[경고] 아래 글을 읽지 않고 "임피던스 정합"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
[그림 1] 전송선로(transmission line)로 연결한 전원과 부하(그림 출처: wikipedia.org)
[그림 1]처럼 특성 임피던스(characteristic impedance)가 $Z_0$로 주어진 경우, 전원(source)에서 부하(load)로 최대 전력이 넘어가도록 전원이나 부하 임피던스를 맞추거나 전송선로를 조정하는 과정을 임피던스 정합(impedance matching)이라 한다. 간단히 말해 RF(radio frequency) 회로가 최대 전력 이송 정리(maximum power transfer theorem)를 만족하도록 전원 및 부하의 등가 회로를 강제로 맞추는 과정이 임피던스 정합이다. 그래서 임피던스 정합은 최대 전력 이송 정리의 빼어난 수단이다. [그림 1]과 같은 단순한 회로로는 임피던스 정합을 달성하기 어렵기 때문에, 대부분 부가적인 회로망이나 전송선로를 추가한다. 이 과정에서 쓰이는 회로망이나 선로망은 임피던스 정합망(impedance matching network)으로 이름 붙인다. 전력 손실을 줄이기 위해 임피던스 정합망은 대부분 손실이 없도록 설계한다.
임피던스 정합 과정을 명확히 이해하기 위해 전송선로에 필요한 최대 전력 이송 정리를 유도한다.
[전송선로의 최대 전력 이송 정리(maximum power transfer theorem for transmission line)]
(1a)
(1b)여기서 $\Gamma_\text{in}$ = $\Gamma_L e^{-j2 \beta l}$, $\Gamma_\text{out}$ = $\Gamma_S e^{-j2 \beta l}$; 특성 임피던스 $Z_0$은 실수이다.
부하 임피던스 $Z_L$을 전원 방향으로 $l$만큼 끌어오면 $Z_\text{in}$이 된다. 이 입력 임피던스(input impedance) $Z_\text{in}$는 교류 회로의 최대 전력 이송 정리(maximum power transfer theroem for AC circuit)에 따라 $Z_S$ = $Z_\text{in}^*$을 만족해야 최대 전력이 전원에서 부하로 간다. 비슷하게 전원 임피던스 $Z_S$를 부하 방향으로 $l$만큼 이동시킨 경우는 $Z_L$ = $Z_\text{out}^*$ 조건을 얻는다.
식 (1b)를 얻기 위해 $Z_S \pm Z_0$ = $Z_\text{in}^* \pm Z_0$를 만들고, 이 두 식을 나누면 식 (1b)의 왼쪽 식이 유도된다. 당연히 같은 논리로 식 (1b)의 오른쪽 식도 확인된다.
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식 (1)은 임피던스나 반사도의 켤레 복소수가 같은 조건이므로 켤레 정합 혹은 공액 정합(conjugate matching)이라 부른다.
[그림 2] 전원 위치에서 켤레 정합한 임피던스를 부하 방향으로 $\Delta l$만큼 이동
식 (1)은 전원이나 부하 위치에서 만든 최대 전력 이송 정리이지만, 전송선로 중간의 임의 위치에서도 식 (1)은 잘 성립한다. 이 관계를 증명하기 위해 [그림 2]를 고려한다. 전원 위치에서 켤레 정합되어서 $\Gamma_S$ = $\Gamma_\text{in}^*$이 성립한다고 가정한다. 이때 부하 방향으로 $\Delta l$만큼 이동하면, $\Gamma_S$는 시계 방향으로 돌고 $\Gamma_\text{in}$은 반시계 방향으로 움직이므로 $\Delta l$에 관계없이 켤레 정합이 항상 이루어진다. 극단적으로 $\Delta l$ = $l$인 때는 전원 위치가 바뀌어 부하 위치로 되기 때문에, 조건 $\Gamma_S$ = $\Gamma_\text{in}^*$은 $\Gamma_L$ = $\Gamma_\text{out}^*$과 동일하다.
전원 임피던스 $Z_S$는 전원으로 반사를 없애기 위해 특성 임피던스와 대부분 일치시키므로, 최대 전력 이송 정리를 만족하는 부하 임피던스는 전원 임피던스와 동일하다.
[무반사 조건과 최대 전력 이송 정리]
(2)여기서 모든 임피던스는 실수이다.
