다.

람베르트 W 함수(Lambert W function)를 만드는 대칭 방정식 $f(x)$의 역함수를 구할 때는 라그랑주 반전 정리보다 멱급수의 반전이 더 쉽다.

                  (10)

먼저 식 (10)에 정의한 $f(x)$를 $x$ = $1$에서 테일러 급수로 전개한다.

                  (11a)

여기서 $\beta^{(n)}$은 상승 계승(rising factorial)이다. 계수 $a_n$의 분자와 분모를 약분해서 정리한다.

                     (11b)

계수 $a_n$을 식 (2b)에 대입해서 역함수의 계수 $b_n$을 차례로 계산한다.

                     (11c)

이상을 종합해서 식 (10)을 만족하는 $x$를 역함수 $g(c)$ = $f^{-1}(c)$로 구한다.

                          (12)

대부분 상황에 해당하듯이 수학 문제를 풀 때는 도구가 아니라 문제에 집중해야 한다. 그래서 다루는 문제에 따라 라그랑주 반전 정리나 멱급수의 반전을 적절하게 선택한다.

[참고문헌]

[1] H. Chernoff, "A note on the inversion of power series," Mathematical Tables and Other Aids to Computation, vol. 2, no. 20, pp. 331–335, Oct. 1947.

[다음 읽을거리]

1. 람베르트 W 함수

람베르트 W 함수(Lambert W Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "람베르트 W 함수"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 아름다운 숫자, 오일러의 수

2. 라그랑주 반전 정리

[그림 1] 람베르트 W 함수의 변화 특성(출처: wikipedia.org)

우리가 쓰는 대부분의 함수는 이미 오래전에 정립되어 대부분의 성질이 잘 규명되어 있다. 반면 람베르트 W 함수(Lambert W function)는 람베르트Johann Heinrich Lambert(1728–1777)가 1758년람베르트 30세, 조선 영조 시절에 시작했지만 1996년김영삼 정부 시절에 와서야 수학 함수로 명확히 인정받았다[1]. 람베르트 W 함수 $W(x)$는 지수 함수 $e^y$를 이용해서 정의한다.

                          (1)

여기서 $y$ = $W(x)$이다. 람베르트 함수에 알파벳 W를 쓴 이유는 기호 계산(symbolic computation) 프로그램인 메이플(Maple)에서 W를 쓰기 때문이다.[메이플에서 W를 쓴 이유는 불분명하다. 아마도 W는 잘 쓰지 않는 알파벳인 이유가 클 것이다. 혹은 이 함수에 기여한 라이트(Edward Maitland Wright) 교수[2]의 첫자를 따서 W라는 설도 있다.]

[그림 2] 가지 자름(branch cut)으로 표현한 람베르트 W 함수의 다가성(출처: wikipedia.org)

람베르트 W 함수는 주어진 $x$에 대해 답이 여러 개인 다가 함수(multi-valued function)이다. 이 개념을 이해하기 위해 식 (1)에 자연 로그 함수 $\log(x)$를 취한다.

                  (2a)

                  (2b)

여기서 $x$ = $x_0 e^{2 n \pi i}$, $x_0$의 편각(偏角, argument)은 $-\pi < \operatorname{arg}(x_0) \le \pi$, $n$ = $0, \pm 1, \pm 2, \cdots$, $n$은 가지를 구별하는 가지 번호(branch number)이다. 변수 $x$가 같더라도 편각은 $2 \pi$의 정수배만큼 달라질 수 있어서 $y$는 하나가 아니고 무한 개의 답이 나온다. 변수 $x$처럼 $y$도 $\log y$ = $\log y_0 + 2m\pi i$로 만들면, 식 (2b)에 따라 $n$ = $m$이다. 여기서 $\log y_0 + y_0 - \log x_0$ = $0$이다. 그래서 람베르트 W 함수의 정확한 표기는 [그림 1]에 나온 $W_n(x)$이다. 여기서 $n$은 [그림 2]와 같은 가지 자름(branch cut)을 가리키는 정수이다. 또한 식 (2)처럼 람베르트 W 함수는 $y$ 기준으로 $\log x$와 관계되고 곱 연산도 있어서 곱 로그(product logarithm)로 부를 수 있다.

[그림 3] 람베르트 W 함수의 등각 사상(출처: wikipedia.org)

등각 사상(conformal mapping) 관점에서 [그림 3]에 보인 람베르트 W 함수와 가지 자름의 특성을 고찰한다. 실수 영역에서 정의한 식 (1)을 복소수 영역으로 확장한다.

