최대 전력 이송 정리(Maximum Power Transfer Theorem)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "최대 전력 이송 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 페이저를 이용한 임피던스 정의

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[그림 1] 부하(load)에 대한 직류 회로의 최대 전력 이송 조건(maximum power transfer condition): $R_L$ = $R_S$(출처: wikipedia.org)

RLC 회로나 전자 회로를 설계한다는 뜻은 무엇일까? 일반적인 회로 설계는 주어진 전원(source)에서 공급한 입력 전력(input power)을 최대한 많이 부하(load)로 전달하도록 회로 부품이나 전송선로(transmission line)를 바꾸어가는 반복 과정이다. 그러면 어떤 조건에서 전원에서 공급한 전력이 최대한 부하로 가는가? 이에 대한 답을 구하기 위해 전형적인 테브넹 등가 회로(Thévenin equivalent circuit)인 [그림 1]을 고려한다. 테브넹 등가 회로를 활용하면, 아무리 복잡한 선형 회로망(linear network)이 주어져도 등가적인 전원 $V_S$와 저항 $R_S$만으로 종단점(terminal)의 전압 $V_L$과 전류 $I_L$을 완벽히 표현할 수 있다.

[직류 회로의 최대 전력 이송 정리(maximum power transfer theroem for DC circuit)]

부하 저항(load resistance) $R_L$이 전원 저항(source resistance) $R_S$와 같을 때 최대 전력이 전원에서 부하로 이송된다: $R_L$ = $R_S$.

[증명]

부하 $R_L$에 전달되는 전력 $P_L$을 계산하기 위해 [그림 1]을 회로 해석한다.

                  (1)

여기서 $I$ = $I_L$; $V_S$와 $R_S$는 고정이다. 식 (1)의 최대값을 얻기 위해 식 (1)을 미분하고 극값(extreme value)을 계산한다.

                  (2)

그러면 $R_L$ = $R_S$에서 부하에 이송되는 전력이 $P_L$ = $V_S^2 \mathbin{/} (4 R_S)$으로 최대가 된다.

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[그림 2] 부하 저항 $R_L$에 대한 부하 전력 $P_L$의 변화(출처: wikipedia.org)

식 (1)을 그래프로 그려서, $R_L$에 대해 $P_L$이 나오는 조건을 찾으면 최대 전력 이송 정리에 맞게 $R_L$ = $R_S$가 잘 나온다. 다만 조금 미심쩍은 점도 있다. 잘 만든 전력 공급기(power supply)는 $R_S$ = $0$이므로,  식 (1)에 $R_S$ = $0$을 대입한 부하 전력은 $P_L$ = $V_S^2 / R_L$이 된다. 이 값은 최대 전력 이송 정리로 계산한 $P_L$ = $V_S^2 \mathbin{/} (4 R_S)$보다 크기 때문에, 전력 공급기 관점에서는 최대 전력 이송 정리가 맞지 않은 것처럼 보인다. 어디에 오류가 있을까? 미분한 식 (2)는 전원 저항 $R_S$가 아니고 부하 저항 $R_L$의 변화를 추적한다. 그래서 최대 전력 이송 정리를 적용할 때는 전원 저항이 고정되고 부하 저항을 바꾸는 조건만 생각해야 한다. 전력 공급기에서는 $R_S$ = $0$이라서, 부하 저항 $R_L$을 최대한 $R_S$ = $0$에 근접시켜야 한다. 따라서 $R_L$을 줄일수록 $P_L$ = $V_S^2 / R_L$은 계속 증가해서, 이상적인 전력 공급기는 무한대의 전력을 부하로 보낼 수 있다.

 

[그림 2] 부하(load)에 대한 교류 회로의 최대 전력 이송 조건(maximum power transfer condition): $Z_L$ = $Z_S^*$(출처: wikipedia.org)

[그림 2]와 같은 교류 회로의 최대 전력 이송 조건을 구하기 위해 페이저(phasor)와 임피던스(impedance) 개념을 도입한다.

[교류 회로의 최대 전력 이송 정리(maximum power transfer theroem for AC circuit)]

부하 임피던스(load impedance) $Z_L$이 전원 임피던스(source impedance) $Z_S$의 켤레 복소수(complex conjugate)와 같을 때 최대 전력이 전원에서 부하로 이송된다: $Z_L$ = $Z_S^*$.

[증명]

증명 방법은 식 (2)와 거의 유사하지만, 부하 임피던스 $Z_L$은 실수부 $R_L$과 허수부 $X_L$이 독립적으로 변할 수 있어서 $R_L, X_L$에 대한 편미분을 적용해야 한다.

                  (3)

                  (4)

여기서 $Z_L$ = $R_L + j X_L$, $Z_S$ = $R_S + j X_S$; $P_a$는 평균 전력(average power)이다. 식 (4)를 동시에 만족시키는 $Z_L$의 조건은 $R_L$ = $R_S$, $X_L$ = $-X_S$ 혹은 $Z_S^*$이다. 이때 부하에 전해지는 최대 전력은 $P_a$ = $|{\bf V}_S|^2 \mathbin{/} (8 R_S)$이다.

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교류 회로의 최대 전력 이송 조건이 나타내는 점은 분명하다. 전원에서 부하로 최대 전력을 전달하려면, 전원의 리액턴스와 반대되는 리액턴스를 부하에 만들어야 한다. 그러면 전원과 부하의 리액턴스가 서로 상쇄되어 마치 저항만 있는 회로와 같아진다. 예를 들어, 전원부에 유도 용량 혹은 인덕턴스(inductance)가 있으면, 부하에는 꼭 전기 용량 혹은 커패시턴스(capacitance)를 넣어야 최대 전력을 부하에서 쓸 수 있다. 이와 같이 전원과 부하가 서로 공진(resonance)이 일어나야 최대 전력이 부하에 전달될 수 있다. 물론 전원과 부하의 저항도 서로 일치해야 한다.

[다음 읽을거리]

1. 프리스 전송 방정식