[증명]
전원에서 반사가 없어야 하므로 $Z_S$ = $Z_0$이 필요하다. 최대 전력 이송을 위해 켤레 정합을 적용하면 $\Gamma_L$ = $\Gamma_\text{out}^*$ = $0$이 나온다. 따라서 $Z_L$ = $Z_0$을 만족해야 한다.
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식 (2)는 전원과 부하에서 반사가 없으면서 최대 전력이 전원에서 부하로 이송되는 이상적인 결과를 만든다. 하지만 전원과 부하의 임피던스는 우리 마음대로 선택할 수 없기 때문에, 전원과 부하 영역에 추가적인 임피던스 정합망이 반드시 요구된다.
1. 1/4파장 변환기(quarter-wave transformer, QWT)
임피던스 정합을 가장 쉽게 하는 방법은 임피던스를 어드미턴스(admittance)로 바꾸는 임피던스 역변환기(impedance inverter)인 1/4파장 변환기(quarter-wave transformer, QWT)이다[1].
- 장점: 어떤 전송선로 조건이든지 식 (1.1)로 간단히 임피던스 정합 가능; 어느 정도 쓸 만한 임피던스 대역폭(impedance bandwidth)을 가짐
- 단점: 1/4파장의 길이가 직렬로 들어가서 시스템 크기가 커짐; 부하와 전원 임피던스는 리액턴스(reactance)가 없는 순수한 저항 성분만 가져야 함
[그림 1.1] 1/4파장 변환기를 전송선로로 구현(출처: wikipedia.org)
[전송선로 길이 $l$ = $\lambda_g /4$]
(1.1)여기서 $\lambda_g$는 관내 파장(guided wavelength), $Z_L$ 및 $Z_S$의 리액턴스는 0, $Z_0$은 1/4파장 변환기의 특성 임피던스이다.
[증명]
식 (1.1)의 오른쪽 식은 입력 임피던스(input impedance) 개념이나 스미쓰 도표(Smith chart)로 증명한다. 그러면 입력 임피던스 $Z_\text{in}$이 전원 임피던스 $Z_S$와 같아야 정합이 되므로, 1/4파장 변환기의 $Z_0$은 전원과 부하 임피던스의 기하 평균(geometric mean)이 되어야 한다.
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일반적으로 부하 임피던스 $Z_L$이 저항 성분만 가진다는 보장은 없으므로, $Z_L$의 리액턴스를 없애기 위해 스미쓰 도표상에서 전원 방향으로 일정한 길이를 더 추가해야 한다.
[그림 1.2] 다절 1/4파장 변환기(multisection quarter-wave impedance transformer)의 예시(출처: [2])
[그림 1.1]에 나오는 QWT는 하나의 변환기만 가져서 임피던스 대역폭이 아주 크지는 않다. QWT의 대역폭을 획기적으로 늘릴 때는 [그림 1.2]에 보인 다절(多節, multisection) 1/4파장 변환기를 도입한다. 왜냐하면 $Z_L$에서 $Z_S$로 급격히 바꾸면 $|Z_L - Z_S|$로 인한 반사가 커져서 아무래도 대역폭이 좁아지기 때문이다. 그래서 $Z_L$에서 $Z_S$로 가는 임피던스 변화를 줄이기 위해 [그림 1.2]처럼 추가적인 QWT를 집어넣는다. 식 (1.1)에 나온 기하 평균에서 유추해서 임피던스의 변화 추이는 등비 수열(geometric sequence)로 만든다. 예를 들어, 식 (1.1)을 변형해 $Z_S$ = $Z_L (Z_0 / Z_L)^2$ = $Z_L \cdot r^2$, $Z_0$ = $Z_L \cdot r$과 같이 순차적으로 수식화한다. 여기서 공비(common ratio)는 $r$ = $\sqrt{Z_S / Z_L}$이다. [그림 1.2]의 제시처럼 다절 개수가 $N$인 QWT는 식 (1.1)을 시작점으로 일반화한다.
[개수 $N$인 다절 1/4파장 변환기] [1]
(1.2a: 등비 수열)
(1.2b: 기하 평균)여기서 $r$ = $\sqrt[N+1]{Z_S / Z_L}$, $Z_{00}$ = $Z_L$, $Z_{0,N+1}$ = $Z_S$; $Z_{0n}$은 $Z_L$부터 차례로 헤아린 $n$번 절(section)의 특성 임피던스이다.
