구의 방정식(Equation of Sphere)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구의 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 원의 방정식

2. 평면의 방정식

[그림 1] 3차원 공간에 그린 구(출처: wikipedia.org)

2차원에서 가장 완벽한 도형이 원(圓, circle)이라면, 원에 대응하는 3차원 도형은 구(球, sphere)이다. 구는 중심에서 반지름이 일정한 점의 3차원 자취이다. 구의 정의에 따라 구의 방정식은 다음과 같이 기술한다.

                  (1)

여기서 구의 중심은 $(a, b, c)$, 반지름은 $r$이다. 원의 매개변수 표현식을 참고해서 구의 매개변수 표현식도 쉽게 유도할 수 있다. 먼저 3차원이 아닌 2차원으로 한정해서 $(x-a)^2 + (y-b)^2$ = $\rho^2$이라 둔다. 그러면 반지름 $r$에 대해 다음 관계가 성립해야 한다.

                  (2)

여기서 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta$ = $1$, $\rho$는 $x, y$에 대한 2차원 반지름이다. 2차원 반지름 $\rho$는 음수가 아니므로, 새로운 각도 $\theta$의 변화 범위는 $0 \le \theta \le \pi$가 되어야 한다. 식 (2)에 따라 점 $(x, y, z)$를 매개변수 $(r, \theta ,\phi)$로 표현할 수 있다.

                  (3)

새로운 매개변수 $(r, \theta ,\phi)$는 구 좌표계(spherical coordinate system)의 좌표 성분에 쓰인다. 2차원 각도 $\phi$는 평면에서의 방향[예를 들어, 동쪽 혹은 서쪽]을 가리키는 방위각(方位角, azimuth)이며, 3차원 각도 $\theta$는 극고도각(極高度角, polar angle)이라 부른다. 흔히 쓰는 고도각(高度角, elevation angle)은 적도[= $0^\circ$]에서 시작해 북극[= $90^\circ$]으로 올라가지만, 극고도각은 북극[$\theta$ = $0$]에서 출발해 적도[$\theta$ = $\pi/2$]를 거쳐 남극[$\theta$ = $\pi$]으로 간다. 여기서 고도각 대신 앙각(仰角)이란 말을 쓰기도 한다. 그래서 고도각과 극고도각은 꼭 구별해서 써야 한다. 또한 극고도각 $\theta$의 변화 방향은 방위각 $\phi$의 변화에 직교하도록 정한다. 서로 직교하는 좌표 성분으로 구성한 편리한 좌표계를 직교 좌표계(直交座標系, orthogonal coordinate system)라고 부른다. 그래서 $(r, \theta ,\phi)$로 만든 직교 좌표계는 구의 속성을 표현하고 있어서 당연히 구 좌표계가 된다.

반지름 $r$을 고정하고 각도 $\theta, \phi$를 바꾸면서 구의 표면적 $S$를 계산한다. 각도 $\theta, \phi$에 대응하는 호의 길이(arc length)를 각각 $r d \theta, \rho d\phi$라 둔다. 그 다음에 서로 직교하는 두 호의 길이를 적분해서 구의 표면적 $S$를 유도한다.

                  (4)

구의 표면적 $S$를 반지름 $r$에 대해 양파 껍질 적분법(onion skin integration)을 적용하면, 그 적분값은 구의 부피 $V$가 된다.

                  (5)

식 (4)와 (5)에 따라 표면적과 부피는 서로 미적분 관계에 있다.

                  (6)

원과 호의 길이로 정의한 라디안(radian)의 개념을 확장해서 3차원 공간에 쓸 수 있는 입체각(立體角, solid angle) $\Omega$를 정의한다. 먼저 식 (4)에 따라 미소 표면적 $dS$를 반지름 제곱으로 나눈 값인 미소 입체각 $d\Omega$를 도입한다.

                  (7)

벡터 내적(dot product)을 이용해 임의의 미소 면적 $d \bar a$를 구의 표면으로 정사영하면, 입체각으로 임의의 3차원 각도를 측정할 수 있다. 즉, 구의 표면을 뚫고 나오는 단위 벡터(unit vector) $\hat r$과 미소 면적 $d \bar a$를 내적해서 임의의 3차원 각도를 재는 입체각 $\Omega$를 새롭게 정의한다.

