조금은 느리게 살자: 임피던스 정합(Impedance Matching)

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[그림 1] 전송선로(transmission line)로 연결한 전원과 부하(그림 출처: wikipedia.org)

[그림 1]처럼 특성 임피던스(characteristic impedance)가 $Z_0$로 주어진 경우, 전원(source)에서 부하(load)로 최대 전력이 넘어가도록 전원이나 부하 임피던스를 맞추거나 전송선로를 조정하는 과정을 임피던스 정합(impedance matching)이라 한다. 간단히 말해 RF(radio frequency) 회로가 최대 전력 이송 정리(maximum power transfer theorem)를 만족하도록 전원 및 부하의 등가 회로를 강제로 맞추는 과정이 임피던스 정합이다. 그래서 임피던스 정합은 최대 전력 이송 정리의 빼어난 수단이다. [그림 1]과 같은 단순한 회로로는 임피던스 정합을 달성하기 어렵기 때문에, 대부분 부가적인 회로망이나 전송선로를 추가한다. 이 과정에서 쓰이는 회로망이나 선로망은 임피던스 정합망(impedance matching network)으로 이름 붙인다. 전력 손실을 줄이기 위해 임피던스 정합망은 대부분 손실이 없도록 설계한다.

임피던스 정합 과정을 명확히 이해하기 위해 전송선로에 필요한 최대 전력 이송 정리를 유도한다.

[전송선로의 최대 전력 이송 정리(maximum power transfer theorem for transmission line)]

(1a)

(1b)

여기서 $\Gamma_\text{in}$ = $\Gamma_L e^{-j2 \beta l}$, $\Gamma_\text{out}$ = $\Gamma_S e^{-j2 \beta l}$; 특성 임피던스 $Z_0$은 실수이다.

[증명]

부하 임피던스 $Z_L$을 전원 방향으로 $l$만큼 끌어오면 $Z_\text{in}$이 된다. 이 입력 임피던스(input impedance) $Z_\text{in}$는 교류 회로의 최대 전력 이송 정리(maximum power transfer theroem for AC circuit)에 따라 $Z_S$ = $Z_\text{in}^*$을 만족해야 최대 전력이 전원에서 부하로 간다. 비슷하게 전원 임피던스 $Z_S$를 부하 방향으로 $l$만큼 이동시킨 경우는 $Z_L$ = $Z_\text{out}^*$ 조건을 얻는다.

식 (1b)를 얻기 위해 $Z_S \pm Z_0$ = $Z_\text{in}^* \pm Z_0$를 만들고, 이 두 식을 나누면 식 (1b)의 왼쪽 식이 유도된다. 당연히 같은 논리로 식 (1b)의 오른쪽 식도 확인된다.

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식 (1)은 임피던스나 반사도의 켤레 복소수가 같은 조건이므로 켤레 정합 혹은 공액 정합(conjugate matching)이라 부른다.

[그림 2] 전원 위치에서 켤레 정합한 임피던스를 부하 방향으로 $\Delta l$만큼 이동

식 (1)은 전원이나 부하 위치에서 만든 최대 전력 이송 정리이지만, 전송선로 중간의 임의 위치에서도 식 (1)은 잘 성립한다. 이 관계를 증명하기 위해 [그림 2]를 고려한다. 전원 위치에서 켤레 정합되어서 $\Gamma_S$ = $\Gamma_\text{in}^*$이 성립한다. 이때 부하 방향으로 $\Delta l$만큼 이동하면, $\Gamma_S$는 시계 방향으로 돌고 $\Gamma_\text{in}$은 반시계 방향으로 움직이므로 $\Delta l$에 관계없이 켤레 정합이 항상 이루어진다. 극단적으로 $\Delta l$ = $l$인 때는 전원 위치가 바뀌어 부하 위치로 되기 때문에, 조건 $\Gamma_S$ = $\Gamma_\text{in}^*$은 $\Gamma_L$ = $\Gamma_\text{out}^*$과 동일하다.

보통 전원 임피던스 $Z_S$는 반사를 없애기 위해 특성 임피던스와 일치시키므로, 최대 전력 이송 정리를 만족하는 부하 임피던스는 전원 임피던스와 같아야 한다.

[무반사 조건과 최대 전력 이송 정리]

(2)