                  (3a)

여기서 $w$ = $u+ iv$, $z$ = $x +iy$이다. 람베르트 W 함수에는 식 (2)처럼 로그 특성이 있어서 $z$의 가지 자름은 음의 실수축으로 선택한다. 등각 사상에 따라 $z$에 대한 음의 실수축[$x < 0$, $y$ = $0$]은 $w$ 영역에서 다음과 같이 사상된다.

                  (3b)

식 (3b)에서 $v \ne k \pi$로 놓고 등식과 부등식을 푼다.

                  (3c)

여기서 $y$ = $0$, $k$ = $0, \pm 1, \pm 2, \cdots$이다. 그러면 $z$평면에서 음의 실수축[$x < 0$, $y$ = $0$]에 정의한 가지 자름이 $w$평면으로 넘어가 형성한 곡선을 [그림 3]처럼 그릴 수 있다. 이 곡선은 $v$에 대해 우함수(even function)라서 $v$축에 대칭이다. 먼저 표본화 함수(sampling function) $\operatorname{Sa}(v)$가 0보다 큰 범위인 $2n \pi < v < (2n+1) \pi$를 시작으로 $u$의 범위를 결정한다. 여기서 가지 번호 $n$은 $n \ge 0$으로 제한한다.

• $2n \pi < v < (2n+0.5) \pi$: $\cos v > 0$이라서 $u$는 0보다 작음
• $(2n+0.5) \pi \le v < (2n+1) \pi$: $\cos v \le 0$으로 인해 $u$는 0과 같거나 큼

이 결과를 이해하면서 [그림 3]을 보면, 가지 번호 $n$에 대해 $v$ = $2 n \pi$ 및 $u$는 음의 무한대에서 출발해 $v$ = $(2n+0.5) \pi$에서 $u$ = $0$ 되며, $v$ = $(2n+1) \pi$ 및 $u$가 무한대로 점근하는 방식으로 곡선이 끝난다. 가지 번호 $n$ = $0$ 혹은 $v$ = $0$인 경우는 가지 자름을 특별하게 선정한다. 왜냐하면 $v \mathbin{/} \sin v$ = $1 \mathbin{/} \operatorname{Sa}(v)$는 $v$ = $0$에서 잘 정의되기 때문이다. 식 (3b)에 $v$ = $0$을 넣으면, $u < 0$인 모든 값이 가능하다. 다만 $u$ = $-1$ 혹은 $x$ = $-e^{-1}$에서 기울기가 무한대로 가서 함수의 다가성이 생긴다. 그래서 [그림 3]과 같이 $v$ = $0$ 및 $u$ = $-1$에서 가지 자름을 다시 만들게 되어, $(u, v)$ = $(-1, 0)$은 가지점(branch point)이 된다. 이를 이해하기 위해 $W(x)$의 미분을 구한다.

                  (4)

식 (4)에서 분모가 0이 되는 경우는 $w$ = $-1$이 유일하다. 함수 $W(x)$의 다가성을 해석적으로 만들려고 검정색 곡선은 $n$ = $0$에 넣고, 파란색 곡선은 $n$을 하나 더 낮추어 $n$ = $-1$로 배정한다. [그림 1]의 제시처럼 $x$ = $-e^{-1}$을 기준으로 해 $W_0 (x)$와 $W_{-1}(x)$를 각각 정의한다. 이로 인해 $n < 0$인 경우에 대한 가지 자름을 만드는 기준은 $n \ge 0$ 조건과 약간 달라진다.

• $(2n+1.5) \pi < v < (2n+2) \pi$: $\cos v > 0$이라서 $u$는 0보다 작음
• $(2n+1) \pi < v \le (2n+1.5) \pi$: $\cos v \le 0$으로 인해 $u$는 0과 같거나 큼

가지 번호가 $n$ = $0$인 $W_0(x)$는 실수 범위의 정의역이 넓어서, $n$ = $0$은 주요 가지(principal branch)가 된다. 이상에 나온 논의를 바탕으로 [그림 3]에 나온 굵은 선 모양의 가지 자름은 $v$를 변화시키면서 $(u, v)$ = $(-v \cos v / \sin v, v)$인 궤적으로 그린다.