                  (8)

입체각을 헤아리는 단위는 스테라디안(steradian, sr)이라 부른다. 스테라디안은 입체를 뜻하는 스테레오스(στερεός)와 빛줄기를 말하는 라디우스(radius)의 합성어이다. 식 (7)에 의해 전체 3차원 공간에 대한 입체각은 $4 \pi$ sr이다.

구의 방정식을 이용해서 여러 가지 구의 성질을 다소 쉽게 증명할 수 있다.

[그림 2] 구에 접하는 평면 혹은 접평면(원본 출처: wikipedia.org)

[구의 접평면(tangent plane to a sphere)]
구의 접평면은 항상 구에 수직이다.

[증명]

구의 방정식을 변형해서 구 표면을 $f(x, y, z)$ = $x^2+y^2+z^2 - r^2$ = $0$으로 표현한다. 여기서 구의 중심은 $(x_0, y_0, z_0)$ = $(0, 0, 0)$이다. 접평면의 방정식을 적용해서 구 표면 위의 점 $(x_1, y_1, z_1)$에서 구의 접평면을 구한다.

                  (9)

접평면의 법선 벡터 $(x_1, y_1, z_1)$은 구의 중심에서 구 표면으로 가는 위치 벡터(position vector)이기도 하므로, 구의 접평면은 구에 항상 수직이다.

______________________________

구의 방정식과 접평면을 쓰면, 원을 이용해서 증명한 점과 직선 사이의 거리 관계를 3차원으로 확장할 수 있다.

[점과 평면 사이의 거리(distance from a point to a plane)]

점 $(x_0, y_0, z_0)$에서 직선 $ax+by+cz+d = 0$ 사이의 거리 $D$는 다음과 같다.

                              (10)

여기서 점과 평면 사이의 거리는 최단 거리 혹은 수직인 거리로 정한다.

[증명]

[그림 2]처럼 점 $(x_0, y_0, z_0)$를 중심으로 하는 구를 그려서 평면 $ax+by+cz+d$ = $0$에 접하게 한다. 그러면 식 (9)에 있는 구의 접평면 방정식은 다음과 같아진다.

                              (11)

평면의 방정식을 바꾸어서 $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1)$ = $0$으로 쓰면, 평면의 법선 벡터 $\bar n$은 $(a, b, c)$가 된다. 다음 단계로 구의 중심에서 평면의 접점으로 가는 벡터 $\bar v$ = $(x_1, y_1, z_1) - (x_0, y_0, z_0)$는 $\bar n$에 평행해서 $\bar v$ = $-k \bar n$로 둔다. 여기서 $\bar n, \bar v$의 크기에 따라 스칼라 $k$의 크기는 $|k|$ = $r/\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$이다. 최종적으로 구의 반지름 $r$ 혹은 점과 평면 사이의 거리 $D$는 다음처럼 표현된다.

                              (12)

______________________________

식 (10)을 위한 증명은 초구(超球, hypersphere)에 접하는 초평면(超平面, hyperplane)까지 확장되어 다차원에 있는 점과 초평면 사이의 거리까지 유도할 수 있다.

[다음 읽을거리]

1. 구 좌표계

2. 회전 행렬

3. 초구의 성질

푸리에 사인 및 코사인 변환(Fourier Sine and Cosine Transforms)

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1. 푸리에 변환

[그림 1] 푸리에 코사인 변환의 이산화와 필터 스펙트럼(filter spectrum) 특성(출처: wikipedia.org)

기함수(奇函數, odd function)와 우함수(偶函數, even function)에 대해 푸리에 급수(Fourier series)가 푸리에 사인 및 코사인 급수(Fourier sine and cosine series)로 바뀌는 성질처럼, 푸리에 변환(Fourier transform)도 기함수와 우함수 조건에 따라 적분 변환(integral transform)이 약간 달라질 수 있다. 먼저 함수 $f(t)$가 기함수라 가정한다. 그러면 $f(-t)$ = $-f(t)$인 조건에 따라 푸리에 변환은 다음처럼 변형된다.

                       (1)

                       (2)

식 (2)에서 새롭게 정의한 $S(\omega)$를 푸리에 사인 변환(Fourier sine transform)이라 부른다. 푸리에 사인 변환은 $\omega$에 대해 기함수가 된다. 푸리에 역변환(inverse Fourier transform)에 따라 푸리에 사인 역변환(inverse Fourier sine transform)도 쉽게 정의된다.