[증명]
식 (1.2a)의 등비 수열을 식 (1.2b)에 넣으면 $\sqrt{Z_L r^{n-1} \cdot Z_L r^{n+1}}$ = $Z_n r^n$ = $Z_{0n}$이 바로 나온다.
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식 (1.2b)에 따라 인접한 전송선로의 특성 임피던스에 대한 기하 평균은 자기 자신의 특성 임피던스가 되므로, 어느 절(section)에서 보더라도 완전한 QWT가 구성된다. 또한 $N$ = $1$이면 식 (1.2)는 통상적인 QWT의 설계식으로 단순화된다.
(a) T형 회로망으로 만든 임피던스 역변환기(impedance inverter)
(b) Π형 회로망으로 만든 임피던스 역변환기
[그림 1.3] LC 집중 회로 소자로 구현한 1/4파장 변환기: $Z_\text{in}$ = $Z_0^2 / Z_L$, $Z_0$ = $\omega L$ = $1 \mathbin{/} (\omega C)$(출처: wikipedia.org)
QWT는 전송선로 없이 LC 집중 회로 소자(lumped circuit element)로 구현한 T형 회로망(T-network or Y-network) 혹은 Π형 회로망(Π-network or Δ-network)으로도 구현이 가능하다.
[LC 집중 회로 소자로 구현한 1/4파장 변환기]
공진이 일어난 LC 집중 회로 소자로 구성한 T형 혹은 Π형 회로망은 임피던스 역변환기로 동작한다.
[증명]
[그림 1.3]처럼 LC로 공진(resonance)을 일으키려면 $Z_0$ = $\omega L$ = $1 \mathbin{/} (\omega C)$를 만족해야 한다. 그 다음에 [그림 1.3(a)]에서 커패시터(capacitor)까지만 고려한 임피던스 $Z_1$를 계산한다.
(1.3)다시 인덕터(inductor)를 더해서 얻은 $Z_\text{in}$ = $Z_1 + j Z_0$은 식 (1.1)과 같은 결과이다. 마찬가지로 [그림 1.3(b)]의 회로도 입력 임피던스가 식 (1.1)과 등가임을 보일 수 있다. 더 쉽게 하려면 Y–Δ 변환(Y–Δ transform)으로 [그림 1.3(a)]를 변화시켜서 [그림 1.3(b)]를 획득할 수도 있다.
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[그림 1.3]에 나온 L과 C를 서로 교환해도 임피던스 역변환기가 만들어진다. 따라서 선로 없이 LC로 구현할 수 있는 1/4파장 변환기는 4종류가 있다.
2. LC 임피던스 정합(impedance matching)
[그림 1.2]와 같이 전송선로를 쓰는 임피던스 정합망은 물리적 크기가 너무 커지는 단점이 있어서, 작은 소자인 LC로 임피던스 정합하는 방법이 잘 발달되어 있다. 예를 들어, 부하가 실수라서 QWT로 설계 가능한 때는 [그림 1.3]이 답이다. 하지만 부하가 임의 임피던스를 가진다면, 더 일반화된 LC 임피던스 정합(impedance matching)을 적용해야 한다[3].
[그림 2.1] 임피던스 $Z$의 직렬 등가 회로: $Z_s$ = $1/Y_s$ = $R_s + jX_s$ = $1/G_s + 1/(jB_s)$
[그림 2.2] 어드미턴스 $Y$의 병렬 등가 회로: $Y_p$ = $1/Z_p$ = $G_p+jB_p$ = $1/R_p + 1/(jX_p)$
시스템의 크기 축소에 유리한 LC 임피던스 정합을 활용하기 위해 주로 직렬–병렬 변환(series-to-parallel conversion)이나 병렬–직렬 변환(parallel-to-series conversion)을 선택한다.
(2.1a: 직렬–병렬 변환)
(2.1b: 병렬–직렬 변환)여기서 $Z$ = $R+jX$, $Y$ = $G+jB$이다.
[참고문헌]
[1] R. E. Collin, "Theory and design of wide-band multisection quarter-wave transformers," Proc. IRE, vol. 43, no. 2, pp. 179–185, Feb. 1955.
[2] M. Steer, 7.4: Stepped-Impedance Transmission Line Transformer, Microwave and RF Design III - Networks, The LibreTexts, CA, USA. (방문일 2026-02-03)
[3] S. W. Ellingson, 3: Transmission Lines, Electromagnetics I, The LibreTexts, CA, USA. (방문일 2026-02-03)
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