람베르트 W 함수는 고차 방정식의 해법을 찾는 과정에서 우연히 발견되었다[1]. 람베르트는 1758년에 $x^m - x + q$ = $0$의 답을 멱급수의 반전(inversion of power series)으로 찾았다. 여기서 $m$은 자연수, $q$는 상수이다. 요즘은 라그랑주 반전 정리(Lagrange inversion theorem)로 편하게 이 방정식을 풀 수 있다. 그 후 1783년오일러 76세, 조선 정조 시절에 오일러Leonhard Euler(1707–1783)는 변수 치환을 통해 더 쉽게 답을 얻는 방법을 제시했다. 오일러의 생각을 따라가려고 원래 고차 방정식에서 $m$ = $\alpha / \beta$, $q$ = $(\alpha - \beta) c$로 놓고 $x$ = $u^{-\beta}$로 치환한다.

                  (5a)

식 (5a)에 대해 $\beta \to \alpha$로 가는 극한을 적용해서 정리한다.

                  (5b)

람베르트 W 함수 형태로 만들기 위해 $\alpha$ = $1$로 두고 간략화한다.

                  (5c)

만약 $\alpha \ne 1$이 아니면 식 (5b)의 양변에 $\alpha$를 곱해서 $\alpha \log u$ = $\log u^\alpha$ = $\alpha c u^\alpha$로 만든다. 그러면 $t$ = $u^\alpha$인 치환을 통해 다시 식 (5b)와 같은 형태가 될 수 있다. 이 모두를 종합한 결과식을 보면 신기하게도 고차 방정식 $x^m - x + q$ = $0$은 람베르트 W 함수 $W(x)$를 내재하고 있다.

람베르트 W 함수가 도입됨으로 인해 지수와 일차 함수, 로그와 일차 함수, 밑수와 지수가 함께 변하는 방정식 등을 손쉽게 해결할 수 있다. 예를 들어, $e^{-ax}$ = $bx + c$를 식 (5c)와 같은 방식으로 풀어본다.

                  (6a)

지수 관계인 $2^4$ = $4^2$처럼 밑수와 지수가 서로 바뀌는 방정식의 결과도 람베르트 W 함수로 공식화된다.

                  (6b)

마찬가지로 밑수와 지수가 같은 지수 함수의 역함수도 람베르트 W 함수에 속한다.

                  (6c)

람베르트 W 함수의 급수해는 라그랑주 반전 정리(Lagrange inversion theorem)로 손쉽게 획득한다. 식 (1)에 따라 $x$ = $f(y)$ = $ye^y$로 놓고 역함수를 써서 $y$ = $g(x)$ = $f^{-1}(x)$를 계산한다.

                          (7a)

                  (7b)

식 (7b)에 나온 무한 급수의 수렴 구간은 비율 판정(ratio test)으로 결정한다.

                  (7c)

따라서 $|x| < e^{-1}$라면 식 (7b)는 절대 수렴한다.

[참고문헌]

[1] R. M. Corless, G. H. Gonnet, D. E. G. Hare, D. J. Jeffrey, and D. E. Knuth, "On the Lambert W function," Adv. Comput. Math., vol. 5, pp. 329–359, Dec. 1996.

[2] E. M. Wright, "Solution of the equation $ze^z$ = $a$", Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Mathematics, vol. 65, no. 2, pp. 193–203, 1959.

에어리 미분 방정식(Airy Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "에어리 미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 베셀의 미분 방정식

2. 형보다 나은 아우: 푸리에 변환

3. 기하 광학

[그림 1] 에어리 함수의 변화 모습(출처: wikipedia.org)

빛 산란(light scattering)이나 렌즈 초점(lens focus) 변화를 분석할 때 쓰이는 에어리 함수(Airy function)는 에어리 미분 방정식(Airy differential equation)을 만족한다[1].

                          (1)

식 (1)의 해 중 하나인 제1종 에어리 함수(Airy function of the first kind) $\operatorname{Ai}(x)$는 무한 적분을 이용해서 정의한다.

                          (2)

식 (2)를 식 (1)에 직접 대입해서 $\operatorname{Ai}(x)$는 식 (1)의 타당한 해임을 보일 수 있다.

                          (3)

식 (3)에서 유도한 마지막 식이 0이 되는 이유는 복소 해석학 혹은 함수론(complex analysis or complex function theory) 때문이다.

[그림 2] 제1종 에어리 함수를 위한 닫힌 경로(출처: wikipedia.org)

[그림 2]처럼 실수축에 위치한 적분 경로를 복소 반평면으로 확대한다. 그러면 코쉬의 적분 정리(Cauchy's integral theorem)에 의해 적분값은 0이 된다.