                       (3)

식 (2)와 (3)의 결과를 모아서 푸리에 사인 변환쌍(Fourier sine transform pair)을 공식화한다.

                       (4)

푸리에 사인 변환된 함수를 역변환하면 다시 원래 함수로 돌아와야 하므로, 식 (4)로부터 다음과 같은 디랙 델타 함수(Dirac delta function) 관계도 얻을 수 있다.

                       (5)

비슷한 방식으로 푸리에 코사인 변환(Fourier cosine transform)도 정의한다. 이번에는 함수 $f(t)$를 우함수라 가정하면 $f(-t)$ = $f(t)$인 관계가 성립한다. 따라서 우함수의 푸리에 변환은 다음과 같아진다.

                       (6)

여기서 $C(\omega)$는 우함수 $f(t)$의 푸리에 변환의 일종인 푸리에 코사인 변환이 된다. 푸리에 코사인 변환은 우함수 성질을 가져서 식 (3)처럼 푸리에 코사인 역변환(inverse Fourier cosine transform)도 쉽게 구해진다.

                       (7)

식 (6)과 (7)을 합쳐서 푸리에 코사인 변환쌍(Fourier cosine transform pair)과 이에 관련된 디랙 델타 함수도 기술한다.

                       (8)

                       (9)

따라서 주어진 함수가 기함수 혹은 우함수인 경우는 푸리에 사인과 코사인 변환을 각각 적용해서 더욱 편리하게 주파수 특성을 분석할 수 있다.

푸리에 사인과 코사인 변환을 동시에 써서 $f(x)$를 바꾼 경우는 혼합 푸리에 변환(mixed Fourier transform, MFT)이라 명한다[1].

                       (10)

여기서 $\alpha$는 경계 조건을 표현하는 복소수인 혼합 계수(mixed coefficient), $x$가 무한대로 갈 때에 $f(x)$는 0으로 수렴한다. 혼합 푸리에 변환의 진정한 의미를 이해하고 싶으면, 식 (10)에 부분 적분을 적용해서 푸리에 사인 변환으로 형태를 바꾼다.

                       (11a)

                       (11b)

여기서 $\alpha$는 $m(0)$ = $0$을 만족시킨다. 경계 조건 $\alpha$ = $-f'(0)/f(0)$으로 인해, 물리학에서 $\alpha$는 임피던스 경계 조건(impedance boundary condition)에 사용하는 임피던스(impedance) 역할이다. MFT를 적용한 $F(p)$의 역변환은 다소 복잡하다. 먼저 식 (11b)에 푸리에 사인 역변환을 적용한다.

                       (12)

여기서 $f_p(x), f_g(x)$는 각각 선형 상미분 방정식(linear ordinary differential equation)에 나오는 특수해(particular solution)와 일반해(general solution)이다. 함수 $F(p)$는 푸리에 사인 및 코사인 변환의 결과임을 기억해서 $f_p(x)$를 푸리에 사인 및 코사인 역변환으로 표현한다.

                       (13)

식 (12)로부터 일반해 $f_g(x)$는 $B e^{-\alpha x}$임을 쉽게 알 수 있다. 만약 $\Re[\alpha] \le 0$이면, $x$가 커질 때에 상수거나 발산해서 $f(x)$의 경계 조건을 만족 못한다. 이로 인해 $B$ = $0$으로 정해진다. 반면에 $\Re[\alpha] > 0$ 조건은 $f_g(x)$를 살린다. 상수 $B$를 구하기 위해 아래와 같은 지수와 삼각 함수의 직교성을 식 (12)에 곱한다.

                       (14)

                       (15)

여기서 $a > 0$, $\Re[\alpha] > 0$이다. 식 (13), (15)를 식 (12)에 대입해서 혼합 푸리에 역변환을 완성한다.

                       (16)

다만 $\Re[\alpha] > 0$인 경우는 $F(p)$를 적분해서 $f(x)$를 결정할 수 없고, 그 역변환은 $f(x)$에 대한 적분 방정식(integral equation)을 내부에 포함한다.

[참고문헌]

[1] J. R. Kuttler and R. Janaswamy, "Improved Fourier transform methods for solving the parabolic wave equation," Radio Sci., vol. 37, no. 2, pp. 5-1–5-11, Apr. 2002.

[다음 읽을거리]

1. 이산 푸리에 변환

불균일 전송선로(Nonuniform Transmission Line, NTL)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "불균일 전송선로"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 전송선 이론

2. 전압파와 전류파

3. 다절 정합 변환기

4. 베르누이 미분 방정식

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[그림 1] 불균일 전송선로의 구조(그림 출처: [3])

이산적인 다절 전송선로(multisection transmission line)를 사용해서 임피던스 정합망을 설계할 수 있지만, 조금 더 넓은 대역에서 성능을 높이고 싶을 때는 [그림 1]에 보인 연속적인 불균일 전송선로(nonuniform transmission line)를 많이 사용한다[1]–[3]. 불균일 전송선로는 신호의 진행 방향인 $z$축을 따라서 단위 길이당 회로량인 $R,L,G,C$가 연속적으로 변하는 선로이다. 이로 인해 전파 상수(propagation constant)와 특성 임피던스(characteristic impedance)가 $z$의 함수로 표현되어서 각각 $\gamma(z)$ 및 $Z_0(z)$로 표기된다.

불균일 전송선 이론(nonuniform transmission line theory)의 시작점은 그 유명한 균일 전송선 이론(uniform transmission line theory)이다. 균일 전송선 이론에 바탕을 두고 진행 거리 $z$에 따라 전압파(voltage wave) $V(z)$와 전류파(current wave) $I(z)$의 공간 변화를 모형화한다.

                  (1)

여기서 $\zeta(z)$ = $R(z) + j \omega L(z)$, $\eta(z)$ = $G(z) + j \omega C(z)$이다. 식 (1)의 첫째식을 둘째식에 대입해서 $V(z)$에 대한 미분 방정식을 새롭게 만든다[1].

                        (2a)

여기서 $\zeta'(z)$ = $d\zeta(z) / dz$; 균일 전송선 이론의 전파 상수 개념을 받아들여서 $\gamma(z)$ = $\sqrt{\zeta(z) \eta(z)}$로 정의한다. 마찬가지 방식으로 $I(z)$에 대한 미분 방정식도 구성한다.

                        (2b)

여기서 $\eta'(z)$ = $d\eta(z) / dz$이다. 만약 $\zeta'(z)$ = $\eta'(z)$ = $0$이면, 균일 전송선 이론에 나타나는 통상적인 전압파와 전류파의 미분 방정식으로 간략화된다. 위치 $z$에서 전원 방향으로 반사되는 일반화 반사도 $\Gamma(z)$는 기존 반사도 정의를 기반으로 다시 만든다.

                        (3)

여기서 선로의 특성 임피던스는 $Z_0(z)$ = $\sqrt{{\zeta(z)}/{\eta(z)}}$, 위치 $z$에서 부하 방향을 바라본 입력 임피던스는 $Z(z)$, 식 (1)에 나온 전압파와 전류파의 비율이 바로 $Z(z)$ = $V(z)/I(z)$이다.[∵ $V(z), I(z)$는 입사와 반사를 모두 포함하므로 그 비율은 특성 임피던스가 아닌 입력 임피던스가 된다.]

[그림 2] 불균일 전송선로에서 임피던스 $Z(z)$의 변화

이번에는 불균일 전송선로에서 입력 임피던스의 미분 $dZ(z)/dz$를 구한다. 입력 임피던스의 정의인 $Z$ = $V/I$를 그대로 미분하면 쉽게 답이 나온다.

                        (4a)

여기서 $(\cdot)'$는 $z$에 대한 $(\cdot)$의 미분을 뜻한다. 식 (4a)가 가진 물리적 함의를 이해하려고 [그림 2]에 보인 임피던스 차분 $\Delta Z$를 추적한다[4]. 입력 임피던스는 전원에서 부하를 바라보는 방향으로 계산하므로, $Z(z+\Delta z)$를 선택하고 병렬 및 직렬 연산을 활용해서 $Z(z)$를 추산한다.

                  (4b)

여기서 $\Delta z \ll 1$이다. 식 (4b)에서 거리 차분 $\Delta z$가 0으로 가는 극한을 취해서 식 (4a)를 동일하게 획득한다. 또한 식 (4a)에 $\gamma(z)$ = $\sqrt{\zeta(z) \eta(z)}$ 및 $Z_0(z)$ = $\sqrt{{\zeta(z)}/{\eta(z)}}$를 대입해서 $\eta(z)$가 없는 단순화된 미분 방정식을 유도한다.