                          (4)

여기서 $R$이 커짐에 따라 경로 $c_1$상의 적분값은 조르당의 보조 정리(Jordan's Lemma)에 의해 0이 된다.[∵ $z$의 허수부가 0보다 매우 커져서 $e^{iz}$는 지수 함수적으로 감쇠한다.]

식 (2)를 참고해서 제2종 에어리 함수(Airy function of the second kind) $\operatorname{Bi}(x)$도 비슷하지만 식 (2)와 독립되게 정의한다.

                          (5)

여기서 사인 함수는 식 (2)의 코사인 함수와 독립이어서 도입되며, 지수 함수는 $\operatorname{Bi}(x)$가 에어리 미분 방정식의 해가 되도록 돕는다. 식 (3)과 동일하게 $\operatorname{Bi}(x)$를 넣고 미분 방정식을 풀어쓴다.

                          (6)

식 (6)의 최종 결과도 복소 함수론으로 증명해야 한다. [그림 2]와 다르게 실수축과 허수축이 모두 포함되도록 적분 경로를 설정한다.

 

[그림 3] 제2종 에어리 함수에 쓰는 닫힌 경로

경로 $c_1, c_2, c_3$이 닫히도록 복소수 $z$를 정의해서 코쉬의 적분 정리에 넣는다.

                          (7)

적분 구간이 $[0, -R]$로 가는 경우도 식 (7)과 비슷하게 구해서 적분값을 $i$로 계산한다. 이 두 결과를 식 (6)에 넣으면 최종값은 0이 되어 유도가 완성된다.

다만 $t$가 커질 때 피적분 함수의 위상은 $t^3$ 크기로 빠르게 변화해서 적분이 존재하는지 확인해야 한다. 식 (2)에 부분 적분을 적용해서 제1종 에어리 함수가 수렴하는 특성을 증명할 수 있다.

                          (8)

여기서 $a$는 분모를 0이 되지 않기 위해 선택한 0보다 큰 적당한 양수이다. 아니면 $u_n$ = $(2n+1) \pi/2$ = $t_n^3/3 + xt_n$으로 두고, 적분 구간을 $\pi$로 잘라서 교대 급수(alternating series)를 만든다.

                          (9)

여기서 $u$ = $t^3 + xt$, $n$ = $1,2,\cdots$이다. 항 $a_n$으로 나타낸 적분은 $n$이 커질수록 구간이 계속 짧아져서 적분값의 크기는 줄어든다. 그래서 $a_n$은 각 항의 크기가 단조 감소하며 $0$으로 수렴하기 때문에, 라이프니츠 기준(Leibniz criterion)에 의해 에어리 함수는 수렴한다. 제2종 에어리 함수에 대해서도 동일한 논리를 적용해서 수렴성을 이끌어낼 수 있다.

[그림 4] 함수값 $\operatorname{Ai}(0)$ 계산에 사용되는 적분 경로

에어리 함수는 위상이 3차 함수로 변해서 함수값 계산이 쉽지 않다. 다행히 $x$ = $0$인 경우는 수월하게 답이 나온다. 식 (2)에 $x$ = $0$를 대입해서 지수 함수 형태로 만든다.

                          (10a)

식 (10a)에서 $e^{iu}$를 포함한 적분은 닫힌 경로를 [그림 4]처럼 선택해서 결과를 얻는다.

                          (10b)

여기서 $\Gamma(x)$는 감마 함수(gamma function), $c_2$상의 적분은 피적분 함수가 지수 함수적으로 감쇠해서 0, $c_4$를 가진 적분은 반지름이 너무 작아서 0이 된다. 피적분 함수가 $e^{-iu}$인 경우는 [그림 4]를 쓸 수 없고 허수부가 0보다 작은 닫힌 경로[그림 4에 나온 경로를 $x$축에 대해 대칭한 경로]를 선택한다.

                          (10c)

식 (10b)와 (10c)를 식 (10)에 넣어서 $\operatorname{Ai}(0)$를 결정한다.

                          (11a)

여기서 $i$ = $e^{i \pi/2}$이다. 식 (11a)에 다시 오일러의 반사 공식(Euler's reflection formula)으로 만든 $\Gamma(1/3) \sin(\pi/3) / \pi$ = $1 / \Gamma(2/3)$을 적용해서 최종 결과를 얻는다.

                          (11b)

식 (2)를 미분해서 에어리 함수의 도함수도 구한다.