                        (4c)

다시 식 (4c)에 식 (3)을 적용해서 $Z_0(z)$가 없고 반사도 $\Gamma(z)$가 출현하는 미분 방정식도 만들 수 있다.

                        (4d)

마지막으로 식 (4d)를 $z$에 대해 미분함으로써, 반사도의 미분 $d\Gamma(z) / dz$를 도출한다[5].

                  (5a)

그러면 $\Gamma(z)$에 대한 리카티 미분 방정식(Riccati differential equation)이 최종적으로 유도된다.

                        (5b)

만약 $\gamma(z)$와 $Z_0(z)$가 $z$에 대해 상수라면, 식 (5b)는 기존에 사용하던 반사도 개념인 $\Gamma(z)$ = $\Gamma(0) e^{2 \gamma z}$ = $\Gamma_L e^{2 \gamma z}$가 정확히 나온다.

[그림 3] 섬세화(tapering)를 적용한 전송선로의 특성 임피던스 $Z_0(z)$ 변화(그림 출처: [6])

식 (5b)는 근사없이 구한 일반적인 반사도 관계식이지만, 리카티 미분 방정식의 해법이나 멱급수(power series) 전개[1]를 쓰지 않으면 $\Gamma(z)$를 구하기 어렵다. 그래서 다절 정합 변환기(multisection matching transformer)에 사용한 소반사 근사(small reflection approximation)를 도입해서 $\Gamma(z)$ $\approx$ $0$으로 가정한다[6].

                        (6)

식 (6)에 전파 상수 $\gamma(z)$까지 상수라고 전제해두고 $\Gamma(z)$ = $\Gamma_L(z) e^{2 \gamma z}$로 교체해서 식 (6)의 해를 근사한다.

                  (7a)

                        (7b: $\gamma$는 상수)

여기서 $a$는 적분 상수와 연결된 임의의 상수, $Z_S$은 [그림 1, 3]의 전원 임피던스(source impedance), 소반사 근사로 인해 $Z_0(z)$는 천천히 변한다. [그림 3]에서 테이퍼 혹은 섬세부(纖細部, taper)의 끝단인 $z$ = $l/2$의 부하 반사도는 항상 0이라는 가정을 채택해서 $a$ = $l/2$로 둔다. 이에 따라 $\Gamma(l/2)$ = $0$이란 경계 조건이 저절로 만족된다.

                        (7c: $\gamma$는 상수)

전송선로에 손실이 없어서 $\gamma$ = $j \beta$인 경우, 식 (7c)는 푸리에 변환(Fourier transform) $\mathfrak{F}[f(t)](\omega)$로 표기될 수 있다.

                        (8: $\beta$는 상수)

여기서 테이퍼 길이 $l$은 무한대로 길어진다.

정확한 미분 방정식인 식 (5b)에 소반사 근사를 적용해서 식 (7c)를 획득할 수 있지만, 이산적인 다절 정합 변환기의 간격을 0으로 보내는 극한으로도 식 (7c)가 잘 산출된다[7]. 소반사 근사에 근거하여 특성 임피던스 변화에 따른 부하 반사도 $\Gamma_L(z)$의 미분을 구한다.

                        (9a)

여기서 특성 임피던스는 거의 변하지 않아서 $Z(z)$ $\approx$ $Z_0(z)$이다. [그림 3]을 기준으로 전원부에서 측정되는 전체 반사도 $\Gamma_\text{tot}(\psi)$에는 왕복 위상 성분 $e^{-j2 \beta z}$의 기여분도 있으므로, 식 (9a)를 추가로 적분해서 식 (8)과 동일한 답을 얻는다.

                        (9b: $\beta$는 상수)

여기서 $\Gamma_\text{tot}(\psi)$ = $\Gamma(-l/2)$, $\psi$ = $\beta l$이다.

식 (6)처럼 $\gamma(z)$가 $z$에 따라 변하는 조건에서는 적분 인자(integration factor) $m(z)$가 촉매로 작용하는 1계 선형 상미분 방정식의 해법으로 $\Gamma(z)$를 결정한다[6].

                        (10a)

                        (10b)

여기서 $a, b$는 적분 상수를 만드는 임의의 상수이다. 식 (7c)의 방식에 따라 경계 조건인 $\Gamma(l/2)$ = $0$을 식 (10b)에 인가한다.

                         (10c)

만약 $\gamma(z)$의 변화가 없다면 식 (10c)는 식 (7c)가 되므로, 식 (10c)는 식 (7c)를 포함하면서 더 보편적으로 쓰일 수 있는 일반식이다.

   1. 임피던스 테이퍼(impedance taper)    [7]

[그림 1.1] 지수 테이퍼(exponential taper)를 적용한 전송선로(출처: [8])

소반사 근사(small reflection approximation)를 활용해서 얻은 식 (9b)의 전체 반사도 $\Gamma_\text{tot}(\psi)$ 적분식이 있기 때문에, 임피던스 테이퍼 혹은 임피던스 섬세부(纖細部, impedance taper)를 형성하는 함수 $Z_0(z)$만 결정되면 어떤 임피던스 변화든지 전원부로 되돌아오는 전체 반사도 $\Gamma_\text{tot}(\psi)$를 계산할 수 있다. 하지만 식 (9b)의 피적분 함수에 로그 함수가 들어있어서 적분을 정확히 수행하기는 매우 어렵고 대부분 수치 적분(numerical integration)을 해야만 한다. 예를 들어, 특성 임피던스를 $Z_S$에서 $Z_L$까지 선형적으로 바뀌는 선형 테이퍼(linear taper)의 $Z_0(z)$를 고려한다.

                        (1.1: 선형 테이퍼)

여기서 $-l/2 \le z \le l/2$; $l$은 테이퍼 길이이다. 식 자체는 매우 단순한 일차 함수 모양이지만, 식 (1.1)을 식 (9b)에 넣어서 적분하려면 길이 잘 보이지 않는다.[부분 적분을 써도 $1/z$의 푸리에 변환을 또 만난다.] 그래서 어쩔 수없이 수치 적분으로 원하는 정밀도만큼 구간을 쪼개서 계산해야 한다. 하지만 예외적으로 로그 함수의 역함수인 지수 함수를 쓰는 지수 테이퍼(exponential taper)는 적분이 쉽게 된다.

                        (1.2: 지수 테이퍼)

여기서 $al$ = $\log (Z_L/Z_S)$이다. 이를 확인하기 위해 식 (1.2)를 식 (9b)에 넣어서 적분한다.

                        (1.3)

여기서 $\text{rect}(\cdot)$는 구형 함수(rectangular function)이다. 따라서 $Z_L/Z_S$의 비율에 따라 테이퍼 길이 $l$을 충분히 늘려야 전체 반사도를 확실히 줄일 수 있다.

[참고문헌]

[1] A. T. Starr, "The nonuniform transmission line," Proc. IRE, vol. 20, no. 6, pp. 1052–1063, Jun. 1932.

[2] 김세윤, 하헌태, 홍성용, "비균일 전송선의 기존 해석에 관한 연구", 한국전자파학회지 전자파기술, 제2권, 제3호, pp. 3–9, 1991년 9월.

[3] M. Khalaj-Amirhosseini, "Analysis of nonuniform transmission lines using the equivalent sources,", Prog. Electromagn. Res., vol. 71, pp. 95–107, 2007.

[4] J. R. Pierce, "A note on the transmission line equation in terms of impedance," Bell Syst. Tech. J., vol. 22, no. 2, pp. 263–265, Jul. 1943.

[5] L. R. Walker and N. Wax, "Non-uniform transmission lines and reflection coefficients," J. Appl. Phys., vol. 17, pp. 1043–1045, Dec. 1946.

[6] R. W. Klopfenstein, "A transmission line taper of improved design," Proc. IRE, vol. 44, no. 1, pp. 31–35, Jan. 1956.

[7] M. Steer, 7.5: Tapered Matching Transformers, Microwave and RF Design III - Networks, The LibreTexts, CA, USA. (방문일 2026-02-03)

[8] J. A. Gaudet, R. J. Barker, C. J. Buchenauer, C. Christodoulou, J. Dickens, and M. A. Gundersen, "Research issues in developing compact pulsed power for high peak power applications on mobile platforms," Proc. IEEE, vol. 92, no. 7, pp. 1144-1165, Jul. 2004.