                          (12)

함수값 $\operatorname{Ai}(0)$처럼, 식 (12)의 첫째식에 $x$ = $0$을 대입해서 $\operatorname{Ai}'(0)$을 계산한다.

                          (13a)

식 (13a)에 식 (10b)와 (10c)를 대입해서 정리한다.

                          (13b)

                          (13c)

식 (11b)와 (13c)의 유도 과정을 참고해서 $\operatorname{Bi}(0)$과 $\operatorname{Bi}'(0)$을 유도한다.

                          (14a)

                          (14b)

                          (15a)

                          (15b)

지금과 같이 식 (2)와 (5)를 적분해서 모든 $x$에 대한 에어리 함수값을 모두 구할 수 있지만, 계속 이런 방식으로 적분할 수는 없다. 그래서 에어리 함수의 근본인 에어리 미분 방정식으로 돌아가서, 에어리 함수와 베셀 함수(Bessel function) 사이의 관계식을 도출한다[1]. 이를 위해 $u$ = $-x$, $y(x)$ = $\sqrt{u} \phi(u)$로 변수 치환한다.

                          (16a)

                          (16b)

다시 $v$ = $(2/3) u^{3/2}$로 치환해서 식 (16b)를 다시 기술한다.

                          (16c)

식 (16c)의 마지막식은 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)이므로, 서로 독립적인 두 해는 $\phi$ = $J_{\pm 1/3}(v)$, $y$ = $\sqrt{-x}J_{\pm 1/3}[2/3\cdot(-x)^{3/2}]$이다. 따라서 입력이 음수인 에어리 함수를 베셀 함수의 선형 결합으로 표현한다.

                          (17a)

여기서 $c_1, c_2, c_3, c_4$는 결정해야 할 상수이다. 식 (17a)의 첫째식에 $\operatorname{Ai}(0)$, $\operatorname{Ai}'(0)$을 대입해서 $c_1, c_2$를 정한다.

                          (17b)

             (17c)

식 (17b)와 (17c)를 각각 풀어서 $c_1$ = $c_2$ = $1/3$을 얻어서 식 (17a)의 첫째식에 대입한다. 마찬가지 방식으로 $c_3, c_4$를 계산한다.

                  (17d)

식 (17d)에 따라 $c_3$ = $1/\sqrt{3}$, $c_4$ = $-1/\sqrt{3}$이다. 상수 $c_1, c_2, c_3, c_4$를 식 (17a)에 넣어서 공식을 완성한다.

                          (18)

여기서 $x \ge 0$이다. 에어리 함수의 입력이 0보다 크면, 식 (18)에 $x$ 대신 $-x$를 넣는다. 다만 베셀 함수 입력을 다룰 때는 [그림 4]에 있는 가지 자름(branch cut)처럼 음의 실수축에 주의해야 한다. 차수가 1/3인 제1종 베셀 함수는 다음과 같은 과정을 거쳐 제1종 변형 베셀 함수(modified Bessel function)가 된다.

             (19)

여기서 베셀 함수에 해석적 연속(analytic continuation) $J_\nu(e^{i \pi} z)$ = $e^{i \nu \pi} J_\nu( z)$을 적용한다. 다음 단계로 식 (19)를 식 (18)에 넣어서 간략화한다.

                          (20)

여기서 $x \ge 0$이다.

[그림 5] 물잔이 렌즈 역할해서 생긴 소작(燒灼, caustic) 현상(출처: wikipedia.org)

베셀 함수랑 비슷해 보이지만, 다루기가 매우 까다로운 에어리 함수는 도대체 어디에 사용될까? 에어리 함수는 파동(wave), 더 정확히는 광학(optics)에 주로 사용한다[2], [3]. 파동의 중요한 특징은 위상(phase)이라서, 파동이 특정 위치 $\bar r$ = $(x, y, z)$에서 가지는 위상 $\phi(r)$을 균일 평면파(uniform plane wave)처럼 정의한다.

                          (21)

여기서 $k_0$은 진공 중의 파수, $\phi_0$은 기준 위상이다. 식 (21)에 나온 제곱근 함수를 그대로 사용할 수 있으면 좋겠지만, 제곱근 함수는 적분하기 쉽지 않다. 그래서 식 (21)은 주로 테일러 급수(Taylor series)로 전개한 멱급수(power series)로 어림해서 사용된다. 예를 들어, 식 (21)을 $x$에 대해 3차 항까지 전개해서 위상을 $\phi(r)$ $\approx$ $ax^3 + bx^2 + cx+ d$로 근사한다. 이 3차 방정식(cubic equation)에 변수 치환을 해서 위축된 3차 방정식(depressed cubic equation)을 만든다[3].

                          (22)

여기서 $p,q$는 계수 $a,b,c,d$로 만드는 상수, $x$ = $u - b \mathbin{/}(3a)$이다. 만약 테일러 급수를 2차 항까지만 쓰면, 이 경우는 프레넬 근사(Fresnel approximation)가 되고, 프레넬 적분(Fresnel integral)이 관련된다. 위상 성분인 식 (22)가 파동 성질에 끼치는 기여는 연속 파수 $\zeta$를 쓰는 푸리에 변환 형태로 표현된다.

                          (23)

여기서 $p,q,s$는 $\zeta$에 대해 적당한 상수, $x$ = $p/(3s)^{1/3}$, 적분 핵심(integral kernel)인 $F(\zeta)$는 $e^{i \phi}$보다 매우 느리게 변한다고 가정한다.

식 (23)은 빛 산란을 분석할 때 에어리 함수가 등장하는 수학적 논지를 보여주지만, 물리적 이해는 또 다른 차원의 문제이다. 에어리 함수의 특성을 알기 위해 식 (1)의 $x$를 상수 $x_0$으로 가정한다. 그러면 식 (1)은 전형적인 상수 계수 선형 상미분 방정식이 되어서 해가 매우 쉽게 구해진다. 만약 $x_ 0 > 0$이면, 해는 [그림 1]처럼 지수적으로 감쇠하거나 발산한다. 하지만 $x_0 < 0$이면, 해가 삼각 함수의 선형 결합으로 바뀌어 $x_0$에 따라 ($+$)와 ($-$)를 진동한다. 이러한 에어리 함수의 수렴과 진동 특성을 보여주는 예는 [그림 5]에 보여준 소작(燒灼, caustic) 현상이다. 소작은 광선이 동위상으로 모여서 기하 광학(geometrical optics)이 발산하는 영역이다. 에어리 함수 관점에서는 $x$ = $0$을 만족하는 선이 바로 소작선(caustic line)이다. 소작선에 근접해 수렴하는 광선은 $x > 0$, 멀어져 발산하는 경우는 $x < 0$이 되어야 한다. 이 현상은 제1종 에어리 함수의 변화 특성인 [그림 1]이 잘 보여주고 있다. 광선의 수렴과 발산을 이해하는 출발점은 급속 하강 방법(method of steepest descent)에 나오는 안장점(saddle point) 유무이다. 안장점은 접선 기울기가 0이면서 극값을 가지지 않는 점이다. 식 (23)에서 $x$ = $0$일 때는 위상이 $t^3/3$으로 변하며, $t$ = $0$에서 기울기는 0이지만 이 점 근방에서 위상값은 계속 커진다. 그래서 $t$ = $0$은 안장점이 되고, 위상이 빠르게 변하는 적분은 잘 수렴한다. 더 구체적으로 분석하려면 위상 항을 미분한 $\delta \phi$를 적용한다.

                          (24)

만약 $x > 0$이면, 안장점은 아니지만 $t$ = $0$ 근처에서 기울기가 $x$만큼 더 커진 ($+$)라서 위상값은 안정적으로 더 빨리 커진다. 그래서 여전히 적분은 되지만, [그림 1]처럼 적분값이 감쇠하는 특성으로 나타난다. 하지만 $x < 0$에서는 기울기가 ($-$)도 될 수 있어서 위상값의 증감이 생기고, 적분값은 진동하는 방식으로 도출된다. 따라서 식 (24)는 위상 관점에서 본 페르마의 원리(Fermat's principle)이다[2]. 통상적인 페르마의 원리는 빛이 이동하는 시간이 최소가 되는 경로가 실체라는 뜻이다. 위상 기준으로는 위상 차이 $\delta \phi$의 크기가 최소 혹은 0이 되는 경로가 실재라고 생각하면 쉽다.

[참고문헌]

[1] V. Lakshminarayanan and L. S. Varadharajan, Chapter 4. Airy Functions, Special Functions for Optical Science and Engineering, SPIE Press, 2015. (방문일 2024-01-12)

[2] R. D. Blandford and K. S. Thorne, "7. Geometric Optics", Applications of Classical Physics, 2012. (방문일 2024-01-12)

[3] N. C. Albertsen, P. Balling and N. E. Jensen, "Caustics and caustic corrections to the field diffracted by a curved edge," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 25, no. 3, pp. 297–303, May 1977.